И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В другом крайнем случае, когда К=О, момент импульса системы относительно некоторой точки определяется только моментом, связанным с движением системы как целого, т. е. вторым слагаемым (5.23). Так, например, ведет себя момент импульса любого твердого тела, совершающего поступательное движение. Уравнение моментов в Ц-системе. В предыдущем параграфе было отмечено, что уравнение (5.12) справедливо в любой системе отсчета.
Значит, оно справедливо и в Ц-системе. Поэтому сразу можно записать: д(./й=М, где М вЂ” суммарный момент внешяих сил в Ц-системе. Так как Ц-система в общем случае неинерциальная, то в М входит помимо моментов внешних сил взаимодействия и момент сил инерции. С другой стороны, в начале этого параграфа (см. с, 145) было показано, что момент сил М в Ц-системе не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют.
Обычно в качестве такой точки берут точку С вЂ” центр масс системы. Целесообразность выбора именно этой точки в том, что относительно ее суммарный момент сил цнерции равен нулю, поэтому следует учитывать только суммарный момент внешних сил взаимодействия Мс. Итак, где Мс,— суммарный момент внешяих сил взаимодейст- вия относительно неподвижной в Ц-системе оси а, прохо- дящей через центр масс. И здесь если Мс.=О, то (..= =сопзй ф 5.4. Динамика твердого тела Движение твердого тела в общем случае определяется двумя векторными уравнениями, Одно из них— уравнение движения центра масс (3.11), другое — уравнение моментов в Ц-системе (5.24): гп б®сФ=Г; й4М=Мс.
(5.26) Зная законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия, можно с помощью этих уравнений найти как скорость, так и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени, т, е. полностью решить задачу о движении тела. Однако, несмотря на кажущуюся простоту уравнений (5.26), решение их в общем случае представляет собой весьма трудную задачу. И прежде всего это обусловлено тем обстоятельством, что связь между собственным моментом импульса Е и скоростями отдельных точек твердого тела в Ц-системе оказывается сложной, за исключением немногих частных случаев. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем виде (опа решается в общей теории) и ограничимся в дальнейшем только отдельными частными случаями.
Но прежде приведем некоторые соображения, прямо вытекающие из вида самих уравнений (5.26). Если мы будем переносить силы вдоль направления их действия, то ясно, что не изменяется ни их результирующая Г, ни их суммарный момент Мс При этом уравнения (5.26) тоже не изменятся, а следовательно, не изменится и движение твердого тела. Поэтому точки приложения внешних сил можно переносить вдоль направления действия сил — прием, которым постоянно пользуются. Равнодействующая сила. В тех случаях, когда суммарный момент всех внешних сил оказывается перпендикулярным результирующей силе, т.
е. М.) Г, все внешние силы могут быть сведены к одной силе Г, действующей вдоль определенной прямой. В самом деле, если относительнб некоторой точки О суммарный момент !48 М 1 Г, то всегда можно найти такой вектор гсЛ.М (рис. 8.14), что при заданных М и Г М=[г Г]. При этом выбор г, неоднозначен: прибавление к нему любого вектора г, параллельного Г, не изменит последнего равенства. Л это означает, что данное равенство определяет не точку «приложенияи силы Г, а линию ее действия. Зная модули М и Е соответствующих векторов, можно найти плечо 1 силы Г (рис. 8.14): 1=М/Г.
Рис. 5.14 Рис, 5.15 Таким образом, если М 1 Г, систему сил, действующих на отдельные точки твердого тела, можно заменить одной равнодействующей силой — силой, которая равна результирующей Г и создает момент, равный суммарному моменту М всех внешних сил. Таков, в частности, случай однородного силового поля, например поля тяжести, в котором действующая на каждую частицу сила имеет вид Г;=т,д, В этом случае суммаряый момент сил тялсести относительно любой точки О равен М = '~~ [г,, т; и] = ~ [ ~~~ т; г;) и] . Стоящая в круглых скобках сумма, согласно (3.8), равна тгс, где т — масса тела, гс — радиус-вектор егоцентра масс относительно точки О.
Поэтому М=[тгс, Д]=[гс, тф. Это значит, что равнодействующая тд сил тяжести проходит через центр масс тела. Обычно говорят, что рав- 149 нодействующая сил тяжести «приложена» к центру масс тела илн к его центру тяжести. Ясно, что момент этой силы относительно центра масс тела равен нулю.
Условия равновесия твердого тела. Тело будет оставаться в состоянии покоя, если нет причин, вызывающих его движение. Согласно уравнениям (5.26), для этого необходимо и достаточно выполнение двух условий: !) результирующая всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равной нулю, т. е. р=~'р„„,.=о; 2) суммарный момент внешних сил относительно любой точки тоже должен быть равен нулю, т. е.
и= ~~и;,„,„=о. Е,='» 7.„= ('~'т,. р',) и„ где т~ и р~ — масса и расстояние от оси вращения 1-й частицы твердого тела, ы,— его угловая скорость. Обо- значив величину, стоящую в круглых скобках, через !, получим ~ А,=ум„~ (5.27) где 7 — так называемый м о м е н т и н е р ц и и твердого тела относительно оси 00'. т,р', (5. 28) 150 Этп условия должны быть выполнены в той системе отсчета, где тело покоится. Если система отсчета неинерциальная, то кроме внешних снл взаимодействия надо учитывать и силы инерции. Это же относится и к моментам сил.
