И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 22
Текст из файла (страница 22)
115 При этом суммарная кинетическая энергия 2д частиц целиком переходит во внутреннюю энергию Я образовавшейся частицы, т. е. 7=Щ Отсюда с учетом формулы (4.61) найдем г — (и, — гд,)г. (4.62) 2 2 ди!+ Лбг Таким образом, величина Я для данной пары частиц зависит только от их относительной скорости. Абсолютно упругое столкновение. Это такое столкновение, в результате которого внутренняя энергия частиц не меняется, а поэтому не меняется н кинетическая энергия системы.
Рассмотрим два частыых случая; лобовое и нелобовое упругие Рд Од - столкновеыия. д д Л„б * ° — б (Уд б. Рис. 4.1! новення движутся по од. ной и той же прямой. Пусть до столкновения скорости частиц в К-системе отсчета Равны тд! и чг (частицы движУтсЯ или навстРечУ друг другу, или одна частица догоняет другую). Каковы скорости этих частиц после столкновения? Рассмотрим этот процесс сначала в Ц-системе, где до и после столкновения обе частицы имеют одинаковые по модулю н противоположные по ыаправлению импульсы (рис. 4.!1).
Более того, так как суммарная кинетическая энергия частиц до и после столкновения одинакова, как и их приведенная масса, то, согласно (4.61), импульс каждой частицы в результате столкновения изменит только ыаправление на противоположное, не меыяясь при этом по модулю, т. е. р = — рь где 1=1, 2. Последнее относится и к скорости каждой частицы в Ц-системе: ч,г= — чн Теперь найдем скорость каждой частицы после столкновения в К-системе отсчета.
Для этого используем формулы преобразования скоростей при переходе от Ц- к К- системе, а также предыдущее равенство. Тогда чг=Чс+чг=Чс — ч =Чс — (м; — Чс)=2Чс — чд, где Чс — скорость центра масс (Ц-системы) в К-системе отсчета; эта скорость определяется формулой (3.9). Итак, 116 скорость И частицы в К-системе после столкновения есть 14.63) ч',= 211с — чо где 1=1, 2. В проекциях на произвольную ось х это равенство имеет вид ~„= — 2'ис — ~ (4.64) В частности, если массы частиц одинаковы, то легко убедиться, что частицы в результате столкновения просто обмениваются скоростями, т.
е. ч~'=и, и чи' —— чь ,4г в Рис. 4.13 Рис. 4.12 2. Н е л о б о в о е с т о л к н о в е н ие. Ограничимся случаем, когда одна из частиц покоится до столкновения. Пусть в К-системе отсчета частица массы гп, с импульсом р1 испытала упругое нелобовое столкновение с покоившейся частицей массы гпь Каковы возможные импульсы этих частиц после столкновения? Рассмотрим этот процесс также сначала в Ц-системе, Здесь, как н в предыдущем случае, обе частицы в любой момент времени до и после столкновения имеют одинаковые по модулю и противоположные по направлению импульсы, Кроме того, импульс каждой частицы не изменится по модулю в результате столкновения, т.
е. р =Р Однако направление разлета частиц теперь будет иным. Оно будет составлять с первоначальным направлением движения некоторый угол 0 1рис. 4.12), зависящий от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения в процессе столкновения. Найдем импульс каждой частицы в К-системе отсчета после столкновения. С помощью формул преобразо- 117 вания скоростей при переходе от Ц- к К-системе полу- чим: р~ =тхч~=тт(Чс+ ч~)=тгЧс+ Рь (4.65) рз=т,чз=и,(Чс+чг)=т, Чс+Рз, где Чс — скорость Ц-системы относительно К-системы отсчета. Сложив отдельно левые и правые части этих равенств с учетом того, что р~'= — рз', получим Р~+ Рз = (т~+ тг) Чс = Рм как и должно быть в соответствии с законом сохранения импульса.
Построим теперьтакназываемую векторную ди- аграмму импульсов. Сначала изобразим вектор р, отрезком АВ (рис. 4.13), затем векторы р~' и рг', ка- ждый из которых представляет собой, согласно (4.65), сумму двух векторов. Заметим, что это построение справедливо вне зави- симости от угла 6. Отсюда следует, что точка С (рис. 4.13) может находиться только иа окружности радиуса Р с центром в точке О, которая делит отрезок АВ на две части в отношении АО: ОВ=~п,; ть Более того, в рас- сматриваемом случае (частица массы тз покоится до столкновения) эта окружность проходит через точку В— конец вектора рь нбо отрезок ОВ=Р. Действительно, ОВ=т, ~'с=т, ьц+ тз где е, — скорость налетающей частицы. А так как в на- шем случае е,=э„„, то, согласно (4.59) и (4.60), ОВ = р в„„' = Р.
