И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Гладкий стержень свободно вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ва вокруг неподвижной вертикальной оси О (рис. 5.27), относительно которой его момент инерции равен 1. На стержне около оси вращения находится небольшая муфта массы гл, соединенная с этой осью нитью. После пережнгания нити муфта начинает скользить вдоль стержня. Найти скорость о' муфты относительно стержня в зависимости от ее расстояния г до оси вращения. 155 Решение. У данной системы в процессе движения сохраняютсн нинетнческан энергия и момент импульса относительно оси вра.
щения. Отсюда следует, что !и = умз + тнз, 7 о = (/ + глгз) м, где оэ=о'+созга (рис. 5.27). Иэ этих уравнений получим и' = ма г/у' 1 + юга(7 ° 5.6. Горизонтально летевшая пуля А попала, застряв, в вертикальный однородный стержень массы т н длины 1м верхний конец которого укреплен в шарнире О (рис. 528). Пуля имела импульс р и попала в стержень на расстоянии 1 от точки О. Пренебрегая ее массой, найти: 1) приращение импульса системы пуля — стержень за время движения пули в стержне; 2) угловую скорость, которую приобретет стержень, с учетом собственного момента импульса пули, равного В и совпадающего по направлению с векторам р (пуля вращается вокруг направления ее движения). Р е ш е н н е.
1. Система пуля — стержень незамкнутая; помимо сил, уравновешивающих друг друга, в процессе движения пули в стержне возникает горизонтальная составляющая силы реакции в точке О со стороны осн. Действие этой составляющей и вызовет приращение импульса системы: дР глоп Р где пс — скорость центра стержня после застревания пули. Так как все внешние силы в этом процессе проходят через точку О, то за время движения пули в стержне момент импульса системы будет оставаться постоянным относительно любой оси, проходящей через эту точку.
Взяв ось перпендикулярной к плоскости рисунка, запишем (В =У где 1 — момент инерции стержня относительно выбранной оси, а ы— угловая скорость стержня непосредственно после остановив пули в нем. Из этих двух уравнений с учетом того, что ос=юг, г — расстояние от точки О дв центра стержня, получим АР = (3772(о — !) Р. Отсюда видно, что знак приращения Ьр зависит от отношения !)!э. В частности, при !/)э=й/3 величина Ьр О, т. е. импульс системы не изменяется за время движения пули в стержне. Это значит, что в данном случае горизонтальная составляющая силы реакции и точке О отсутствует. 2. В этом случае момент импульса системы относительно точки О также будет оставаться постоянным за время движения пули в стержне, поэтому, согласно (5,23), Е + (1 Р] = (г.
Слева записан момент импульса пули относительно точки О, а справа — момент импульса стержня (с пулей) непосредстненно после 155 остановки пули в стержне (см. рис. 5.29, где все трн вектора ратно. ложены в горизонтальной плоскости). Найдем вектор (., когда стержень (с пулей) приобретет угловую скорость и. Возьмем малый элемент стержня массы Йи, нахо.
дящийся на расстоянии г от точки О. Его момент импульса относительно точки О равен бЕ = [г, бт т) =: бт гам =-. (те)(с) ге бг, где т — скорость данного элемента. Проинтегрировав это выражение по всем элементам, получим Ь =1,'з гл(ем. 2 Ц Рис.
5.30 Рис, 5.29 Таким образом, ). + ((Р) = Нз жгою Из этой формулы, согласно рнс. 5.29, получим 3 — )~гдз + (з Рз . щуз в С помощью того же рисунка можно найти и направление вектора еь (угол а). ° 5.7, Динамика вращательного движении. Однородный сплошной цилиндр массы глэ и радиуса й может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О (рнс. 5.30). На цилиндр ° один ряд плотно намотан тонкий нерастяжимый шнур длины ! и массы лг. Найти угловое ускорение цилиндра в зависимости от длины л свешявающейся части шнура. Считать, что скольжения нет и центр масс намотанной части шнура находится на оси цилиндра. Р е ш е н и е.
Воспользуемся уравнением моментов (535) относи. тельно оси О. Для этого найдем момент импульса системы относи. тельно данной оси, йн и соответствующий момент снл М,. Момент импульса бэ = 1 мэ + /гто = (тз/2 + и) /ст м„ где учтено, что момент инерции цилиндра 1=та/сз/2 и о=а,/1 (отсутствие скольжения шнура). Момент ввешних сил тяжести относи. тельно оси О М, = геях/1. Продифференцировав /., по времени и подставив Ы,/М и М, в урав- нение моментов, получим 2нц;х И (то+ 2т) ° 5.8.
На гладкой горизонтальной плоскости лежит однородный диск радиуса гм На него осторожно опустили другой такой же диск, предварительно сообщив ему угловую скорость мм Через сколько времени оба диска будут вращаться с одной и той же угловой скоростью, если коэффициент трения между дисками равен Л? Р е ш е н не. Сначала найдем установившуюся угловую скорость вращения оь Из закона сохранения момента импульса следует, что /мз = 2/м, где 1 — момент инерции каждого диска относительно общей оси вра.
