Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Проведенные исследования показывают, что формула Шварца определяет аналитическую функцию в круге Хл по значениям ее действительной части на границе круга. Формула Пуассона лает Решешбе задачи ЛиРихле дла УРавнениЯ Лапласа в кРУге 2Тн, состоЯщей в нахождении решения УРавнения Лапласа в круге Хл, непрерывного в замыкании ЕТл и принимающего на границе круов РКл заданное непрерывное значение иоП) 184 Гл. 4. Иитегрироюеие в комплексной плоскости.
где Р(В) = Кеу(а+ ге'о). а По теореме Коши 2л О = / з(х)о(з = (г / /(а+ ге'о) ег~ВВ, 3кл о откуда О = — ((а+ ге'о)е 'ойВ. 2лг ) о С лр)ч ой стороны, по формуле производной от интеграла Коши, получаем 1 / у'(а) = — у (а+ ге' ) е ' о(В. 2лт / о Из последних двух формул имеем г у'(а) = — / Р(В)е ' ВВ. о Аналогично у'(а) = — Я(В)е '~ВВ, О(В) = (гп/ (а+ ге 'о) . лг у о 7. Вычислить соа х — Не, Г = (у, т.р), у = (х Е С: !г — 4 = 1) (х () г а Согласно формуле (2), л. 6.1, находим: сооз 2л( В' о(х = — — сох х = - ог( сох о = - л( сп 1.
° ;)з 21 Ваз г 8. Вычисднть интеграл о(п пто , Ви, -1 < а < 1, у 1 — 2ао(пуо+ а' о и й Я. а Воспользуемся формулой Пуассона. Получим: 2 2л 1 ~' (1 — а ) 51ппР 2л 2 др = 1 — аз 2л,/ 1 — 2а соа ( з — Р) + аз 1 — аз о 2 1 /' Ке (-(е*"в) (1 — аз) Вр 2л,/ 1 — 2а сов (к — уо) + аз о з б. Пусть у — функция, аналитическая в круге Кн —— (з В С; ~х — а! < Я). Доказать, что прн О < г < Я т ( )'~(а) = — / Р(В)е ' г(В, о в б.
Ивтеграл типа Коши !85 ~ О, 2«г ~, „,„х~ 2«га" пт если и = 2а ()о б )Ч). ° . если и = 2й -Ь 1 ~!»~8!»» = / !х!х«(х+ ! / е е «Й = ох. Ь г — ! о 10. Вычислить интеграл / -а», где à — ориентиро!' ванная граница полукольца, изображенного на рнс. 78. Рис. Уа м При интегрировании по замкнутой кривой выбор начальной точки не играет роли. Пусть зто будет точка» = — 2. Получим, принимая во внимание, по на действительной оси» = » = х, гга нижней полуокружности» = е", на верхней — » = 2е", О < ! < «г; -! о 7 — «(» = «(х+ ое! «(!4 «(х+ о2е' Ф = !+ — е' +1+ — е' ,/ / 3, 3 2 4 4 = 2+- — — = —.
ь 3 3 3 «=о — з ! о 11. Вычислить интеграл /(» — а)" «(», об К; Г = (У, 7„): г 1) по полуокружности 7 = (» Е С: !» — а~ = Л, О ( аг8(» — а) ( х) (начало пути в точке »=а+В); 2) по окРУжности Уд — — (» б С: )» — а! = 22); 3) по периметру квадрата с центром в точке а и сторонами, параллелы«ыми осям координат. М 1] Выбор начальной точки кривой 7 определяет ее ориентацию, следовательно, кривая Ь ориентирована в направлении, противоположном направлению хода часовой стрелки. В интеграче произведем замену переменной, полагая» — а = Ж*, О < ! ( х, Пусть и ~ — !. Тогда В о! «! о! «и! «! оп! и+1 о Л"+' = — ((-1)"+ — 1).
+ (» — а)" «(» = Если и = -1, то ь о 2) Если и ~ -1, то подынтегральная функция аналитическая в односвязной области, ограниченной окружностью 7л, являющейся гладкой кривой. По теореме Коши (см. п.5.3) имеем (» — а)" «(» = О. 9. Вычислить интеграл / !»!» «(», где Г = (у, у„) — кусочно-гладкая, положительно ориен- г тированная кривая, 2 = У! «3 Уз, 2! = (» Е С ) -1 < Ке» < 1, 1т» = О), Уз —— (» б С: !»( = 1, (т» > О).
