И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы' (510775), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Наиболее просто убедиться в справедливости (5.36) можно для случая однородного тела с осевой симметрией. Действительно, согласно (5.27), момент импульса твердого тела относительно оси вращения 7.,=1г», (напомним, что Ь, — это проекция вектора Ь, определенного относительно любой точки на этой оси). Но если тело симметрично относительно оси вращения, то из соображения симметрии сразу следует, что вектор Ь совпада. ет по направлению с вектором ез и, значит, Ь=1г».
Еще раз подчеркнем, что в общем случае (ось вращения не совпадает ни с одной из главных осей, хотя и проходит через центр масс тела) направление вектора Ь не совпадает с вектором оз и связь между этими векторами носит сложный характер. Это обстоятельство явля- ' 3, «н а.д6) р осей, параллельных главным осям тела н не проходящих через его центр масс. ется причиной сложного поведения вращающихся твердых тел. 4.
Ги рос ко и ы. Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии. Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка. Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклонена к вер-. тикали, то волчок не падает, а совершает так называемое прецессионное движение (прецессию) — его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью в', причем оказывается: чем больше угловая скорость си вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии в'. Я. Такое поведение волчкагироскопа можно легко объяснить с помощью уравнения моментов (5.12), если только принять, что о»а' (это условие, кстати, поясняет, чтб имеется в виду подбольшой угловой скоростью гироскопа).
Действительно,мо- О мент импульса Ь прецессирующего волчка относительно Рис. 520 точки опоры О (рис. 5 20) можно представить в виде суммы момента импульса Ь, обусловленного вращением волчка вокруг своей оси, и некоторого добавочного момента импульса Ь', вызванного прецессией волчка вокруг вертикальной осп, т. е. Ь =1.,„+Ь'. Поскольку ось волчка совпадает с одной из его главных осей, то, согласно (5.35), 1. =1в, где 1 — момент инерции волчка относительно этой оси. Кроме того, ясно, что чем меньше угловая скорость прецессии, тем меньше и соответствующий момент Ь'. При о))о' во всех практически интересных случаях Ь ))Е', поэтому результирующий момент импульса Ь почти совпадает с Ь как по величине, так и по направлению,— можно считать, что Ь=/са.
159 Зная же поведение вектора а., мы тем самым найдем и характер движения оси волчка-гироскопа. Но поведением вектора (. управляет уравнение мо. ментов (5,!2). Согласно ему, момент импульса г. отно. сительно точки О (рис. 5.20) получает за время с)! приращение (5.37) сИ.=Мбг, совпадающее по направлению с вектором М вЂ” моментом внешних сил относительно той же точки О (в данном случае это момент силы тяжести пгд). Из рис. 5.20 видно, что с)(. ) Е.
В результате вектор (. (а следовательно, и ось волчка) будет поворачиваться вместе с вектором М вокруг вертикали, описывая круговой конус с углом полураствора б. Волчок-гироскоп будет прецессировать вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью ю . Найдем связь между векторами М, Е и от'. Согласно исунку, модуль приращения вектора т. за время Й есть дЦ =Е з)п б.ю'Ж, или в векторном виде г)).=[а'ЦЖ После подстановки этого выражения в (5.37) получим 1ш' (.)=М. (5.38) Из этого уравнения видно, что момент силы М определяет угловую скорость прецессии ш' (а не ускорение!). Поэтому мгновенное устранение момента М приводит к мгновенному исчезновению и прецессии. В этом отношении можно сказать, что прецессия не обладает инерцией. Заметим, что момент сил М, действующий на гироскоп, может иметь любую природу.
Для обеспечения регулярной прецессии (постоянной угловой скорости пт') важно только, чтобы вектор М, не меняясь по модулю, поворачивался вместе с осью гироскопа. пример. Найдем угловую скорость прецессии наклонного волчка массы ш, вращающегося с большой угловой скоростью ы вокруг своей оси симметрии, относительно которой момент инерции волчка равен !. Центр инерции волчка находится на расстоянии ! от точки опоры. Согласно (588), и!ы з!п д=шл(з!и 6, где б — угол между вертикалью и осью волчка (рис. 520).
Отсюда м' =-шя!!1 н. Интересно, что величина гз' не зависит от угла наклона д оси волчка. Кроме того, полученный результат показывает, что и' обратно пропорциональна ы, т. е., действительно, чем больше угловая скорость волчка, тем меньше угловая ~корость его прецессии. Гироскопический момент. Рассмотрим теперь эффект, возникающий при вынужденном вращении оси гироскопа. Пусть, например, ось гироскопа укреплена в П(-образной подставке, которую мы будем поворачивать вокруг оси 00', как показано на рис. 5,21. Если момент импульса Е гироскопа направлен вправо, то при таком повороте за время ()1 вектор Е получит приращение ЙЕ— вектор, направленный за плоскость рисунка.
Согласно (5.37), это означает, что на гироскоп действует момент сил М, совпадающий по направлению с вектором Ж. Рис 6 22 Рис. 6 21 Момент М обусловлен возникновением пары сил Е, действующих иа ось гироскопа со стороны подставки. Ось же гироскопа в соответствии с третьим законом Ньютона будет действовать на подставку с силами Е' (рис.
5.21), Эти силы называют гироскопическими; они создают гироскопический момент М'= — М. Заметим, что в данном случае гироскоп не обладает способностью противодействовать изменению направления его оси вращения. Появление гироскопических сил называют г и р о с к о. и и ч е с к и м э ф ф е к т о м. Подобный гироскопический эффект, связанный с возникновением гироскопического давления на подшипники, наблюдается, например, у роторов турбин на кораблях прн поворотах и качке, у винтовых самолетов при виражах н т. п. 161 Проследим действие гироскопического момента на примере гиро.
