И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При этом сам вектор ). Рис 5.10 может и меняться. Пример. Небольшое тела массы лн подвешенное па нити, равномерно днижстся по горизонтальной окружности (рис. 5.9) под действием силы тяжести тя и силы натяжения Т со стороны пптж Отно сительно точки О момент импульса тела — вектор ь — находится а одной плоскости с осью г и питью, и прн движении тела вектор под дейстяием момента М силы тяжести асе время поворачивается, т, е, меняется, Проекция же 5, остается при этом постоянной, так как вектор М перпендикулярен оси г и М,=О. 137 Найдем теперь аналитические выражения для Л, и М,. Нетрудно видеть, что эта задача сводится к нахождению проекций на ось з векторных произведений [гр] и [гг]. Воспользуемся цилиндрической системой координат р, ~р, з, связав с частицей А (рис.
5АО) орты е,, е, е„ направленные в сторону возрастания соответствуюших координат. В этой системе координат радиус-вектор г и импульс р частицы записывают так: г=рер+ае„р=ррер+Р е,+Р,е„ где ря, рт, р,— проекции вектора р на соответствуюшие орты. Из векторной алгебры известно, что векторное произведение [гр] можно представить определителем е, е, е, р 0 Р~ Р Рг Е=[гр!= Отсюда сразу видно, что момент импульса частицы от- носительно оси г (5ЛО) М =рот, где Š— проекция вектора силы Г на орт е . Обратим внимание, что проекции Е, и М, действительно не зависят от выбора точки О на оси я, относительно которой определены векторы $. и М.
Кроме того, видно, что й, и М. — величины алгебраические, их знаки соответствуют знакам проекций рч и Г,. ф 5.2. Закон сохранения момента импульса Выберем произвольную систему частиц. Введем понятие момента импульса данной системы как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц: 138 ~-,=р Р., (5.8) где р — расстояние частицы от оси я. Преобразуем это выражение к виду, более удобному для практических применений. Имея в виду, что р =то.=жры„получим у.,=т рэмбо„ (5.9) где ы, — проекция угловой скорости ы, с которой поворачивается радиус-вектор частицы.
Аналогично (5.8) записывается и момент силы относительно оси аз где все векторы определены относительно одной и той же точки О заданной системы отсчета. Заметим, что момент импульса системы — величина аддитивная: момент импульса системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет. Выясним, какая величина определяет изменение момента импульса системы.
Для этого продифференцируем (5,11) по времени: д(,гй=~чИ4дй В предыдущем параграфе было показано, что производная дЕ;/Ж равна моменту всех сил, действующих на г-ю частицу. Представим этот момент в виде суммы моментов внутренних и внешних сил, т. е. М,'+М,. Тогда Здесь первая сумма — это суммарный момент всех внутренних сил относительно точки О, вторая сумма — суммарный момент всех внешних сил относительно той же точки О. Покажем, что суммарный момент всех внутренних сил относительно любой точки равен нулю. Действительно, внутренние силы в это силы взаимодействия между частицами данной системы, По третьему закону Ньютона, эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т. е.
имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил каждой пары взаимодействия равны но модулю и противоположны по направлению, т, е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент всех внутренних сил всегда равен нулю. В результате последнее уравнение принимает вид (5.12) где М„„„,— суммарный момент всех внешних сил, М„=,з Мг. Уравнение (5.12) утверждает: производная момента имггульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил. Разумеется, оба момента, В и М, здесь определены относительно одной и той же точки О заданной системы отсчета.
Как и в случае одной частицы, из уравнения (5.12) следует, что приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени 1 (5.13) (5.14) т. е. приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного момента всех внешпих спл за соответствующий промежуток времени. И здесь, конечно, оба момента, 1. и М„„ы определены относительно одной и той же точки О выбранной системы отсчета. Уравнения (5.12) и (5.13) справедливы как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета.
Только в неинерциальной системе отсчета нужно учитывать и действие снл инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под М„„, в этих уравнениях следует понимать сумму Млч+М„„, где М,, — суммарный момент внешних сил взаимодействия, М„„— суммарный момент спл инерции (относительно одной и той же точки О системы отсчета), Итак, мы пришли к важному выводу: согласно уравнению (5.12), лгомент импульса систелгы может изменяться под действием только суммирноео момента всех внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает и другой важный вывод — -закон сохранения момента импульса: момент илгпульса замкнутой систелгы частиц остается постоянным, т. е. не меняется со временем, причем это справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета.