щения. Отсюда '" - "'с/2. Теперь рассмотрим поведение одного из дисков, например нижнего. Его угловая скорость меняется под действием момента М сил тре. ния. Вычислим М. Для этого выделим на верхней поверхности диска элементарное кольцо с радиусами г, г+дг.
Момент сил трения, дей. ствующих на данное кольцо, равен бМ = гй (тй/и гоз) 2иг бг = 2Ф (тй/г ~ф) гз д г, где т — масса каждого диска. Проинтегрировав это выражение по г от О до г„получим М =з/з Фейга. Согласно уравнению (5.30), приращение угловой скорости нижнего дисха на величину бш происходит за время 51 = (1/М) б = (3го/455) бм. Интегрируя это уравнение по м от 0 до ем/2, находим, что искомое время 1 =3/3 го О/йк ° 5.9. Плоское движение твердого тела. Однородный цилиндр находится на горизонтальной доске (рис. 5.31).
Коэффициент трения между ними равен й. Доске сообщили ускорение а в горизонтальном направлении перпендикулярно оси цилиндра. Найти: 1) ускоренна 158 оси цилиндра в отсутствие скольжения; 2) предельное значение а,, при котором скольжение еще отсутствует. Решение. 1. Выбрав положительные направления х и ф, как показано на рис. 5,31, запишем уравнение движения оси цилиндра и уравнение моментов в Ц-системе относительно этой оси: шпп=/ч,р, /3 =гР э, где т и / — масса и момент инерции цилиндра относительно его оси, г — радиус цилиндра. Кроме того, условие отсутствия скольжения цилиндра дает кинематическую связь ускорений: а — ап =рг.
Из этих уравнений находим ос=о/3. Рис. 5.31 Рис, 5.32 2. Определим из предыдущих уравнений значение силы трения Етэ, обеспечивающей качение цилиндра без скольжения: г,р — — та/3. Максимально возможное значение этой силы равно Ьиа. Отсюда ачэ — — Зд3. ° 5.10. Однородный шар радиуса г начинает скатываться беэ скольжения с вершины сферы радиуса /1 (рис. 532). Найти угловую скорость ю шара после отрыва от поверхности сферы. Р е ш е н и е.
Прежде всего заметим, что угловая скорость шара после отрыва от поверхности сферы изменяться не будет. Поэтому задача сводится к нахождению ее значения в момент отрыва. Запишем уравнение движения центра шара в момент отрыва; тоэ/(/т+ ) =ша 0, где е — скорость центра шара в момент отрыва, 0 — соответствующий угол (рис. 5.32). Скорость о можно найти из закона сохранения энергии: тйй = тоз,,'2+ /ют/2, где 1 — момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр. Кроме того, о = нг, й = (Л + г) (! — соз Ь).
Из этих четырех уравнений получим '" =- ф~ го/за (/с + г) /ге ° 160 ф 5.11. Конический маятник. Тонкий однородный стержень массы лг и длины 1 вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг вертикальной оси, проходящей через его точку подвеса О (рис. 5.33). Прн этом стержень описывает коническую поверхность с некоторым углом полураствора 6.
Найти угол (), а также модуль и направление силы реакции (1 в точке О. Р е ш е н н е. Рассмотрим систему отсчета, вращаюшуюся вокруг вертикальной оси вместе со стержнем. В этой системе на стержень действует кроме силы тяжести шй и силы реакции 11 еще центробежная сила инерции Гдз. Так как стер.
гкень покоится в данной системе отсче. га, т. е. находится в состоянии равновесия, то зто значит, что результируюшнй момент всех сил относительно любой точки и результирующая всех сил равны нулю. Относительно точки О момент соз. дают только сила тяжести и центробежные силы инерции. Из равенства моментов этих сил следует 1/ глз(з[ПЭ = М а (1) Вычислим Мдз.
Элементарный момент сил инерции, который действует на элемент стержня дх, находацийся иа расстоянии х от точки О, равен бМ„а = (гл дД[1) а!п Э соз Э лв,бл. Рнс. 5.33 Проинтегрировав это выражение по всей длине стержня, получим М„,= г)з Д(гз(пЭ ° эй. (2) Из [1) и [2) следует, что соз Э = 33(2мг 1. [3) Найдем модуль и направление вектора (1. В системе отсчета, где стержень вращается с угловой скоростью зг, его центр масс (точка С) движется по горизонтальной окружности. Поэтому из уравнения движения центра масс (3.11) сразу следует, что вертикальная состзвляющан вектора м есть 11г тд, а горизонтальная составляющая г7 определяется уравнением гла„ =)сд, где а„ вЂ” нормальное А ускорение центра масс С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
