И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если же «гг: т„то физический смысл имеют оба знака перед корнем — ответ в этом случае неоднозначен: под углом 0 импульс рассеянной частицы может иметь одно из двух значений (это зависит от относительного расположения частиц в момент соударения). Последний случай соответствует векторной диаграмме, показанной на рис. 4.14, в. ° 4.13. Какую часть г) своей кинетической энергии теряет чзстицз массы т, при упругом рассеянии под предельным углом на по. коящейся частице массы глз(ш~)тз)з Решение. Пусть Ть р~ и Т и р'~ — кинетическая энергия и импульс налетающей частицы до и после рассеяния.
Тогда и = (Тг — Т У Тг =! — Т. )Тг = ! — (р /Рг)з, (1) т. е. задача сводится к нахождению отношения р'~/рь Воспользуемся векторной диаграммой импульсов, соответствую. щей предельному углу д~ ср (рис. 4.21). Из прямоугольного тре. угольника АСО следует, что '2 г Р =(р — й' — Рз=-Р— 2РР откуда (р~)рг)з =-1 — 2р)рг =! — 2тз!(тг+ тз). (2) После подстановки (2) в (1) получим ч = 2шз((юг + глз) . ° 4.14. Атом массы ш~ испытал неупругое столкновение с по. конвшейся молекулой массы ть После соударения обе частицы раз. летелись под углом 8 друг к другу с кинетическими энергиями ТТ и Тз' соответственно, причем молекула оказалась в возбужденноМ состоянии — ее внутренняя энергия увеличилась на определенную величину Я. Найти О, а также пороговую кинетическую энергию атома, при которой возможен переход молекулы в данное возбужденное со.
стояние. Решение. Из законов сохранения энергии и импульса в этом процессе' следует: Тц= Тг+ Тз+ С), рг -- рг + рз + 2р~ )зз соз 8, 2 '3 '2 где штрихами отмечены величины после соударения (второе соотношение сразу следует из треугольнина импульсов согласно теореме косинусов). Воспользовавшись формулой рз=2тТ, исключим Т, из этих уравнений. В результате получим 1! = — (тз!шг — !) Тт -1- 2 Т' (тз/т~) Т Тз соз О Тг нор =! 1! ! (ш! + шз)/глз ° ) 4.14.
Распад частицы. Частица с импульсом рз (в К-системе) распалась на лету на две частицы с массами тг и глз. При этом пыделилась энергия Я вЂ” энергия распада (она перешла в кинетическую энергию). Построить векторную диаграмму импульсов для этого процесса и найти с помощью нее возможные импульсы р~ и рг возникших частиц.
Решение. Наиболее просто этот процесс выглядит в Ц-аисте ме: здесь распадающаяся частица покоится, а частицы распада разлетаются в противоположные стороны с одинановыми по модулю импульсами р,=рг=р. Энергия распадз О целиком переходит а суммарную кинетическую энергию Т возникающих частиц. Поэтому р = )' 2р. Т = ~Г 2р О, где р — приведенная масса системы возникших частиц.
13! Найдем импульсы возникших частиц в К-системе. Воспользовавшись формулой преобразования скоростей при переходе от Ц- к К-системе, запишем: Рг = глг чг = тг (Чс + чг) = тг Чс+ Ры Рз = шз чх = гпз (чс + чз) =. та чс + Рз Глава 5 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЪСА $5.1. Момент импульса частицы.
Момент силы Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии и импульса существует еше одна механическая величина, с которой также связан закон сохранения, — это так называемый момент импульса*. Что это за величина и каковы се свойствар Сначала возьмем одну частицу, Пусть г — радиус-вектор, характеризующий ее положение относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета, а р — ее импульс в этой системе. Моментом импульса частицы А относительно тцчки О (рис. 5.1) называют вектор ), равный векторному произведению векторов г и р: ~ 1.=)гр1. ~ (5.1) Из этого определения следует, что 1. является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вра° - -.рп --.
