И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ясно, что подобные рассуждения справедливы и для системы из любого числа частиц. Поэтому можно утверждать, что каждой конфигурации системьз частиц присуще свое значение собственной потенциальной энергии и работа всех внутренних центральньзх (консервативных) сил при изменении этой конфигурации равна убыли собственной потенциальной энергии система; !ОЭ ) А,„г,„=У„,~ — сг' „а= — дог'„в, ~ (4,33) где (/~ а и (/зсоб — значения собственной потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях.
Мы видим, таким образом, что суммарная работа внутренних центральных сил не зависит от того, как конкретно система переходит от конфигурации т' к конфигурации 2. Данная работа определяется исключительно самими конфигурациями системы. Все это позволяет дать более общее определение консервативных сил: консервативными называют силы, зависящие только ог конфигурации системы и суммарная работа которых не зависит ог «путал перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы.
Собственная потенциальная энергия системы — величина не аддитивная, т. е. она не равна в общем случае сумме собственных потенциальных энергий ее частей. Необходимо учесть еще потенциальную энергию взаимодействия (г'„ отдельных частей системы: и„,='~ (у„+ (у„„ (4.34) (4 35) где ст, — потенциальная энергия азаимодейстаия г-и частицы со все. ми остальными частицами системы. Здесь сумма берется по всем частицам системы. Убедимся в справедливости этой формулы сначала для системы из трех частиц. Выше было показано, что собственная потенпиальная энергия данной системы () лэ= Игл-Ь()гэ + ()лэ.
Преобразуем зту сум му следующим образом Представим каждое слагаемое Кл а симметричном виде; (),л= (О л+(ул ))2, ибо ясно, что (у,л =()л,. Тогда 1 бг„е = — (бг„+ (у„+ бг„+ бг„+ и„+ (г„). со Сгруппируем елены с одинаковым первым иадексом; 104 где (У„ — собственная потенциальная энергия и-й части системы. Следует также иметь в виду, что собственная потенциальная энергия системы, как и потенциальная энергия взаимодействия каждой пары частиц, определяется с точностью до произвольной постоянной. В заключение приведем полезные формулы для расчета собст. венной потенциальной энергии сисгемы Прежде всего покажем, что эта энергия может быть представлена как 1 Сусоб =, ((ьт12+ ьт13) + (('2 + с'23) + (('31+ ьГ32)1.
2 Каждая сумма в круглых скобках представляет собой потенциаль ную энергию И, взаимодействия 1.й частицы с остальными двумя. Поэтому последнее выражение можно переписать так: з 1 1 %( (Гс„-= — (иг + (Гз+ (Гз) = — Р (Г;, 2 2 что полностью соответствует формуле (4.35). Обобщение полученного результата на произвольную систему очевидно, ибо ясно, что подобные рассуждения совершенно не зази. сят от числа частиц, составляющих систему. Для системы, взаимодействие между частицами которой носит гравитационный или кулоновский характер, формулу (4.35) можно преобразовать и к другому виду, воспользовавшись понятием потев пиала. Заменим в (4.35) потенциальную энергию 1-й чаетицы выРа.
женнем У,=шгсго где ш; — масса (заРЯД) 1-5 частиЦы, а сг~ — по. тенциал, созлаваемый всеми остальными частицами системы в точке нахождения 1-н частицы. Тогда 1 %') с (4.35) Если массы (заряды) распределены в системе непрерывно, то сум. мировзпис сводится к интегрированию: 1 г 1 Г сг = —, 1тбш —.— 1трЛ', соб— (4.
37) где р — объемная плотность массы (заряда), й)г — элемент объема. Здесь интегрнронание проводится по всему объему, занимаемому массами (зарядами). «Внешняя» потенциальная энергия системы. Рассмотрим случай, когда система находится во внешнем стационарном поле консервативных сил. В этом случае каждая частица системы будет характеризоваться своим значением потенциальной энергии (/1 в данном поле, а вся система — величиной имм.='» и,. (4.88) Эту величину мы и будем называть «внешней» потенциальной энергией системы в отличие от (l б — собственной потенциальной энергии, зависящей только от взаимодействия частиц системы между собой.
