И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ясно, что система шайба — стержень незамкнутая: кроме сил, уравновешивающих друг друга в вертикальном направлении, са стороны оси в процессе удара будет действовать горизонтальная сила, а после того, как стержень начнет вращаться, возникает еще одна сила со стороны оси, благодаря которой центр масс системы будет двигаться по окружности.
Но обе силы проходят через точку О, а 142 следовательно, момент втих внешних сил относительно точки О все время равен нулю. Отсюда вывод: момент импульса данной системы будет оставаться постоянным относительно точки О. В более ограниченном случае у незамкнутых систем может сохраняться не сам момент импульса Е, а его проекция на некоторую неподвижную ось г, Это бывает тогда, когда проекция суммарного момента М„мш всех внешних сил на эту ось г равна нулю, В самом деле, записав уравнение (5.12) в проекциях на ось г, получим т)й,тот = М,„,, (5.15) Здесь А, и М„,,— момент импульса и суммарный мо- мент внешних сил относительно оси г: (5. 16) ~а =~~~~~ ~ ы~ ''"~чччч~с= «~~ Мьм где Ь„и ̄— момент импульса и момент внешних сил относительно оси г для 1-й частицы системы. Из уравнения (5.15) следует, что если относительно некоторой неподвижной в данной системе отсчета оси г проекция Мвисш с=в О, то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется: Е,=~~~~ Е„(У)=сопз1.
При этом сам вектор Е, определенный относительно произвольной точки 0 на этой оси, может меняться. Например, если система движется в однородном поле тяжести, то суммарный момент всех сил тяжести относительно любой неподвижной точки О перпендикулярен вертикали, а значит, относительно любой вертикальной оси М ешя— = О и ь,=сопи(, чего нельзя сказать о векторе 1.. Рассуждения, которые приводят к закону сохранения момента импульса, целиком опираются на справедливость законов Ньютона, А как обстоит дело в системах, не подчиняющихся этим законам, например в системах с электромагннтным излучением, в атомах, ядрах и др.? Учитывая громадную роль, которую играет закон сохранения момента импульса, в физике понятие момента импульса расширяют на немеханические системы (которые не подчиняются законам Ньютона) н постулируют закон сохранения момента импульса для всех физических процессов.
Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является следствием законов Ньютона, а представляет собой самостоятельный общий принцип, 1Я являющийся обобщением ояьстньсх фактов. Наряду с за- конами сохранения энергии и импульса закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальньсх законов нриродьи й 5.3.
Собственный момент импульса М='~ [г, Г,[='~)'[г, Г,[+ '~~ [г, Гс[, илп ~М=М+[г.Г[,~ (5.18) где Г=~Г, — результирующая всех внешних сил. Из формулы (5.18) видно, что если Г=О, то суммарный момеят внешних сил не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Таков, в частности, случай, когда к системе приложена и а р а с ил. Пример. К телу в точках 1 и 2 приложены две одинаковые по модулю и оротивоположно направленные силы Г, и Гэ, не действующие вдоль одной прямой (иара сил) Пусть г~э — радиус-вектор, проведенный нз точки ! в точку 2 Найдем суммарный момент М этой пары сил Здесь результирующая сила Г=Г~+Гз=а, поэтому согласно (5 18) момент М этой пары сил не должен зависеть от выбора точки 144 В предыдущем параграфе было установлено, что момент импульса 1.
системы изменяется только под действием суммарного момента М всех внешних снл; именно этот вектор М определяет поведение вектора 1.. Те/' перь рассмотрим некоторые наиболее существенные свойства этих величин и те важные выводы, которые из них вытекают. Суммарный момент внешних сил. Как и момент каждой силы, суммарный момент сил зависит, вообще Рис, 513 говоря, от выбора точки, относительно которой его определяют. Пусть М вЂ” суммарный момент сил относительно точки О, а М' — относительно точки О', радиус-вектор которой го (рис.