о ° -.р- .„, --,р. р ° ...„р " Используют также названия моне н т кол нч ест на дни. жения, угловой момент нли просто момент. 132 причем, согласно закону сохранеаия импульса, р~+рз=рм С помощью этих фор- мул построим векторную С диаграмму импульсов (рис. 4.22). Изобразим сначала отрезок АВ, ранр / / Рг аый импульсу рм Затем 'р радиусом р проведем ок- / ружность с центром в А ль шт точке О, которая делит 0 Ве отрезок ЛВ иа две части в отношении тг .. тз. Эта Рис. 4.22 окружность и есть гео- метряческое место точек всех возможных положений вершины С треугольника импульсов АВС. Е образуют правовпнтовую систему. Модуль вектора !. равен А=го з!и и=)р, (5.
2) где о — угол между г н р, Г=-гз!и а — плечо вектора р относительно точки О (рис. 5.!). Уравнение моментов. Выясним, какая механическая величина ответственна за изменение вектора !. в данной л > Рис. 5.2 ' сй.,й=)с)г/й, р)+)г, бр)й). Так как точка О неподвижна, то вектор бг/й равен скорости ч частицы, т. е. совпадает по направленшо с вектором р, поэтому )дг)й, р1=0. Далее, согласно второму закону Ньютона, с)р)й=Г, где à — равнодействующая всех снл, приложенных к частице.
Следов атель но, Л./й = ! гГ). Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют м о м е н т о м с и л ы Г относительно точки О (рис. 5.2). Обозначив ее буквой М, запишем ~ М=)гГ). ) (5.3) Вектор М, как и !., является аксиальныи. Модуль этого вектора, аналогично (5,2), равен (5.4) !ЗЗ Ц =!Р, системе отсчета. Для этого продпфференцируем (5.!) по времени: где г — плечо вектора Г относительно точки О (рис. 5.2). Итак, производная по времени от момента импульса Е частицы относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета равна моменту М равнодействующей силы Г относительно той же точки О: (5.5) Это уравнение называют уравнением моментов.
Заметим, что если система отсчета является неинерциаль- / l 1 (7) с Рис. 5.4 Рис. 5.3 ной, то момент силы М включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции (относительно той же точки О). Из уравнения моментов (5.5), в частности, следует, что если М=О, то Е=сопзт. Другими словами, если относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересующего нас промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого времени. Пример П Некоторая планета А движется в поле тяготения Солнца С (рис.
5.3). Относительно какой точки гелиоцентрической системы отсчета момент импульса данной планеты будет сохраняться ао времени? Лля ответа иа этот вопрос прежде всего необходимо установить, какие силы действуют на планету А В данном случае это только сила тяготения Р со стороны Солнца. Так как при двйжении планеты направленно этой силы все время проходит через центр Солнца, то последний и является той точкой, относительно которой момент силы Р все время равен нулю, и момент импульса планеты будет оставаться постоянным Импульс же р планеты при этом будет меняться. Пример 2.
Шайба А, двигаясь по гладкой горизонтальной плоскости, упруго отскакивает от гладкой вертикальной стевин (рис. 5.4, вид сверху). Найдем точку, относительно которой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в этои процессе. На шайбу действу1от сила тяжести, сила реакции со стороны горизонтальной плоскости и сила реакции Н со стороны стенки в иомент удара о нее. Первые две силы уравновешивают друг друга, остается сила Н. Ее момент равен нулю относительно любой точки, лежащей на линии действия нектора и, а значит, относительно любой из этих точек момент импульса шайбы будет останаться постоявиыи в данном процессе.
