И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Возвращаясь к уравнению (4.51), можно сказать: при уменьшении механической энергии замкнутой системы всегда возникает эквивалентное количество энергии других видов, не связанных с в и д и м ы м движением. В этом смысле уравнение (4.49) можно рассматривать как более общую формулировку закона сохранения энергии, в которой указана причина изменения механической энергии у незамкнутой системы. В частности, механическая энергия может сохраняться у незамкнутых систем, но это происходит лишь в тех случаях, когда, согласно уравнению (4,49), уменьшение этой энергии за счет работы против внутренних диссипативных сил компенсируется поступлением энергии за счет работы внешних сил. !!О олл стор -4онсот = '4лнсш + 4внсш 'г!о работа внешних снл поля, в спою очередь, мажет быть представ- полн лена как убыль внешней потенциальной энерп1н, а именно А „„„„ = — ЛУ,л, .
Тогда '4лнсш ' й(тлнсш + "4онс|в Подставив последнее выражение з формулу (4.4б), получим Величину, стоящуто слева в скобках, называют полной меха и и ческой энергией Е' системы во внешнем стадно парном поле консервативных сил: Š— - 7 + Усов + 6 мтсщ ! =- (4.53) В отличие от выражения (4.47) эта полная механическая энергия включает в себя помимо суммарной кинетической и собственной по тенциальной энергии еще и потенциальную энергию системы во внеш нем поЛе (т' осси С учетом (4.53) уравнение (4.52) можно переписать так: Ез — Е, =-Ас"Р + А""' р.~ (4.54) Из этого уравнения вытекает закон сохранения пояной механической энергии системы, находящейся во внеш.
нем стационарном поле консервативных снл; если на интересующую нас систему частиц не действуют внешние сторонние вилы и нет внутренних диссипативных сил, то полная ме ханическая энергия такой системы остаетея постоянной; Е' = Т+У„З+(умы =Санат. ~ (4.55) Простейшим примером подобной системы могут служить двз небольших тела, соединенные друг с другом пружинкой. Если эта система движется в поле тяжести в отсутствие сопротивления воз духа (т. е.
иет внешних сторонних сил), то меняются се кинетическая энергия Т, собственная потенциальная энергия Г„,о и внешняя по. 111 Механическая энергия системы во внешнем поле. Если интересу ющая нас система частиц находится во внешнем стационарном пола консервативных сил, то часто быааег удобно пользоваться другим выражением для полной механической энергии Е этой системы, от личным от (4.47). В данном случае внешние силы, действующие на частицы систе мы, можно разделить на силы со стороны ннешнего поля (в н е ш н и е с и л ы и о л я] н все остальные внешние силы, не относящиеся к данному внепшему полю (внешние сторонние силы).
Со ответственно работа А»ел„, внешних сил может быть представлена как алгебранческзя сумма работ внешних сил поля и внешних сторонних снл: тЕНЦИаЛЬНаа ЭНЕРГИЯ б)„ч, , ОДНаКО аЛГЕбРаИЧЕСКаЯ СУММа ЭТИХ ТРЕХ величин будет оставаться постоянной. другой пример — это система Земля — Луна н поле тяготения Солнца. В процессе днижеиия этой системы также меняются т, 1)ч,а и У„„,ж, но их алгебраическая сумма сохраняется неизменной. В заключение остается отметить, что уравнение (4.54) ныполня. ется как е инерцнальной, так и и неинерциальной системах отсчета, закон же сохранения механической энергчи (4.55) — только и инерциальной.
Связь между энергиями в К- и Цасистемах отсчета. Прежде всего установим эту связь для кинетических энергий системы, Пусть в К-системе отсчета кинетическая энергия интересующей нас системы частиц равна Т. Скорость Вй частицы можно представить как ч,=ч;+Чг, где ч; — скорость этой частицы в Ц-системе, а Чс — око. рость Ц-системы относительно К-системы отсчета.
Тогда для кинетической энергии Т системы можно записать у глг "г ' г(" + ьгс)з 2 2 =ах — ',— ' 4 т. ат ',, + аз Так как в Ц-системе центр масс покоится, значит, согласно (3.9), ~~бтгтгг=О и предыдущее выражение примет вид г = ) + /г эт )г с, ° ! где 2'=1/,~от о ' — суммарная кинетическая энергия частиц в Ц-системе, т — масса всей системы.
Таким образом, кинвтичесгсая энергия системы частиц складывается из сумлгарной кинетической энергии Т в Ц-системе и кинетической энергии, связанной с движением системы частиц как целого. Это важный вывод, и он неоднократно будет использоваться в дальнейшем (в частности, при изучении динамики твердого тела), Из формулы (4.56) следует, что кинетическая энергия системы частиц минимальна в Ц-системе — в этом еще одна особенность Ц-системы. Действительно, в Ц- системе Чс=О, поэтому в (4.56) остается только 7. Перейдем к полной механической энергии Е системы. Так как собственная потенциальная энергия системы Цгсоо зависит только от конфигурации системы, то зна- ЧЕНИЕ (/соб ОдИНаКОВО ВО ВСЕХ СИСтЕМаХ ОтСЧЕта.