~ Кривая 7 замкнута, а положительная ориентация кривой Г означает, что при возрастании параметра (ца отрезке 7! зто х, а на верхней полуокружности Уз это !) подвижная точка пробегает кривую 7 в направлении, противоположном ходу часовой стрелки. На отрезке 7, !»!» = !х!х, а па полуокружности 7о » = е'о, О ( ! < л. Следовательно, 186 Гл. 4. Интегрирование в комплексией плоскости. Если и = -1, то, произведя ту же замену переменной, что н в предыдущем примере, получим: 2 ь о 3) Если и Ф вЂ” 1, то функция в в (х-о)" аналитическая в односвязной области, ограниченной кусочно-гладкой кривой и по теореме Коши (з — а)" ао = О. ь Пусть п = — 1, Тогда подынтегральная функция не является аналитической в области, ограниченной сторонами квадрата.
Из теоремы 4, и. 5.3, следует, что криволинейный ив!гетрах второго рода по замкнутой кусочно-гладкой кривой не зависит от ее вида. Поэтому вместо границы квадрата возьмем окружность с центром в точке о и радиуса, большего половины длины диагонали квадрата. Заваф2елась к случаю, рассмотренному в 2). Поэтому в(г =42я, ы з — о 12. Вычислить интеграл Т = / 1.п г в(о, Г = (7, 7„,), гле; г 1) 7 — единичная окружность и Ьп 1 = О; 2) 7 — елиничная окру:кность и Ьп в = —; 2 ' 3) 7 — окружносток 7 = (а Е С; 1в) = )с) и 1.п )г = 1П )с; 4) 7 окружность; 7 = (г Е С: ~4 = 22) и Ьп 22 = 1и 22 -Ь 2кв.
М Многозначная функция ю = Ьп о имеет следующие однозначные ветви: воа =!пф-Ьвагкв-Ь2ьяв, Ь Е Х. 2 г, в в=о о о в в в 1 = — у! !ео вй = — — ев — у! е' в!! ~2 в в 2 = 2(в ~( К+ и)е" г(! = -Н ~ ге" а а и 1 = яв ~()пК + й)ев 4(! = - —, — / ев вй в в и е' + —. в в — = в2вг; в=а в 5 и к е" к — — + — = -2ог; 2 1,.) Т 2) в(! = в2я)2; 3) вс 4 = вЖе" ~ = 42я)2. ~ 4=2 При интегрировании слелует выбирать соответствующие ветви, определяемые дополнительными условиями.
В кюкдом из случаев 1) — 4) окружности положительно ориентированы и ориентация их соответствует возрастанию параметра. В случаях !) и 2) параметрические представления окружностей имеют вид соответственно з = р(!) = е", О ( С ( 2к, о = У)(!) = е", — < ! ( -'вг, а в случаях 3) и 4) — г = ув(!) = Ве", О ( ! ( 2вг, о = й(!) = 22е", 2вг ( ! ( 4я. Произведя в каждом из рассматриваемых интегралов замену переменной, получим: В б. Интеграл типа Коши !87 13. Вычислзпь интеграл 7 = / з" 1.п 2 322, Г = (7, у,р), и б У,, 7 = (2 6 С: 12) = 1), гле: 1' 1) 1ю 1 = 0; 2) Еп(- ! ) = Огр.
м Рассуждая аналогично (см. предыдущий пример), получим; 1) Пусть и ю 1. Тогда 2 2 7= — !еи А=в (" 1 ОНО 1=2 1 т~ !е*( Оцр ер" м ( 7' (и+ 1) О О 1=2 2аг -О +1 Пусть и = — 1. Торпа получим: 2 Т= — /И(= О 1=3 = — 2я . 2 2 1=2 2) Пусть и Ф -1. Имеем 3~ 1=3 Если и = -1, то 3 7=- /!М= С 2 1= =-4х.
ю 2 1=3 14. Показать, что если путь интегрирования не проходит через начало координат, то 3(à — = 1и г+ ьр+ 2ягв, ! где Ь вЂ” целое число, указывающее, сколько раз путь интегрирования обходит начало координат (з = гега ). м Пусть путь интегрирования не проходит через начало координат. Согласно теореме 3, и. 5.3, интеграл от аналитической функции С 1 — ' в односвязной области, не солержащей начала координат, не зависит от выбора пути, соединяющего точки ( = 1 и С = з = ге'". Пусть Г, — ориентированный отрезок [1, г) с параметрическим представлением з = )21(в) = в, Г,— положительно ориентированная дуга окружности 7„= (з б С: 12~ = г) с параметрическим представлением рз(1) = ге", 0 < ! < 93. тогда упорядоченный набор Г = (Г„Г2) является кусочно-гладкой положительно ориентированной кривой с началом в точке С = 1 и концом в точке ( = 2 = гегг.