Согласно (4.10), убыль потенциальной энергии каждой частицы во внешнем поле равна работе силы данного поля на соответствующем перемещении, поэтому убыль 105 Бенеш всей системы равна А„„,н — алгебраической сумме работ всех сил внешнего поля, действующих на все частицы системы: Аннею ~~~внее1 ~ 1- =- (4.39) Получим полезную формулу для вычисления внешней потенциальной энергии системы, находящейся в о днородном силовом поле. Пусть, например, это будет поле тяжести, где на 1-ю частицу системы действует сила гп;д. В этом случае потенциальная энергия данной частицы, согласно (4.!3), есть т,аль где г;— вертикальная координата частицы, отсчитанная от некоторого произвольного уровня О Тогда потенциальная энергия всей системы во внешнем однородном поле (собственная потенциальная энергия нас сейчас не интересует) может быть записана так: у,„',в,='~~~т,да;=(в~втек,) д.
Сумма, стоящая в скобках, в соответствии с (3.8) есть не что иное, как произведение массы т всей системы на вертикальную координату гс центра масс данной системы, т. е.~т;г,=тзс. Поэтому выражение для Увнещ можно переписать в окончательном виде: (уенев Л"а ~се (4.40) т. е. потенциальная энергия системы во внешнем однородном поле тяжести равна произведению массы и системы на д и на вертикальную координату зс ее центра масс.
Приращение величины У,н, при перемещении системы определяется формулой ~~('внеы 'Пэ басе (4.41) 5 4Л. Закон сохранения механической энергии системы Диссипативиые силы. Помимо разделения всех сил на внешние и внутренние (в зависимости от выбора системы частиц), силы, как мы уже знаем, принято подразделять на консервативные и неконсерват ив н ы е (в зависимости от их природы). 106 где Лгс — приращение вертикальной координаты центра масс данной системы частиц. К неконсервативным силам относятся так называемые диссипатнвные силы — это силы трения и сопротивления. Любая диссипатпвная сила может быть представлена в виде (4.42) Г= — л(о) ч, (4.43) Учтем, что Гз=Гь ч,— ч|=ч — скорость тела 1 относительно тела 2, а также то, что Г|= — 'нч.
Тогда выражение для работы преобразуется так: ЬА:"'=Г,(ч,— ч,) б1= — 'лччИ= — восбг. Отсюда видно, что работа произвольной пары внутренних диссипативных сил взаимодействия всегда отрицательна, а значит, и суммарная работа всех пар внутренних диссипативных снл также всегда отрицательна, причем в любой системе отсчета. Кинетическая энергия системы.
Согласно (4.28), приращение кинетической энергии каждой частицы равно работе всех сил, действующих на частицу: йТ;=А,. Поэтому работу А, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы, при изменении ее состояния, 107 где ч — скорость данного тела относительно другого тела (или среды), с которым оно взаимодействует; й(и) — положительный коэффициент, зависящий в общем случае от скорости и. Сила Г всегда направлена противоположно вектору ч.
В зависимости от выбора системы отсчета работа этой силы может быть как положительной, так и отрицательной. Однако, как мы сейчас покажем и что будет важно для дальнейшего, суммарная работа всех внутренних диссипативных сил в системе — величина всегда отрицательнал независимо от системы отсчета: Адис ( (), Переходя к доказательству, отметим прежде всего, что внутренние дисснпативные силы в данной системе будут встречаться попарно, причем в каждой паре, согласно третьему закону Ньютона, они одинаковы по модулю н противоположны по направлению. Найдем элементарную работу произвольной пары диссипативных сил взаимодействия между телами 1 и 2 в системе отсчета, где скорости этих тел в данный момент равны ч, и ч;. 6А~ис Г, ч, бГ+Гз ч, Й.
можно записать так: А= ~ч'„,А,=,Рсйт;=Л ~~Та или А=ЬТ, Т=~,то (4А4) где Т вЂ” суммарная кинетическая энергия системы. Итак, приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы, действуюи(ие на все частицы системы: (4.45) Заметим попутно, что кинетическая энергия системы— величина аддитивналр она равна сумме кинетических энергий отдельных частей системы независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет. Уравнение (4.45) справедливо как в инерциальных, так и в неииерциальных системах отсчета.