5.13). Найдем связь между М и М'. Радиусы-векторы г, и г', точки приложения силы Г, связаны соотношением г,=г',+г, (рис. 5.13). Поэтому выражение для М можно записать в таком виде: О, относительно которой его определяют. Воспользовавшись зтим, выберем в качестве точки О точку ! (относительно нее момент силы Г~ равен нулю), тогда Я = [гш Рз) . Модуль вектора М равен, как нетрудно сообразить, М=1г, где г'— п л е ч о п а р ы, т е. расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы, а г — модуль кагкдой силы. Интересной и важной особенностью в этом отношении обладает Ц-система (напомннм, что эта система отсчета жестко связана с центром масс системы частиц и перемещается поступательно по отношению к инерциальным системам). Так как в общем случае Ц-система является неинерциальной, то результирующая всех внешних сил должна включать в себя кроме внешних сил взаимодействии Г,* и силы инерции Г, . С другой стороны, в Ц-системе система частиц как целое покоится, а это значит, согласно (3.11), что Г=Гзз+Г„н=О.
Имея в виду (5.18), мы приходим к следующему важному выводу: в Ц-системе сулглгарный момент всех внешних сил, включал силы инерции, не зависит от выбора точки О. И другой важный вывод: в Ц-системе суммарный момент сил инерции относительно центра лгасс всегда равен нулю: (5.19) В самом деле, сила инерции, действующая на каждую частицу системы, Гг= — тга„где ао — ускорение Ц-системы. Поэтому суммарный момент всех этих сил относительно центра масс С й(с" = ~~~~~ [гг, — т; а„] = — [[зр', т, г;], а,] . Согласно (3.8),~чР~тгг;=тгс, а так как в нашем случае ге=О, то и Мс =О. Собственный момент импульса. Как и момент сил, момент импульса системы зависит, вообще говоря, от выбора точки О, относительно которой его определяют. При переносе этой точки па расстояние го (рис.
5.13) новые радиусы-векторы частиц г'; связаны со старыми г; формулой г,=г'г+гв Поэтому момент импульса системы отяосительно точки О можно представить так: Е =~~)' [г, р [ =~~)" [г' рг]+~~~~ [г„р ], 145 или ~ Ь=Ь'+[г,р], ~ (5.2О) ~ Ь=Ь+[гс р], ~ (5.23) т. е. момент импульса Ь системы частиц складываетсн из ее собственного момента и,ипульса Ь и момента [гор], обусловленного движением систельы частиц как целого. Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по наклонной плоскости.
Его момент импульса отно- 146 где Ь' — момент импульса системы относительно точки О', а р=Хр~ — полный импульс системы. Из формулы (5.20) следует, что если полный импульс системы р=б, то ее момент импульса не зависит от выбора точки О. А этим как раз и отличается Ц-система, в которой система частиц как целое покоится. Отсюда мы приходим к третьему важному выводу: в Ц-системе момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Этот момент называют собственным момент о м и м п у л ь с а системы и обозначают Ь. Связь между Ь и 1.. Пусть Ь вЂ” момент импульса системы частиц относительно точки О К-системы отсчета.
Так как собственный момент импульса 1. в Ц-системе не зависит от выбора точки О', возьмем точку О' совпадающей в даннь1й момент с то ской О К-системы. Тогда радиусы-векторы каждой частицы в обеих системах отсчета будут одинаковы в этот момент (г';=г;), скорости же частиц связаны формулой ч,=ч,+Чс, (5.21) где Чс — скорость Ц-систсмы относительно К-системы. Поэтому можно записать Ь= ~~)'т; [г, чд]= ~~)~~т; [г;и,]+ ~~)~~гп, [г, Чс].
(5,22) Первая сумма в правой части этого равенства есть собственный момент импульса 1., Вторую сумму в соответствии с формулой (3.8) представим как т[гсЧс], илн [гор], где гп — масса всей системы, гс — радиус-вектор ее центра масс в К-системе, р — суммарный импульс системы частиц. В результате ~ сй.!ОГ=Мс, ~ (5.24) т. е. производная по времени от собственного момента импульса системы равна суммарному моменту всех внешних сил взаимодействия относительно центра масс данной системы.
В частности, если Мс— = О, то Е=сопз1, т. е. собстеенный момент импульса системы сохраняется. В проекциях на ось г, проходящую через центр масс системы, уравнение (5.24) имеет вид б~мФ ~~~ею (5.25) 147 сительно некоторой точки этой плоскости складывается из момента импульса, связанного с движением центра масс шара, и собственного момента импульса, обусловленного вращением шара вокруг собственной осн. Из формулы (5.23), в частности, следует, что если центр масс системы покоится (импульс системы р=О), то ее момент импульса ).— это собственный момент импульса. С этим случаем мы уже знакомы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