Интегрируя по кривой Г, получим / — = / — = / — + / —., 2й = 1пг+ 193. ь 1 1 О Пусть Г, — глалкая или кусочно-гладкая кривая с началом в точке з и концом в точке 1, охватмваюцшя начало координат (рис. 79). Тогда положительно ориентированная замкнутая кусочногладхая кривая Г = (Г1, Гз, Гз) окружает начало координат и в силу однозначности функции Т интеграл,! — не зависит от выбора кривой Г и его можно заменить, согласно теорег аг г ме Коши, интегралом по любой замкнутой гладкой или кусочно-главкой кривой, например, по Гл.
4. Интегрирование в комплексной плоскости. окружности радиуса 1 с центром в начале координат и направлением обхода против хода часовой стрелки. При этом получим ! 1=Г= й4" 1 [е' — — — [!1 = 2[г!. / е.! г о После такого полного обхода по кривой Г путь из точки с = 1 в точку с = х состоит из объединения кривых Г и Г, т. е. кривая Г будет пройдена два раза, и при этом имеем к г д~ г дс — — + ~ — = 2ло+!и г-1- йр. с l с ! г !' Теперь становится ясным, что при обходе начала координат [о раз получим равенство /= еь — =!пг+ир+2л!'ь, й б ло.
с ! Пусть ! ф = ! ф. Тогда ~ =ь -ь у ф = -2ло, откуда г, г, к где гк, гас — — — ! — — 2л!' = ! — — 2л! =!пг+1р — 2л!. l~ l~ /~ г- г- !' ! При обходе начала координат Ь раз в направлении хода часовой стрелки получим [!1' — = 1п г+ о[р — 2л !'Ь, й б К ! Объединив полученные результаты, имеем — =!пг+ ил+ 2лол, Ь б у- и е'ь ! ' 15. Показать, что если пугь не проходит через точки лг, то дс = — +ьл, 1+с! 4 о где Ь вЂ” целое число. м Поскольку — т — — — *, — — *, то ! ыс ти+ ! 2[[- [' ! ! ! о о о Если путь интегрирования не охватыаает точки жо, то интеграл не зависит от его выбора и можно ин[егрировать, например, по отрезку [О, 1). Тогда получим'. ! ! а — = / — = агс[йл! 1+ого / 1+л! ! =а о о $ б.
Интеграл типа Каши 191 Пусть Я о я Ь вЂ” — 2Ь* а Ь -« -22Ь* а Ь -* -223* а =/е е ' 2(х=/е е ' 2(х+/е е ' х. После замены х = -! в первом интеграле, получим Интеграл я Ь !нп / е " 2(х = / е 2(х = 32'х и + -лоьо2 . е " йп 222удуь О при Л-3-ьсо, о (это известный интеграл Эйлера — Пуассона), оа 1 2(х = / е соз 2Ьх2(х. о !пп / е соз 2Ьх и +-1 о Таким образом, перейдя к пределу в (1) при 22 +ос, получим: , ) Ьгк — 2е / е соз 2Ьх 2(х = О о откуда ъга -ь' е * соз 2Ьх ах = — е 2 о ) 2(2 18. Вычислить интеграл / —, Г = (Т, Т,), у — замкнутая гладкая или кусочно-гладкая 22-!-9 г кривая, если: !) точка 3! лежит внутри кривой Т, а точка -32 вне ее; 2) точка -32 лежит внутри кривой 2, а точка 32 вне ее; 3) точки х32 принадлежат внутренности кривой 3. м Поскольку -тт — = -' ( —,',.
— —,), то 2 * +о о (*+33 -32 / '+3 6(/ 31~ / — 3) 1) Так как точка -32 принадлежит внешности кривой т, то по теореме Коши 3 2+32 г В интеграле !" 2!З г ! „2 , 1 1= 2е / е * соз2Ьхг(х, / е " 2(х — 22' / е л+" з!п22(у2(у — 2е / е ' соз 2Ьхг(х = О. 192 Гл. 4. Интегрирование в комплексией плоскости. вместо кривой у можно взять окружносгь у, = (з б С: (а — За) = г), принадлежащую внутренности у. Тогда получим, после замены з — За = ге", О ( 1 ( 2к: 7 Г о г 2) По аналогии с предыдущим, имеем ) ' б / а + За 3 ' / аг + 9 3 г г 3) Применим теорему 4, п.5.3, к интегралу по положительно ориентированной полной границе области, состоящей из контуров Г, Г„Г, (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
