И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Порядок следования таких событий (причина-+-следствие) будет одинаков во всех системах отсчета. В этом легко убедиться из следующего рассуждения. Рассмотрим, например, выстрел -- событие Л, (хо 1~ ) и попадание пули в мишень — событие Аз(хь 12), предполагая, что оба события пропсходят на осн х. В К-системе отсчета 1э>(ь скорость пули о и пусть для опреде- 195 ленности хз)хь причем ясно, что х,— х, =о(г,— (,). После подстановки этого равенства в формулу (6.10) получим (1, 10(1 — эь ~с ) ~2 Величина, стоящая во второй круглой скобке числителя, всегда положительна в связи с тем, что у<с (даже при о = с, когда причинно-следственная связь обусловлена максимально возможной скоростью передачи сигналов или взаимодействий).
Отсюда следует, что если 1з)1ь то и гз'>(~', т. е. порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Лоренцево сокращение. Расположим неподвижный в К'-системе стержень вдоль оси х', т. е. вдоль направления движения этой системы отсчета относительно К-системы. Пусть длина стержня в К'-системе (,=ха' — х~' (собственная длина). В К-системе, относительно которой стержень движется, его длину определяют как расстояние 1 между координатами хз и х, его концов, взятыми в один и тот же момент (1з=Г,).
Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (6.8) для координат х' и х, запишем 1, = хх — х, =(х, — х,)(У1 — (1х = 1ф' 1 — (Р, откуда 1=1зУ 1 — рз. (6.11) Таким образом, длина 1 движущегося стержня оказывается меньше его собственной длины 1,, и в разных инерциальных системах отсчета она будет иметь свое значение. Этот результат полностью согласуется с полученным ранее (6.5). Из определения длины следует, что относительность длины данного стержня является следствием относительности понятия одновременности. Это же относится и к форме любого тела — его размеры в направлении движения также различны в разных инерциальных системах отсчета. Длительность процессов.
Пусть в точке с координатой х' К'-системы отсчета протекает некоторый процесс, длительность которого в этой системе Мз=1з' — 1~' (собственное время процесса). Найдем длительность данного 196 процесса М=(2 — 11 в К-системе, относительно которой К'-система движется. Воспользуемся с этой целью преобразованиями Лоренца для времени. Так как процесс происходит в точке с фиксированной координатой х' К'-системы, то наиболее удобно использовать формулы (6.9): 72 — 72=(72 — г;)! $'Т вЂ” Р, или (6.12) э' =с2 с2 — 1,' =)пт,~ (6.13) где Гм — промежуток времени между событиями, 1~2— расстояние между двумя точками, в которых происходят данные события (12, =х2 +у2 +г21 ). В инвариантности интервала можно легко убедиться, вычислив его непосредственно в К'- и К-системах отсчета.
Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (6.8) и учитывая, что у'12=у12 и г'и=я~2, запишем: ,2,2 2 (222 — хгэ с /с2)2 (хгэ — с 222)2 2 72 2 — — С,2 — Х,2. э2 ) э2 197 Отсюда видно, что длительность одного и того же процесса различна в разных ииерцнальных системах отсчета. В К-системе его длительность больше (Ы>ЫС), а следовательно, в этой системе отсчета он протекает медленнее, чем в К'-системе. Это вполне согласуется с результатом, относящимся к ходу одних и тех же часов в разных инерциальных системах отсчета, — формулой (6.4).
Интервал. Относительный характер пространственных и временнйх промежутков отнюдь не означает, что теория относительности вообще отрицает существование каких бы то ни было абсолютных величин. В действительности дело обстоит как раз наоборот. Задача, которую ставит перед собой теория относительности, заключается в нахождении таких величин (и законов), которые не зависели бы от выбора инерциальной системы отсчета. Первой из этих величин является универсальная скорость распространения взаимодействий, равная скорости света в вакууме.
Другой, также весьма важной инвариантной величиной является так называемый интер- в а л зм между событиями! и 2, квадрат которого определяется как Таким образом, действительно, интервал является величиной инвариантной. Иначе говоря, утверждение «два события разделены такцм-то интервалом а» имеет абсолютный характер — оно справедливо во всех инерциальных системах отсчета. Инварнантность интервала играет фундаментальную роль в теории относительности и служит весьма эффективным инструментом при анализе и решении многих вопросов (см., например, задачу 6.4). Типы интервалов. В зависимости от того, какая составляющая в интервале преобладает, пространственная или временная, соответствующие интервалы называют: п р о с т р а н с т в е н н о и о д о б н ы м и (1!2 >с112), в р е м е н и п о д о б н ы и и (с1гг>1м) .
Кроме этих двух типов интервалов существует еще третий — с нет о подобный (с1м=1м). Если интервал между двумя событиями пространственноподобный, то всегда можно найти такую К'-систему отсчета, в которой оба события происходят одновременно (1;2 =О): 12 !2 12' Если же интервал времениподобный, то всегда можно найти такую К'-систему отсчета, в которой оба события пРоисходЯт в одной точке (Ум=О): с'1,' — 1', =с21 2. М М 12 В случае пространственноподобных интервалов 1гг> >сгьь т. е. ни в одной системе отсчета события не могут оказать влияния друг на друга, даже если бы связь между событиями осуществлялась с предельной скоростью с. Иначе обстоит дело в случае времениподобных илн свето- подобных интервалов, для которых 1!2(с112. Следовательно, события, разделенные времениподобными или светоподобными интервалами, люгут быть причинно- связанными друг с другом.
