Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 49
Текст из файла (страница 49)
рис. 82). Получим, принимая во внимание случаи 1) и 2): г г, г, а а(а 19. Вычислить интеграл /,, Г = (у, у,р), у = (а б С: !а — а| = а), (а > 1). г М функция з г-г аа Ь 1 имеет нули в точках аь = Л = е' г, (а = О, 1, 2, 3. Кривая у окружает лишь точку ар — — 1, Записав подынтегральное выражение в виде з А Ваг -ь Са + Р аа 1 а 1 (а 4 1)(аг -ь 1) легко найдем А а 1 А=йщ -а (а+!)(аг О 1) 4 В силу свойства аддитивности интеграла, имеем .Ва 1 /,~ /'В.г+Са+Р ! /,и аа — 1 4 / г -'1 / (а + 1)(аг + 1) 4 / а + 1 ' так как по теореме Коши Ваг+ Са+ Р а(а = О.
(а 4 1)(аг О П г Произведя в интеграле замену переменной по формуле г — 1 = ге', О ( а ( 2к, находим: г а а(а 1 Г агеи 2ага ага — — Ф= — =— аа — 1 4/ ге' 4 2 г а е* а(а АО. Вычислить интеграл —, / —, Г = (у, у„), если замкнутая кусочно-гладкая кри2ка,/ аз+о ' г вая т окружаеткруг й =(а бС;)а((~а),т.е. К ФР,где Р— область, ВР=Г.
М Разлатая функцию а -у'авиа простые дроби, получим: 1 а а аз+аз 2а(а+ао) 2а(а — аа) 193 () б. Интеарал типа Коши Таким образом, 1 / е*а(з 1 / ае* 1 / ае* а(з —— а(з. 2яа Г за+ аа 2аа,! 2а(з -в аа) 2агв ! 2о(г — аа) Применив интегральную формулу Коши (см. п. 5.4), находим; 1 Г е' а а„а„нп а — / — а(з = — (е '" — еа") = —. М 2агв,/ за 4 а' 2а о г 1 Г зе* 21. Вычислить интеграл — / — а(з, Г = (у, у,р), если точка а принадлежит вну2яа / (з — а]' г тренности кусочно-гладкой замкнутой кривой у. м Пусть 1 Г (е у( ) = —, /à — (!. 2.! / —, г Согласно формуле (2), л.
6.1, имеем 2! Г !е' ул(~) = — ~' -2„;/ (! г а по интегральной формуле Коши Г(з) = ае*. Следовательно, 1 Г е'а(а 22. Вычислить интеграл — / а(з, Г = (т, у, ), у — кусочно-гладкая замкнутая 2яа / з(1 — з)з Г кривая, если; 1) точка 0 принадлежит внутренности кривой у, а точка 1 — ее внешности; 2) точка 1 приналлежит внутренности кривой у, а точка 0 — ее внешности; 3) точки 0 и 1 принадлежат внутренности кривой у, м Записав подынтегральную функцию в виде суммы е" е" ( — з + Зз — 3) — + з Пз получим 1 Г е*а(з 1 Г е*(-за+ Зз — 3) ./ ' / з а(~ Г' + !а' 2агв / з 2агв / (з — 1)з г Г 1) По интегральной формуле Коши 1а = е' = 1.
Поскольку подьантегральная функция в интеграле уа аналитическая, то Га — — О и, таким образом, 1 / е а(з ,=1. 2ла Г з(1 — з)' г 2) В рассматриваемом случае Хз = О, поскольку функция з а '— , аналитическая. Пусть 1 Г (-!'+ За — 3)е' У(з) = —. / а(й 2ла / г 194 Гл. 4.Ивтегрироваиие в комплексией плоскости. Применив формулу (2), п. б. 1, получим: 2! Х (-гз+ 31 — 3)е' ее уя( ) = — './Х вЂ” 2„;/ г Поскольку Х(а) = ( — аз -ь За — 3)е', то ((-а~ 4 За — 3)е*) Хз = 2 е з е = — ( — а — а ч-1) 2 2 ш 3) Рассуждая так же, как и при решении примера 1В, 3), и принимая во внимание результаты, полученные прн решении задач в случаях 1) и 2), можем сразу записать: Х г(х = ! — —. ~ 2я( / а(1 — х)з 2 г 23.
Функция Х вЂ” аналитическая в области, ограниченной простым замкнутым контуром 7, окружаюшим начало координат. Доказать, что при любом выборе ветви Вп а 1 — / Х (е) г-папе = У(ао) Х(0), Г = (7 7 г) 2я( / г где зе — начальная точка интегрирования. М Интегрируя по частям, получим; Х Х(.) — / Х'(а) 1.п а г(а = — Х(а) 1.п а) — — / г)а. 2л( / 2я( 2х( / х г г Поскольку 1 из ~„= 2к(, то,— 'Х(а) 1л а)г = Х(ае).
