И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Понятия длины и промежутка времени столь же относительны, как понятия движения и покоя. й 6.4. Преобразования .Чаренца Теперь нам предстоит решить фундаментальный вопрос о формулах преобразования координат и времени (имеются в виду формулы, связывающие координаты и моменты времени одного и того же события в разных инерциальных системах отсчета).
Преобразования Галилеяг 11апомним, что эти преобразования основаны на предположениях, что длина тел не зависит от движения и время течет одинаково в различных инерциальных системах отсчета. Однако в предыдущем параграфе было показано, что в действительности это не так: течение времени и длина тел зависят от системы отсчета — выводы, являющиеся неизбежным следствием постулатов Эйнштейна. Поэтому мы вынуждены отказаться от преобразований Галилея, или, говоря точнее, признать, что онн †ли частный случай какихто более общих преобразований. Возникает задача отыскания таких формул преобразования, которые, во-первых, учитывали бы замедление времени и лоренцево сокращение (т.
е. были бы в конечном счете следствиями постулатов Эйнштейна), и, во-вторых, переходили бы в предельном случае малых скорос- Р х х' х' = (х — Ь'Г)ф~1 — !1'. (6.6) С другой стороны, координата х характеризует собственную длину отрезка ОР, неподвижного в К-системе. Длина жс этого отрезка в К'-системе, где измерение проводится в момент !', равна х'+'и'!', Учитывая опять (6.5), получим х'+ Ь'у=х 1 1 — Зи, откуда х=(х'+ Ь'Р)(р~! — нс. (6.6') Полученные формулы позволя!от также установить н связь между моментами времени ! и У события А в обеих 191 тей в преобразования Галилея. Перейдем к решению этой задачи. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К', Пусть К'-система движется относительно К-спстемы со скоростью Ч.
Направим координатные оси обеих систем отсчета так, как показано на рис. 6.11: оси х и х' совпадают и направлены параллельно вектору 7, а осп у и у' параллельны друг другу. Установим в разных точках обеих систем отсчета одинаковые часы н синхронизируем их — отдельно часы К-системы и отдельно часы и и 1 ! К'-системы. И наконец, возьмем за начало отсчета време. 4 ни в обеих системах момент, ! когда начала координат О и 'и' О' совпадают (1=!с=0). Предположим теперь, что в момент времени 1 (в К-системе) в точке с координатами х, у произошло некоторое ' Рис.
6.1! событие А, например вспыхнула лампочка. Наша задача — найти координаты х', у' и момент времени У этого события в К'-сисгеме. Вопрос относительно координаты у' был уске решен в начале предыдущего параграфа, где было показано (см. формулу (6.3)), что у'=у. Поэтому сразу перейдем к нахождению координаты х' события. Координата х' характеризует собственную длину отрезка О'Р, неподвижного в К'-системе (рис, 6,! 1). Длина же этого отрезка в К-системе, где отсчет производится в момент б равна х — Рг. Связь между этими длинами дается формулой (6.5), согласно которой х — И(=х' и 1 — !Р. От- сюда системах отсчета. Для этого достаточно исключить из (6.6) и (6.6') х' илн х, после чего найдем; Г'=р л~гур)7 ) — р; т=(р'+ л' р')сз)))/~ — ят.
(6.7) Формулы (6.3), (6.6), (6.6') и (6.7) называют яр еобразованиями Лоренца. Они играют фундаментальную роль в теории относительности. По этим формулам осуществляется преобразование координат и времени любого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Итак, преобразования Лоренца при переходе от К- к А'-системе имеют вид: а при обратном переходе от К'- к К-системе— где р=)')с, Р— скорость К'-системы относительно К-системы. Следует сразу же обратить внимание иа симметрию (одинаковый вид) формул (6.8) и (6.9),что является следствием полного равноправия обеих систем отсчета (различный знак при Р в этих формулах обусловлен лишь противоположным направленном движения систем К и К' относительно друг друга).
Преобразования Лоренца сильно отличаются от преобразораний Галилея (6.1), однако последние могут быть получены из (6.8) и (6.9), если в них формально положить с=со. Что это значит? В конце предыдущего параграфа было отмечено, что в основе преобразований Галилея лежит допущение о синхронизации часов с помощью мгновенно распространяющихся сигналов. Из этого обстоятельства вытекает, что величина с в преобразованиях Лоренца играет роль скорости тех сигналов, которые используют для синхронизации часов. Если эта скорость бесконечно велика, то получаются преобразования Галилея; если же она равна скорости света, то — преобразования Лоренца.
Таким образом, в основе преобразований Лоренца лежит до- 122 пущение о синхронизации часов с помощью световых сигналов, имеющих предельную скорость. Замечательной особенностью преобразований Лоренца является то, что при Р«с они переходят* в преобразования Галилея (6.1). Таким образом, в предельном случае к'«с законы преобразования теории относительности и ньютоновской механики совпадают. Это означает, что теория относительности не отвергает преобразований Галилея как неправильные, но включает их в истинные законы преобразования как частный случай, справедливый при Р«с. В дальнейшем мы увидим, что это отражает общую взаимосвязь между теорией относительности и ньютоновской механикой — законы и соотношения теории относительности переходят в законы ньютоновской механики в предельном случае малых скоростей.