Преобразование скорости. Пусть в К-системе в плоскости х, у движется частица со скоростью ч, проекции которой с» и и„. Найдем с помощью преобразований Лоренца (6.8) проекции скорости этой частицы и,' и и„' в К'-системе, движущейся со скоростью 2!, как показано на рис. 6.11. Для этого проведем расчет по следующей схеме: дх' цх'182, цд' ду'/8! З' = — = х 81' 8218! У ап цп182 198 Продифференцируем выражения (6.0) для х', у' н К по времени 1 и результаты подставим в предыдущие формулы для и ' и о„'. После несложных преобразований получим чк — 1к сУд У 1 Рд к 1 — е У/д2 ' д 1 — ек У!сд где 6=У!с. Отсюда скорость частицы в К'-спстемс (6.14) Эти формулы выражают релятивистский закон преобразования скорости.
При малых скоростях (У((с и о(<с) они переходят, как нетрудно убедиться, в формулы преобразования ско- Рис. 6.15 Рис. 6.14 (6.16) 199 рости ньютоновской механики: ю ю У з зд или в векторном виде и'=и — Ч. Обратим внимание на то, что последняя формула оказывается справедливой только в ньютоновском приближении; в релятивистской же области она не имеет смысла — здесь нет простого закона сложения скоростей. В этом можно легко убедиться хотя бы на таком примере.
Пусть вектор скорости и частицы в К-системе перпендикулярен оси х, т. е. имеет проекции е =0 и пд=п. Тогда согласно (6.14) проекции скорости этой частицы в К'- системе: Это значит, что в данном случае (у ( оси х) авспроекция скорости уменьшается при переходе к К'-системе, и ясно, что тг'~хг — У (рнс, 6.14). Рассмотрим еще один пример использования формул преобразования скорости (6.14) — при движении двух частиц (см.
также задачу 6.7). Пример. Пусть две релятивистские частицы движутся в К-системе отсчета навстречу друг другу по одной прямой с одинаковой ско. ростью о. Найдем; !) скорость сближения частиц в этой системе отсчета; 2) их относительную скорость. Прежде всего необходимо уточнить, чтб понимается под каждой из этих скоростей. 1. Скорость сближения — это скорость, с которой изменяется (уменьшается) расстояние между частицами в данной системе отсчета.
В нашем случае она просто равна 2о, причем эта скорость может быть и больше скорости света — это ничему не противоречит, 2. Под относительной скоростью имеется в виду скорость, с которой одна из частиц движется в системе отсчета, связанной с другой частицей и перемещающейся поступательно по отношению к исходной К-системе. Чтобы найти эту скорость, выберем ось х вдоль направления движения частиц. Свяжем с одной из частиц, например частицей б которая движется в положительном направлении оси х, К'-систему отсчета (рнс. 6.!5).
Тогда задача сводится к нахождению скорости частицы 2 в этой системе отсчета. Подставив в формулу (6.14) для о -проекции скорости о = — о, )г= о, получим 2о 1+ (о/с)э Знак минус означает, что в данном случае частица 2 движется в отрицательном направлении оси х' К'-системы отсчета. Следует отметить, что даже в том случае, когда обе частицы двигкутся с максимально возможной скоростью о=с, скорость о ' не момсет превзойти с — это сразу видно из последней формулы. И наконец, проверим непосредственно, что релятивистские формулы преобразования скоростей соответствуют утверждению второго постулата Эйнштейна относительно неизменности скорости света с во всех инерциальных системах отсчета.
Пусть вектор с имеет в К-системе проекции с„и сгл т. с, с'=с,„'+,'. Воспользуемся формулой (6.15), преобразовав в ней подкоренное выражение следующим образом: с' — 2с (г+Уэ+(с' — с„') (1 — — )=~с — — ) . сз После этого нетрудно получить, что о'=с. При этом, конечно, вектор с' в К'-системе будет иметь в общем случае другое направление, 300 $ 6.6. Геометрическая интерпретация преобразований Лоренца Рассмотрим релятивистские представления о пространстве — времени с помощью геометрического метода, развитого Минковским и помогающего в другом свете представить сущность преобразований Лоренца.
Диаграммы Минковского. Пусть имеются две инерцнальные системы отсчета: К-система и К'-система, движущаяся относительно первой со скоростью )г. Сначала построим так называемую диаграмму пространства — времени для К-системы, ограничиваясь для боль- Рнс. 6.!7 Рис. 6.16 шей простоты и наглядности одномерным случаем (рис.
6.16). На оси ординат данной диаграммы откладывают обычно не само время 1, а величину т=.сй где с — скорость света. Это дает возможность про. градуировать обе оси (Ох и От) в метрах, причем в одном и том же масштабе. Каждая точка диаграммы — ее называют м н р о в о й т о ч к о й— характеризует некоторое событие Л(х, т). Всякой частице (даже неподвижной) на этой диаграмме соответствует мировая линия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