Пример 3. На горизонтальной гладкой плоскости находятся неподвижный вертикальный цилиндр и шайба А, соединенная с цилиадрои горизонтальной нитью АВ (рис. 5.5, вид сверху). Шайбе сообщили начальную скорость ч, как т/ показано на рисунке. Есть ли здесь точка, относительно ноторой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в процессе А авиженияу В В данном случае единственная некоипенсированная сила, действу- Р .55 ющая на шайбу А,— зто сила па-' ис. гяжения Г со стороны нити.
Нетрудно видеть, что точки, относительно которой моиевт силы Г в процессе движения был бы нсе время равен нулю, здесь нет. А следовательно, иет и точки, относительно которой момент импульса шайбы оставался бы постоянным. Этот пример показывает, что не всегда сущестнует точка, относительно которой момент иипульса частицы оставался бы постоянныы. Уравнение моментов (5.5) позволяет получить ответ на два вопроса: 1) найти момент силы М относительно интересующей нас точки О в любой момент времени (, если известна зависимость от времени момента импульса 1.(() частицы, относительно той же точки; 2) определить приращение могяента импульса частицы относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы М((), действующего на эту частицу (относительно той же точки О). Решение первого вопроса сводится к нахождению производной по времени от момента импульса; т.
е. 61./Ж, которая и равна, согласно (5.5), искомому моменту силы М. Решение же второго вопроса сводится к интегрированию уравнения (5.5). Умножив обе части этого уравнения на г)(, получим Ж=Мпг — выражение, которое определяет элементарное приращение вектора 1..
Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора Ь за конечный промежуток времени гт 135 Величин), стоящ) ю в правой части этого уравнения, называют импульсом момента силы, Таким образом, приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за эго же время. Рассмотрим два примера. йгт Рис. 5.6 Рис 57 Пример 1 Момент импульса частицы относительно некоторой точки меняется со временем 1 по закону ь(1) =.а+ы'-, где а и ь— некоторые постоянные векторы, причем айЬ Найдем момент силы М, действующий на частицу, когда угол между векторами М и ь ока.
жется равным 45 Согласно (5 5), М=сь(41=2Ы, т е вектор М все время совпадает по направлению с вентором Ь Изобразим векторы М и Е в некоторый момент 1 (рнс 5 6) Из этого рисунка видно, что угол а= =-45' в момент гч, когда а=ЫР Отсюда ге= Ус~)Ь и М=21а~Ь Ь Пример 2 Камень А массы гп бросили под углом н горизонту с начальной скоростью те Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдем зависимость от времени момента нмпульсз камня Е(1) относительно точки бросания О (рис 5 7) За промежуток времени гц момент импульса камня относительно точки О получит приращение бь=М41=(г, гнд]41 Так как г=то1+ +Кц)2 (см с 12), то бЕ=(ть нгя)гбг Проинтегрировав это выраже пне с учетом того, чзо в момент 1=0 Е(0) =О, получим ь(1) = =.[тм тя)Н(2 Отсюда видно, что направление вектора й остается неизменным в процессе дви кення (вектор Е направлен за плоскость, рис 5 7) Момент импульса и момент силы относительно оси.
Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось г. Пусть относительно некоторой точки О на осн а момент импульса частицы А равен Е, а момент силы, действующий на частицу,— М. Моментом импульса относительно оси я называют про- 136 акцию на эту ось вектора а., определенного относительно произвольной точки О данной осп (рпс. 5.8). Лпало- Рис. 5.8 Рис. 5.9 гично вводят и понятие момента силы относительно оси.
Их обозначают соответственно Л, и М,. Далее мы увидим, что Ь, и .'И- не зависят от выбора точки О на оси г. Выясним свойства этих величин. Записав уравнение 15.5) в проекциях на ось г, получим бУ.„~Й =- ти„(5.? ) т. е. производная по времени от е Е момента импульса частицы относительно оси г равна моменту сн- у ем лы относительно этой оси. В част- --й ности, если М,=О, то й,=сопз1, '.л Другими словами, если момент Е силы относительно некоторой неподвижной оси г равен нулю, то момент импульса частпцы относительно этой оси остается постоянным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