Таким образом, в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц 1.= ~~~ Ь, (г) =сопз1. При этом моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со временем, что н подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение момента импульса одной части системы равно убыли момента импульса ее другой части (конечно, относительно одной и той же точки системы отсчета). В этом смысле уравнения (5.12) и (5.13) можно рассматривать как более общую формулировку закона со- гло хранения момента импульса, формулировку, в которой указана и причина изменения момента импульса интересующей нас системы — действие других тел (через момент внешних снл взаимодействия).
Сказанное, разумеется, справедливо только по отношению к инерциальным системам отсчета. Подчеркнем еще раз: закон сохранения момента импульса имеет место только по отношению к инерциальиым системам отсчета. Однако это не исключает случаев, Ноша Рис. 5.11 когда момент импульса системы сохраняется и в неияерцпальных системах отсчета. Для этого достаточно, чтобы согласно уравнению (5.12) — а оио справедливо и в неинерциальных системах отсчета — суммарный момент всех внешних спл (включая и силы инерции) был равен нулю.
Такие ситуации реализуются довольно редко и соответствующие случаи имеют весьма частный характер. Закон сохранения момента импульса играет такую же важную роль, как и законы сохранения энергии и импульса. Уже сам по себе он позволяет сделать во многих случаях ряд существенных заключений о свойствах тех илн иных процессов, совершенно не вникая в их детальное рассмотрение. Проиллюстрируем сказанное на таком примере. Пример. Два одинаковых шара насажены на гладкий горизонтальный стержень, по которому они могут скользить (рис.
5.11). Шары сближают и соединяют нитью. Затем нсю установку приводят во вращение вокруг вертикальной оси, предоставляют ее самой себе и пережигают нить. Шары, естественно, разлетаются к концам стержня. Угловая скорость установки при этом резко уменьшается. Наблюдаемый эффект является прямым следствием закона сохранения момента импульса. Данная установка ведет себя, по суще. ству, как замкнутая: внешние силы компенсируют друг друга, силы трения в оси предполагаются пренебрежимо малыми.
Для количественной оценки изменения угловой скорости будем считать, что масса всей установки практически сосредоточена в шарах, а их размеры 141 достаточно малы. Тогда из равенства моментов импульса шаров ат. носитсльно точки С в начальном и конечном состояниях системы, 2ш[ггчг[=2т[гзчз], следует 2 2 г ан =гаем. Отсюда видно, что с увеличением расстояния г шаров от оси вращения угловая скорость установки уменьшается (как 1/гз).
И наоборот, если бы расстояние между шарами уменьшалось (под действием каких-либо внутренних сил), угловая скорость установки увеличивалась бы. Этот эффект имеет общий характер, и его широко используют, например, фигуристы н гимнасты. д А Обратим внимание на ззтв) тот факт, что конечный результат совершенно не зависит от характера вн>трениях сил (здесь — это силы треРис. 5.!2 ния между шарами и стерж- нем). Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса [. сохраняется для незамкнутых систем, у которых, как известно, импульс р меняется со временем. Если относительно некоторой точки 0 выбранной системы отсчета, суммарный момент внешних сил М„=О в течение интересующего нас промежутка времени, то, согласно (5.12), момент импульса системы относительно точки 0 сохраняется за зто время.
В незамкнутых системах такой точки, вообще говоря, может и не быть, что следует прежде всего выяснить для каждого конкретного случая. Пример 1. Система Земля — Луна, движущаяся в поле тяготения Солнца, является незамкнутой. Ее импульс все время меняется под действием сил тяготения со стороны Солнца. Здесь, однако, имеется одна точка, относительно которой момент сил тяготения, действующих на данную систему, все время равен нулю, — это центр Солнца.
Поэтому можно сразу утверждать, что момент импульса системы Земля — Луна относительно центра Солнца остается постоянным. Пример 2. На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень ОВ, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его конец О (рис. 5.12]. В конец В стержня попадает, застревая, шайба А, скользившая по плоскости, и вся система начинает вращаться как единое целое вокруг тачки О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