скопа, ось которого вместе с рамкой (рис. 5 22) может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси 00' ()-образной подставки. Если подставке сообщить вынужденное вращение вокруг вертикальной осн, как показано на рисунке вектором ю', то момент импульса 1 гироскопа получит за время Ф приращение Йь1 — вектор, направленный за рисунок. Это приращение обусловлено моментоц М~ пары сил, дейстнующих на ось гироскопа со стороны рамки. Гироскоцические силы, действующие со стороны оси гироскопа на рамку, вызовут поворот последней вокруг горизонтальной оси ОО' При этом вектор Е получит дополнительное приращение ЙЕз, которое, в свою очередь, обусловлено моментом М, пары сил, действующих на ось гироскопа со стороны рамки В результате ось гироскопа будет поворачиваться так, что вектор Е будет стремиться совпасть по направлению с вектором м'.
Таким образом, за промежуток времени Ж момент импульса ь гироскопа получает приращение бь= 5(и+бьа —— (М1+Мз) сй При этом на рамку действует гироскопический момент м = — (м,+м). Составляющая этого момента М~'= — М~ вызывает поворот рамки вокруг горизонтальной оси 00', другая составляющая Мз'= — Мз противодействует повороту всей системы вокруг вертикальной оси (в отличие от предыдущего случая). Гироскопический эффект лежит в основе разнообразных применений гироскопов: гирокомпас, гироскопический успокоитель качки кораблей, гироскопический стабилизатор и др.
Задачи ° 5.1 Законы сохранения момента импульса и энергии. Доказать„ что полная механическая энергия Е планеты, движущейся во. круг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси а Найти выражение для Е, если известны массы планеты и Солнца (ш и М), а также большая полуось а эллипса Р е ш е н и е Воспользуемся законами сохранения момента импульса н энергии Точка, относительно которой момент импульса планеты сохраняется, — это центр Солнца 1Тоэтому для положений ! и 2 планеты (рис. 5 23), в которых вектор скорости перпендикулярен радиусу-вектору, можно записать глгг щ = шгз ог.
(1) Из закона сохранения полной энергии Е следует, что для тех же положений планеты з з лгМ шог глМ вЂ” у = у (2) 2 г1 2 гз Решив совместно уравнения (1) и (2), выразим, например, с, через г, и гз 2уМ гз о 1 гг + гз гт 162 где 7т и Т вЂ” суммарные кинетические энергии частиц в ((-системе, когда частицы находятся далеко друг от друга, и в момент нанболь. щего сближения. Из уравнений (2) и (3) получим то же выражение (1), только в нем вместо Тз будет стоять т „причем в данном случае (частнца 2 первоначально покоилась), согласно (4.51), глв то = то. и! + гла Заметим, что цри пц цта величина 'Гам Т, н вырах.снне д ~я гчча будет полвостью совпадать с (1).
® 5.3. Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нерастяжнмой нити длиной 1 Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол б от вертикали, н сообщнлн ему начальную око. ((",(сто 5 Рис. 5.25 Рис. 5 25 рость о, перпендикулярно вертикальной плоскости, в которой распо. лажена вить Прн каком значении па максимальный угол отклонения нити от вертикали окажется равным и/22 Р е ш е и и е.
На шарик в процессе движения действуют две силы — сила тяжести и сила натяжения со стороны нити. Нетрудно видеть, что опюсительно вертикальной осн а, проходящей через точку О, момент этих снл М,=О. Следовательво, относительно данной оси момент импульса шарика („=сопя(, илн 1 з1п 5 шоо = (шо, (1) где т — масса шарика, о — его скорость в положении, прн котором нить составляет прямой угол с вертикалью Шарик движется в поле тяжести Земля под действием сторон. ней силы — силы натяжения со стороны нити Эта сила все время перпендикулярна вектору скорости шарика и поэтому работы не совершает. Отсюда следует, что согласно уравнению (431) мехаии. ческая энергия шарика в поле тяжести Земли сохравяется: глв~о/2 = тпт)2+ шу(соз й, (2) где праван часть равенства соответствует горизонтальному положению нити.
164 Решив совместно уравнения (1) и (2), получим оо = ] 281/соз $. й) бА. На жестком проволочном полукольце радиуса гэ, которое может свободно вращаться вокруг вертикальной оси АВ (рис. 5.26), находятся две одинаковые небольшие муфточки. Их соединили нитью я установили в положение 1 — й Затем всей установке сообщили угловую скорость см и, предоставив ее самой себе, пережгли нить в точке А. Считая, что масса установки практически сосредоточена в муфточках, найти ее угловую скорость в момент, когда муфточки соскользнут (без трения) в крайнее нижнее положение 2 — 2.
Рис. 5.28 Рис. 5.27 Р е ш е и и е. Пусть в нижнем положении расстояние муфточек от оси вращения г и угловая скорость установки гэ. Тогда из законов сохраяения энергии и момента импульса относительно оси вращения следует, что гтнт — г но — — 2нЛ, гзн =ганс, где Л вЂ” разность высот верхнего н нижнего положений муфточек. Здесь учтено, что в нижнем положении, как и в верхнем, скорость муфточек относительно проволочного полукольца равна нулю. Кроме того, из рис. 5.26 видно, что го = гз+ Лз. з Решив совместно эти три уравнения, получим м= — 1+ 1+ ° 5.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