По интегральной формуле Коши — / да = Х(О). 1 ХУ() 2к(,/ г Следовательгзо аг / (а — Ы " / (а — а) " еа + г(а, (а — а)" (а — Ь)" 1 (а — а)" ) (а — Ь)" г Г, гь где, например, Г и Гь — положительно ориентированные окружности с центрами в точках а и Ь достаточно малых радиусов. Применив формулу (2), п.
6.1, получим: (а — Ь) " 2к(' д" ' 2к( „! (2п — 2)! ! еа = — — ((а — Ь) ") = — (-1)" ., (1) (а-о)" (и- ц! да-- (н — 1)! (и — 1)! (о — 6)з" г. (а — а) ™ 2зг( „, (2п — 2)! 1 (а — 6)" (и — 1)! (и — 1)! (Ь вЂ” а)з" ' г(а = (-1)" ' гь Из (1) и (2) следует, что в атом случае Х = О. (2) — / Х (а))паг(а = Х(се) — Х(0). в 2я( / г ае 24. Вычислить интеграл Х = / , Г = (7~ 7м) 7 = (а б С: !4 = 1), в Х ( — )-( -6)-' г зависимости от того, будет ли 1) !а( < !Ь! < 1; 2) !а) < 1 < ~6|; 3) 1 < (а) < !6), М !) Точки а и Ь принадлежат внутренности окружности у, в силу чего можно применить теорему 4, п.5.3; Упражнения для самостоятельной работы 2) Пусть |а| < 1 < |Ь|, т.е.
внутренности кривой у принадлежит лишь точка а. Тогда 195 (х — а) " г(а =О (х — Ь)" (х — Ь) " „, 2я г(2п — 2)! Хм Ыа =(-1)" ' (г — а)" !)~)~(о Ь)з -~ ' г. гг гь г Поскольку справедлива оценка шах |1(а)| 1(х)пх ! 1=а ~( . 2яй, (г — а)(а — Ь) (22 — |а|)()2 — |Ь|) !'и где шах |1"(г)| < М, М = сопя, то 1-"1= а 1(а) Их (1(Ь) — 1(а) !!и = 0 =2к! н ь / (» — а)(х — Ь) З Ь вЂ” а !'л откуда у(а Е С, Ь Е С) 1(а) = ((Ь), т. е, та Е С 1 (а) = сола!. Ы Упражнения для самостоятельной работы 1. Вычислить интегралы: а) | |х| пх, Г=(7,7р),7=(хЕСДг|= !); г б) | Ке х Иа, Г = (7, у ), 7 = (г Е С:|г — 1| = 1).
2. Вычислить интеграл 1 ег г(а, где г а) Г = (7, 7,р), 7 — ломаная, соединяющая точки О, 1 и ! + г; б) 7 — ломаная, соединяющая точки О, ( и 1+ г. ! 3. Вычислить 1 |а|йа„если путями интегрирования служат: а) прямолинейный отрезок; -! б) верхняя половина единичной окружности; в) нижняя половина единичной окружности.
4. Вычислить интегралы вдоль отрезка Г прямой с началом в точке х, = О и концом аз = 1 .~з г 3 а+г —, отследующих функций; а) а е!'! Кеа; б) а г е' Кех; в) аь;( —;,'Г 5. Вычислить 1 !ах г(а, Г = (у, у„), где у — дуга параболы у = а~, соединяющая точки г а~ = О и аз 1 + г. а Г,",г=ь,ьх =( а:~ ~=а, ьтхггл ь ьх гьх +3 3) При ! < |а| < |Ь! подынтегральная функция является аналитической в замыкании Л, тле Х = (х е с: |г| < 1). тогда по интегральной теореме коши 1 = О, а 25, Согласно теореме Лнувилля, функция 1, аналитическая и ограниченная во всей плосг'( ) г(х кости, является постоянной.
Доказать эту теорему, вычислив интеграл 11 , Гл = / (х — а)(г — Ь) гл (7л Тл), гле тн = (г Е С: |г| = Л) (|а| < 22, |Ь! < 22) и произведя его оценку при 22 сю. М Пусть Г„и Г, — положительно ориентированные окружности с центрами в точках а и Ь достаточно малых радиусов.
Применив интегральную формулу Коши (см. и, 5.4), получим: !96 Гл. 4. Интегрирование в комплексией плоскости. 7. Пусть функция У непрерывная при ~» — ло! > го и г шах )У(»)! — О при г — +со. !»- р!= Доказать, что 1!гп ) У(л)»(л = О, Г = (у, у„), у = (л Е С:!л — »о! = г). + г 8. Пусть функция У непрерывна при О < )л — »о( < Л и г шах !У(»)! О при г — О. ! -*ОН Доказать, что !цп ) У(л)»(л = О, Г = ('у, 'у р), 'у = (» б С; ~л — ло~ = г) . -от 9.