ДОбаВИВ Цсоо в левую и правую части равенства (4.56), получим 112 формулу преобразования полной механической энергии Е при переходе от К- к Ц-системе: (4 57) ГдЕ Е=7+Цсоо. Эту ЭИЕрГИ1О НаЗЫВаЮт ВНутрЕННЕй механической энергией системы. Пример. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две не. большие шайбы, каждая массы т, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Одной нз шайб сообщили начальную скорость ом как показано на рис. 4.10 (вид сверху). Най. дсм внутреннюю механическую эаергию Е этой системы в пропессе днижения.
Поскольку плоскость гладкая, система в про. мессе двиэкения будет вести себя как замкнутая. ° Ф Поэтому сс полная механическая энергия Е и ско. рость Чс венгра масс будут сохраняться, оста. ваясь равными тем значениям, которые они име ни в начальный момент: Е=-гпоэх(2 н )ге=се)2 Подставив эти значения в формулу (4.57), полу. чим Рис.
4.10 Е = Š— Чг2т)гс = эг'4 шоо ° где учтено, что масса системы равна 2ш. 1!етруд. но сообразить, что внутренняя энергия Е связана с врашением и колебанием данной системы, причем в начальный момент Е была равна тольно энергии врашательно. го движения. Если система частиц залггснута н в ней происходят процессы, связанные с изменением полной механической энергии, то из (4.57) следует, что ЛЕ=ЛЯ, т. е.
приращение полной механической энергии относительно произвольной инерциальной системы отсчета равно приращению в н у т р е н н е й механической энергии. При этом кинетическая энергия, обусловленная движением системы частиц как целого, не меняется, ибо для замкнутой системы Чс=сопзй В частности, если замкнутая система к о н с е р в ат и в н а, то ее полная механическая энергия сохраняется во всех инерциальных системах отсчета. Этот вывод находится в полном соответствии с принципом относительности Галилея.
й 4.6. Столкновение двух частиц Предварительные сведения. В этом параграфе мы рассмотрим различные случаи столкновения двух частиц, 1!3 используя в качестве инструмента исследования только законы сохранения импульса и энергии. При этом мы увидим, что законы сохранения позволяют сделать ряд весьма общих и существенных заключений о свойствах данного процесса вне какой-либо зависимости от конкретного закона взаимодействия частиц. Попутно покажем, какие преимущества дает Ц-система, использование которой, как будет видно, значительно упрощает анализ процесса и многие расчеты.
Хотя мы будем говорить о столкновении частиц, необходимо сразу же оговорить, что все последующие рассуждения и выводы в равной степени относятся и к столкновению л ю б ы х т е л. Надо только иметь в виду, что вместо скорости частицы следует брать скорость центра масс каждого тела, а вместо кинетической энергии частицы — ту часть кинетической энергии каждого тела, которая характеризует его движение как целого. Прежде чем переходить к рассмотрению теории столкновений, приведем несколько важных н полезных соотношений для системы из двух частиц в ее Ц-системе отсчета.
Ранее (в конце $3,4) были получены выражения (3.12) для импульса каждой частицы в Ц-системе. За. пишем эти выражения в такой форме: Р2= 12 (Ч2 Ю2), Р2= 22 (У2 22)~ где ч, и ч2 — скорости частиц в исходной системе отсчета, 12 — так называемая приведенная масса системы, (4.59) п2~ и т2 — массы частиц. Из формул (4.58) видно, что импульсы обеих частиц в Ц-системе одинаковы по модулю и противоположны по направлению, причем модуль импульса каждой частицы можно записать как (4.60) здесь Оот2= ~ у1 у2 ~ ' скорость Одной частицы «Относительно другой». Теперь обратимся к кинетической энергии.
Суммарная кинетическая энергия обеих частиц в Ц-системе 114 Т = Т, + Т, = р /2т, + р/~2т,. Так как, согласью (4.59), 1/т,+1/т»=1/р,, то выражение для Т примет следующий вид: (4.61) Т вЂ” ' 2н 2 Если частицы взаимодействуют друг с другом, то полная механическая энергия частиц в Ц-системе Е=Т+13, где (/ — потенциальная энергия взаимодействия данных частиц. В дальнейшем при рассмотрении столкновений частиц будем считать; 1) исходная К-система отсчета инерциальная, 2) система из двух частиц замкнутая, 3) импульсы (и скорости) частиц до и после столкновения соответствуют достаточно большим расстояниям между ними; при этом потенциальной энергией взаимодействия можно просто пренебречь. Кроме того, величины, отыосящиеся к системе после столкновения, будем отмечать штрихом, а величины в Ц- системе — значком — (гильда) сверху. Перейдем к существу вопроса.
Различают три типа столкновения частиц; абсолютно неупругое, абсолютно упругое и промежуточный случай — неупругое. Абсолютно неупругое столкновение. Это такое столкновение, в результате которого обе частицы «слипаются» и далее движутся как единое целое. Пусть две частицы, массы которых т, и тм имеют до столкновения скорости ч~ и чз (в К-системе). После столкыовения образуется частица с массой т,+тм что прямо следует из аддитивности массы в ньютоновской механике.
Скорость ч' образовавшейся частицы можно найти сразу из закона сохранения импульса: (т,+и~)ч'=т,ч,+т,ч,. Ясно, что скорость ч' равна скорости центра масс системы. В Ц-системе этот процесс выглядит наиболее просто: до столкновения обе частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми импульсами р, а после столкыовения образовавшаяся частица оказывается неподвижной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