Следует только помнить, что в неинерциальных системах отсчета кроме работ сил взаимодействия необходимо учитывать и работу сил инерции. Полная механическая энергия системы. Только что было показано, что приращение )зт кинетической энергии системы равно работе, которую совершают в с е силы, действующие на в с е частицы системы. Разделим эти силы на внутренние и внешние, а внутренние, в свою очередь,— на консервативные и диссипативные.
Тогда предыдущее утверждение можно записать так: дТ вЂ” А +Л щ Аксис +Алис +А Введем понятие полной механической энергии системы, или, короче, механической э н е р г и и как сумму кинетической и собственной потенциальной энергии системы: ~ ~=т+ищм~ (4.47) Очевидно, энергия Е зависит от скоростей частиц сис- темы, характера взаимодействия между ними и конфигу- 108 Учтем, что работа внутренних консервативных сил равна, согласно (4.33), убыли собственной потенциальной энергии системы: Л.'„'"т,р — — — оисыь Тогда предыдущее выражение примет вид дт+ди„„=д (т+и„:„,)=А„„; +А.„,. (4.45) рации системы.
Кроме того, энергия Е, как и потенциальная энергия су„б, определяется с точностью до прибавления несущественной произвольной постоянной и является величиной неаддитивной, т. е. энергия Е системы не равна в общем случае сумме энергий ее отдельных частей. В соответствии с (4.47) Е =е~~Е„+(7„, (4.48) где ń— механическая энергия и-й части системы, Ь'„,— потенциальная энергия взаимодействия ее отдельных частей. Вернемся к уравнению (4.48), Перепишем его г учетом (4.47) в виде ~ Ех Ет А~не +А ( (4А9) (4.50) * С достаточно хорошим приближением аамкнутой консервативной системой можно считать Солнечную систему. 109 — приращение меканическои энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внутренних диссипативных сил и всех внешних сил.
Уравнение (4.49) справедливо как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета. Следует только иметь в виду, что в неинерциальной системе отсчета нео)йходимо учитывать и работу сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под Аввеш надо понимать алгебра ическую сумму работ внешних сил взаимодействия н работу сил инерции. Закон сохранения механической энергии. Этот закон непосредственно вытекает из последнего уравнения и формулируется так: механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет диссипативных сил, сохраняется в процессе движения, т. е.
Е=т+и,„,=с Такую систему назывшот к о и с е р в а т и в н о й '"'. Заметим, что при движеньи замкнутой консервативной системы сохраняется имешю полная механическая энергия, кинетическая же и потенциальная в общем случае изменяются. Однако этн изменения происходят всегда так, что приращение одной из них в точности равно убыли другой, т.
е. ЬТ= — Ь!у„ь. Это положение справедливо только в инерциальных системах отсчета. Далее, из уравнения (4.49) следует, что если замкнутая система не консервативна, т. е. в ней имеются диссипативные силы, то механическая энергия такой системы, согласно (4.43), убывает; — Я =Аннс (9, у пну гр (4Л1) Можно сказать: уменьшение механической энергии обусловлено тем, что она расходуется на работу против диссипативных сил, действующих в системе.
Однако такое объяснение является формальным, поскольку оно не раскрывает физической природы диссипативных сил. Более глубокое осмысливание этого вопроса привело к фундаментальному выводу о существовании в природе универсального закона сохранения энергии: энергия никогда не создается и не уничгожается, она может только переходить из одной формах в другую или обмениваться между отдельными частями материи. При этом понятие энергии пришлось расширить введением понятий о новых формах ес (помимо механической)— энергия электромагнитного поля, химическая энергия, ядерная и др. Универсау!ьный! закон сохранения энергии охватывает, таким образом, и те физические явления, на которые законы 11ьютопа не распространяются. Поэтому он не может быть выведен из этих законов, а должен рассматриваться как самостоятельнь.й закон, представляющий собой одно из наиболее широких обобщений опытных фактов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