Пусть функция У непрерывна на окружности у = (л б С: ~л~ = !). Доказать равенство / У(л) 4» = — ) ~~() 4», Г = (у, у ) г г !О. Пусть а Е С, а функция У вЂ” аналитическая в круге К = (» б С (л~ < !). Доказать, что / 2»г»У(О), если ~а~ < 1, — 2лр (У(О) — У(-.')), если ~а! > 1. 11. Путем вычисления интеграла —,', / —; — — т-, Г = (7,7„), 7 = (л б С: Ф = 1) г доказать, что при О < а < ! У ш г Г» Р-з а» о 12.
Вычислить интегРал ) — г-"! — *~ 4», Г = ('У, 'У„р), 7 = (л б С: (л! = 2). г 13. Пусть Л(л) — правильная рациональная дробь, 7 - кусочно-гладкая замкнутая кривая, охватывающая все нули этой дроби, а точка л лежит во внешности 7. Доказать формулу з ',) *-< 4» — — Л(()~ 1'= (7 7р). г 14. Пусть функция У вЂ” аналитическая в некоторой области Р с хгорданоаой границей дР, непрерывна в замыкании Р н постоянна на дР.
Доказать, что она постоянна и в Р, 15. Найти интегралы типа Коши: а) У(») = л', ) у!охю, Г = (у, у„), "у = (л Е С: !(! = ! ); г о р>=ау оград:-», =! р:~ ~ ° 3 )3 (! ап 16. Пусть функция У вЂ” аналитическая в круге Кя, = (» б С: ~л( < Л1) и ~а! < Л < Ло Доказать, что 2 Х*,— - хят- юУ(»)4», Г = (7, 7»р), 7 = (» Е С ° ~л~ — Л) г Вывести отсюда формулу Пуассона 0 17. Пусть функшоя У вЂ” аналитическая в круге Кя — — (л б С: ~ л — а~ < Л) . Доказать формулу л У'(а) = — ' / ЙеУ(а+ге»о)е 'РЛУ.
о 18. Доказать, что / ей» с!8 »»(л = 2к» вЂ” „— о — (и б гй» Г = (Ъ у,р), 7 = (» б С ' !л( = (и + з) ау г *" Т Глава 5 Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки В этой главе изучаются равномерно сходящиеся ряды, членами которых являются аналитические функции. Основное внимание уделяется разложению аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, а также классификации изолированных особых точек аналитических функций, основан- ной на разложении их в ряд Лорана.
91. Ряд Тейлора 1.1. Обв(ие сведения о рядах. '(г!*! !ПО !.(*! "- К!.(*!), <!! =! =! где х„(у„) называют общим членом ряда, а число (функцию) / к = 2... ° н (* -к!.! - 2. !.<*! ° н) ь=! и=! (2) — его частичной суммой. Предел последовательности (5„) частичных сумм ряда, если он существует, называется суммой ряда и обозначается тем же символом 2, х„(~ у„(з)), что и ряд (1). =! =! Обозначения ряда и его суммы различают по смыслу текста, в котором они встречаются. В частном случае, когда члены ряда — действительные числа, его суммой могут быть символы +оо и -со. Однако, числовой ряд называется сходящимся, если у него существует сумма и она конечная, т.
е. является действительным или комплексным числом. В остальных случаях, когда сумма числового ряда не существует или является бесконечной, ряд называется расхадяи!имся. Лля функциональных рядов рассматриваются понятия поточечной и равномерной сходимости, о чем речь пойдет позже. В некоторых книгах по математическому анализу появилось формальное определение ряда как пары последовательностей — (~!.!.!='г(и!.<!ь-. (гЗ !.!*!) )). и! но для ряла и его суммы сохраняется одно и то же обозначение. Определение Ряла Равенством (3) не являегся единственно возможным. Чиглаеий (функциональный) ряд можно интуитивно понимать как последовательность (х„) комплексных чисел (последовательность (Г„) функций), которые строятся по определенному закону и последовательно складываются.
В соответствии с этим числовой (функциональный) ряд записывают в виде Гл, 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки 198 В настоящей книге ряд будем обозначать специальным символом 2,' х„(~ („) и опрелелять не как пару двух последовательностей, а как последовательность чисел (функций) вида (2): (4) Для суммы ряда, когда она существует, сохранено прежнее обозначение (5) Таким образом, символы ~ , 'х„и 2,' г, имеют различный смысл. Первый из них обозначает =! ряд, а второй — сумму ряда, когда она существует. Здесь проводится аналогия с обозначениями функции Т и ее значения г(х). Теорема 1 (необходимый признак сходи мости ряда). Ясли ряд сходится, то яосчедовательность его членов стремится к нулю. м пУсть Рад 2, х„(~ Т„) сходитсЯ, Я вЂ” его сУмма (Я(х) — его сУмма в точке х б пз), (Я ) ( (Я (х)) ) — послеловательность его частичных сумм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