Таким образом, для построения векторной диаграммы импульсов, соответствую1цей упругому столкновению двух частиц (одна из которых первоначально покоилась) необходимо: 1) изобразить отрезок АВ, равный импульсу р~ на- летающей частицы; 2) через точку  — конец вектора р~ — провести ок- ружность радиуса Р=Ре~ = Р~ (4.66) Ш,+Ш, 118 центр которой — точка Π— делит отрезок АВ на две части в отношении АО; ОВ=т~ ..
ть Эта окружность есть геометрическое место точек всех возможных положений вершины С треугольника импульсов АВС, стороны АС и СВ которого и представляют собой возможные импульсы частиц после столкновения 1в К-системе отсчета). В зависимости от соотношения масс частиц точка А— начало вектора р~ — может находиться внутри данной окружности, на ней или снаружи (рис.
4.14, а, б, в). При этом во всех трех случаях угол 0 может принимать все А з д ж =ж г %~~пг Рис. 4.14 значения от 0 до и. Возможные же значения угла рассеяния налетающей частицы д, и угла разлета частиц 8 будут такими: а) т,(ш, 0(Э, (и 9) п12 б) т~=тз 0(Э~ <и/2 б=п/2 в) т,)т, 0(Э, (Э,„,„, 8(п/2 Здесь б~,„,— предельный угол. Он определяется формулой з)п Р,„,„,=лзулт„ (4.67) которая непосредственно следует из рис. 4.14, в: ейп Э,„,„,= ОС'/АО =ОВ1АО =ш~т,. Кроме того, обнаруживается еще один интересный факт.
В последнем случае (т~>тз) под одним и тем же углом 0~ возможно рассеяние частицы пг, как с импульсом АС, так и с импульсом АО 1рис. 4.14, в), т. е. в этом случае решение неоднозначно. Аналогично обстоит дело и с частицей ть И наконец, из той же векторной диаграммы импульсов можно найти связь между углами 0~ и О.
119 Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о данном процессе, исходя из одних только законов сохранения импульса и энергии. Мы видим, таким образом, что уже сами по себе законы сохранения импульса и энергии действительно позволяют сделать ряд важных заключений о свойствах рассматриваемого процесса. При этом особенно существен тот факт, что эти свойства имеют общий характер, т. е. совершенно не зависят от рода взаимодействия частиц. Следует, однако, обратить внимание на одно принципиальное обстоятельство.
Векторная диаграмма импульсов, в основе которой лежат заковы сохранения импульса и энергии, давая нам полную картину всех возможных случаев разлета частиц после столкновения— результат сам по себе весьма существенный, — совершенно не говорит о том, какой из этих возможных случаев реализуется конкретно.
Для установления этого необходимо обратиться к более детальному рассмотрению процесса столкновения с помощью уравнений движения. При этом выясняется, например, что угол рассеяния б| налетающей частицы зависит от характера взаимодействия сталкивающихся частиц и от так называемого прицельного параметра", неоднозначность же решения в случае нт,>пах объясняется тем, что один и тот же угол рассеяния д, может реализоваться при двух значениях прицельного параметра, причем независимо от закона взаимодействия частиц.
Указанное обстоятельство представляет собой очень характерную и принципиальную черту законов сохранения вообще. Законы сохранения никогда не дают и не могут дать однозначного ответа на вопрос о том, чтб произойдет. Но если, исходя из каких-либо других соображений, можно указать, чгб именно должно произойти, го законы сохранения дают ответ на вопрос, как это должно произойти. Неупругое столкновение Это такое столкновение, в результате которого внутренняя энергия разлетаюгцнхся частиц (яли одной из них) изменяется, а следовательно изменяется и суммарная кинетическая энергия системы Поответствуюшее прирашение кинетической энергии системы принято обозначать через с,Г. В зависимости от знака Я неупругое столкновение называют э к з о э н е р г е т и ч е с к н м Я)0) нли эндоэнергетнческим Я<0).
В первом случае * Прицельный параметр — это расстояние между пря. мой, вдоль которой наоравлен импульс налетаюшей частицы, н частицей, с которой происходит «столюювение». 120 кинетическая энергия системы увеличивается, во втором — уменьшается При упругом столкновении, разумеется, 9=0. Наша задача: найти нозможные импульсы частиц после неупругого столкновения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