Далее, из преобразований Лоренца видно, что при Р)с подкоренные выражения становятся отрицательными и формулы теряют физический смысл. Это соответствует тому факту, что движение тел со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Нельзя даже пользоваться системой отсчета, движущейся со скоростью 'к'=сг при этом подкореиные выражения обращаются в нуль и формулы также теряют физический смысл. Это значит, что, например, с фотоном, движущимся со скоростью с, принципиально не может быть связана система отсчета. Или иначе: не существует такой системы отсчета, в которой фотон был бы неподвижным, И наконец, необходимо обратить внимание на то, что в формулы преобразования времени входит пространственная координата.
Это важное обстоятельство указывает на неразрывную связь между пространством и временем. Другими словами, речь должна идти не отдельно о пространстве и времени, а о едином пространстве — времени, в котором протекают все физические явления. 9 6.5. Следствия из преобразований Лоренца Понятие одновременности. Пусть в К-системе отсчета происходят два каких-то события: А~ 1хь уь 1,) и Аа (хх, ух, 1ху. Найдем интервал времени между этими со' Строго говоря, необходимо еще, чтобы х!с~к т.
е, чтобы времена распространения световых сигналов на расстояния, фигурирующие в рассматриваемых задачах 1х~с), были малы по сравнению с интересующими нас промежутками времени. При этом условии можно считать, что сигналы распространяются практически мгновевио. 193 бытиями в Кссистеме, движущейся со скоростью )г вдоль оси х, как показано на рис.
6.11. Согласно формуле преобразования времени (6.8), искомый интервал времени — (. ) (гз — 1,) — (ха — х,) р"/с~ 'и' 1 — йз Отсюда следует, что события, одновременные в К-системе (1,=11), не одновременны в К'-системе ((з' — 1~'ФО). Исключением является случай, когда оба события происходят в К-системе а) одновременно в точг ках с одинаковы— — ординаты х (координата и может быть различной). / временность понятие отноРис.
6.12 сительное: то, что одновременно в одной системе отсчета, в общем случае не одновременно в другой системе отсчета. Говоря об одновременности событий, необходимо указывать систему отсчета, относительно которой эта одновременность имеет место. В противном случае понятие одновременности теряет смысл и могут возникать разного рода недоразумения и «парадоксы».
Пример. «Парадокс» стержня н трубки. Сквозь неподвижную в К-системе отсчета трубку ЛВ длины 1» пролетает стержень Л'В', собственная длина которого равна 21«. Скорость стержня такова, что его длина в К-системе равна длане трубки, 1=1» (рис. 6.12, о), и в некоторый момент стержень, пролетая сквозь трубку, целиком в ней уместится. Однако «с точки зрения стержня» лоренцево сокращение вдвое претерпевает трубка (рис.
6 !2, б), поэтому ясно, что стержень (длины 2П) не поместится в трубке (длины 1»12). Есть ля здесь противо ечиеу (т ротиворечия нет, и вот почему. «С точки зрения трубки» концы пролетающего стержня совместятся с концами трубки одновременно. «С точки же зрения стержня» совпадения концов (А с А', В с В') произойдут не одновременно: сначала совпадут концы В и В' (рис.
6.12, б), а затем, через некоторый промежуток времени, концы А и А', Из относительности понятия одновременности следует, что часы К'-системы, расставленные вдоль оси х' и синхронизированные между собой в этой системе отсчета, в К-системе будут показывать разное время. В самом 194 деле, возьмем для простоты момент, когда начала координат О и О' обеих систем отсчета совпадают и часы в этих точках показывают одно время: 1=1'=О. Тогда в К-системе в точке с координатой х часы К-системы покааывают в этот момент время 1=0, часы же К'-снстемы в этой точке — иное время, 1'. Действительно, согласно формуле преобразования времени (6.8), ~'= — х);/азу'1 — вг. Отсюда видно, что в момент 1=0 (в К-системе) часы К'- системы будут показывать разное время, зависящее от Рис.
6.13 координаты х (так называемое м е ст но е в р е м я). Это показано на рис. 6.13, а. Относительно К'-системы картина будет обратной (рис. 6.13, б), как и должно быть в соответствии с равноправием обеих инерпиальных систем отсчета. Далее, из формулы (6.10) видно, что для одновременных в К-системе событий знак разности 1,' — 1,' определяется знаком выражения — (хэ — х,) К Следовательно, в разных системах отсчета (при разных значениях скорости г') разность 1з' — 1~' будет различной не только по модулю, но н по знаку. Последнее означает, что порядок событий А~ и Лэ может быть любым (как прямым, так и обратным). Сказанное, однако, не относится к причинно-связанным событиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