Теперь перейдем к рассмотрению четырех частных случаев движения твердого тела: 1) вращение вокруг неподвижной оси, 2) плоское движение, 3) вращение вокруг свободных осей, 4) особый случай движения тела с одной неподвижной точкой (гироскопы). 1. Вращение вокруг неподвижной оси. Найдем сначала выражение для момента импульса твердого тела относительно оси вращения ОО' (рис. 5.15). Воспользовавшись формулой (5.9), запишем Момент инерции твердого тела зависит, как нетрудно видеть, от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной.
Вычисление момента инерции тела проводится по фор- муле У вЂ” ~ гвйпт — ~ргвб1; Момент вверцив Ось гс Твердое тела цггт1г '/г тцггг гугтйг г1гтйг Перпендикулярна стержню Совпадает с осью пилиндра Совпадает с диаметром дяска Проходит через центр шара Тонкий стержень длины 1 Сплошной цилиндр радиуса й Тонкий диск радуев и 1Пар радиуса й Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно той ли иной оси представляет собой, вообще говори, довольно кропотливую в математическом отношении задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться т е о р е м о й Ш т е йнер а: молгент инерции 1 относительно произвольной оси з равен моменту инерции 1с относительно оси зс, параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы т тела на квадрат расстояния а между осями: ~ т'=т'с+ага .~ (5.29) Доказательство этой теоремы приведено в приложении 3.
Таким образом, если известен момент инерции 1с, то нахождение момента инерции Т элементарно. Например, 15! где с1т и о'в' — масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии г от интересующей нас оси з; р— плотность тела в данной точке.
Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси хс, проходящей через центр масс тела, приведены в следующей таблице (здесь пт — масса тела): момент инерции тонкого стержня (массы т и длины 1) относительно оси, перпендикулярной стержню п проходящей через его конец, равен 7 = — тР+ т — = — тР. 12 2 ~ 3 Уравнение динамики вращения твердого тела (ось вращения неподвижна). Это уравнение легко получить как следствие (5.15), если продифференцировать (5.27) по времени, тогда (5.30) где М,— суммарный момент всех внешних сил относительно осн вращения.
Из этого уравнения, в частности, видно, что момент инерции 7 определяет инерционные свойства твердого тела прп вращении: при одном и том же значении момента сил М, тело с ббльшим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение 5,. Напомним, что моменты сил отяосительпо оси — величины алгебраические: их знаки зависят как от выбора положительного направления оси г (совпадающей с осью вращения), так и от направления «вращения» соот. ветствующего момента силы, Например, выбрав положительное направление оси з, как показано на рис.
5.16, мы тем самым задаем и положительное направление отсчета угла гр (оба эти направления связаны и правилом правого винта). Далее, если некоторый момент М;, «вращает» в положительном направлении угла ~2, то этот момент считается положительным, и наоборот. А знак суммарного момента М.- в свою очередь определяет знак Рнс. 5,16 пРоекЦии вектоРа Углового УскоРениЯ па ось з.
Интегрирование уравнения (5.30) с учетом начальных условий — значений аьь и я~э в начальный момент времени — позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, т, е. найти зависимость от времени угловой скорости и угла поворота, в,(1) и ср(1). Заметим, что уравнение (5.30) справедливо в любой системе отсчета, жестко связанной с осью вращения. Однако если система отсчета неинерциальная, то момент сил М, включает в себя не только моменты спл взаимодействия с другими телами, но и моменты гил инерции. !52 Кинетическая энергия вращающегося твердого тела (ось вращения неподвижна). Имея в виду, что скорость 1-й частицы вращающегося твердого тела о,=р,ш, запи- шем Т = "~~ и, е272= (~~) лт, р21) м272, или, короче, 7 = — 11аэ (5.31) где 1 — момент инерции тела относительно оси вращения, ш — его угловая скорость. Пример.
Диск 1 (рис 517) вращается вокруг гладкой верткаль ной оси с угловой скоростью м1 На него падает диск 2, вращающийся с угловой е скоростью мз Вследствие трения между ними оба диска через некоторое время на чинают вращаться как единое целое Най дем приращение кинетической энергии вра г щения этой системы, если моменты инер цнн дисков относительно оси вращения 1 равны соответственно 11 и 11 Сначала найдем установившуюся уг ловую скорость вращения Из закона со Рис 517 хранения момента импульса системы отно сительно оси г следует, что 11от1*+12юз,= = (11+ 11) со „откуда 11шза + 12мэ 1 +1 Заметим что ем„гэг* и ы, — величины алгебраические Если окажется, что ьь>0, то это зна 1ит, что соответствующий вехтор и совпада ет с почожительным направлением оси а, и наоборот Г!риращение кинетической энергии вращения этой системы дТ = 12 (!1+ 12) гэа 112 (1!ига+ 12~2д) Заменив ы, его выражением (1), голучим 11 12 ЛТ вЂ .= — (и1» м2а) 2 (11 + 12) (2) 153 Знак минус показывает, что кинетическая энергия системы уменьшается Обратим внимание на то, что полученные результаты (1) и (2) весьма похожи и по форме, и по смыслу на случай абсолютно не упругого столкновения (см Гг 4 5), Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
