Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 51
Текст из файла (страница 51)
й= р! Из неравенства йр рр Уй <,) !!Уй !! й= ! й= -! выполняющегося !г(п б Г(, р Е р(), и теоремы 7, п.!лл следует равномерная сходимость ря- да~ У„.м Следствие (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть У„: С -! С, Ры = Я чп Е ГГ. Еии существует такой сходящийся числовой ряд ~ и„, чта 'чп б РГ !!У„(! < а„, то ряд ~ У„сходится равномерно. В качестве примера исследуем на равномерную схоцимость ряд ~ У„, где У„(х) = Г.-„-т-т, 0<» < -роз. Поскольку У„(0) = 0 и 1цп У„(х) = О, то функция У„имеет чп б М локальный максимум, 2 являющийся одновременно ее равномерной нормой.
Решая уравнение У„'(х) =;,' лытгр = О, получаем-' х = -т, !!У !! = У (х„) =,!,. Так как числовой рлд,) — !-г сходится, то по теореме 1 ряд ~, У„сходится равномерно. Если взять а„= -!г, то !!У„!! < а„и ряд д, У„равномерно сходится по мажорантному признаку Вейерштрасса. Пусть Уй . С С (Ь = 1, и), дй '.
С С (й = О, г!), Ргй — — Р й = В. Тогда и» Е Я справедливо тождество Абеля — ! Уй(»)(гдй(») — дй-!(»)) = У.(»)д (») — У!(»)дч(») — ~~' 1»Уй+!(») — Уй(»))дй(») (1) й=! й=! Действительно, Я ,Уй(д - дй- ) = Уй(д — дч) + Уз(дз - д!) + " + У.(д. - д. ) = й=! У!дч + (Л вЂ” Уз)д! + " + (У.-! — Ур)д.- + У.д. = У-д. — Угдч ~л~ (Уйч! Уй)дй й=! тожаество (1) я~ляется источником получения признаков равномерной сходнмости функциональных рядов. 202 Гл.
5. Ряды апалвтических функций. Изолированные особые точки Теорема 2 (о равномерной равносходимости функциональных рядов, связанных преобразованием Абеля). Пусть посзедовательиость функций (7„д„) сходится равномерно на мнозкестве Я. Тогда функциональные ряды, сходящиеся поточечно на мнозкестве Я, Т (д — д -!), де=0, (2) д(У ! — У) сходятся равномерно или неравномерно одновременно. м Пусть ряд (3) равномерно сходится на множестве Я. Согласно теореме о линейности равномерного предела и тождеству Абеля ~~', Уй(дй — дь-!) = У д — ) дй(Ьь! Уй) уп б р( (4) й=! й=! ряд (2) сходится равномерно на множестве Я.
Аналогично ряд (3) равномерно сходится, если ряд (2) является равномерно сходящимся. ° Определение 2. Последовательность комплексных чисел (х„) называется бимонотониой, если й«(п б М! р б Р)) (3) «.е «р (6) ) !хин! — х«„.! < 2 ) (хйь, — хй) . (5) й= и! й= ь! Смысл термина "бимонотонность" поясняет следующее утверждение. Лемма. Пусть «Уп б Р( х = х„+ ьу . Если последовательности (х„), (у„) монотонны, то последовательность (л„) является бимонотониой.
М Имеем «у(п б р(, р б р)) .!. р «р !хйн! — хй! < ~~! !хй, — хй!+ ~~! !уйь! — уй! = й= ы й= н! й= ь! «р «я «р (хйь! — хй) + ~ь (уйы — уй) < 2 ~~! (хй ! — зй) . и й= «! й= «-! й= Теорема 3. Если йх б Я последовательность комплексных чисел (3„(з)) бимонотоннан и зир !!дй!! 5пр !!Тй — 7„!! = О(1), й> / й,й> то ряд 2 д„((„ь! — У„) сходится равномерно. а Пусть х б Я. Тогда «р «-г «р дй(х)((й~«(з) — Уй(х)) < ~ !дй(х)! !(йн«(з) — )й(з)! < я«р !!дй!!2 ~ (~йь«(з) — (й(х)) < й= -«! й — ! й> й= < 2 зпр !!дй!! ) У„.,р„.«(з) — („(з)! < 2 звр /!дй/! зпр !!Уй — („!!. (7) й> й> й> Из оценки (7) и критерия Коши для функционального ряда следует утверждение теоремы.
М Теорема 4 (Абеля). Пусть «Ух б Я последовательность комплексных чисел (7„(х)) бимоиотонная. Если ряд 2 Зз„сходится равномерно и !!У„!! = О(!), то ряд 2 („«р„является равномерно сходящимся. щ Пусть Ф = 2,' (о„. Полагаем д„= Г )зй — Ф Чп б р(. По условию !!д„!! = о(1), Поскольку =! й=! зир !!дй!! звр !!зй — У )! = о(1)0(1) = о(1) и нп > 2 Зз„= д — д «, то выполнены все условия й> й> теоремы 3. Поэтому рад 2., д (7 ы — Т„) равномерно сходится. Так как !! у„д„!! < !!у„!!)!д„)! = 0(1)о(1) = о(1), то по теореме 2 ряд 2; у„пз„равномерно сходится, в 203 й 1. Риа Тейлора Теорема б (Д и рихл е) .
Пусть Ь)л б Я последовательность комплексных чисел ()„(г)) биманатанная Если ! р, =0(П и ((У„;(=а(Рц ь=ь (8) / ю I Оиределеиие 3. Ряд ~ 2,' уь ! называется п-огтаткам ряда 2,г„= ~ ~ гь) гон он Если ряд 2 у„сходится равномерно, то, очевидно, его п-остаток равномерно сходится к нулю. 1.5. Функциональные своиства равномерной суммы функционального ряда. Теорема 1. Если функцианальныи ряд 2,')„сгодится равномерно в области 0 С С и всв его члены являются непрерывными функциями в точке го б О, та его сумма Я будет непрерывной функцией в этой тачке. < Пусть в > О.
В силу равномерной сходимости ряда ~„у„найдется такое п, б Н, что Уп>п, ((б-б„()= '~~ Уь (-'. 3 ь= +ь Выберем Л > 0 из условия Кь С О, где К„= [х б С: )а — хо! < Л), рассмотрим чгх б Кь разность д(л) — $(ло) = д(л)-д . (*)+д,(л)-й . (ло)+$,(ло) — й(ло) = ~~ь уь+б . (л)-д . (го)+ 2 уь(ло) ь= .+ь Ьт +ь та ряд 2 )„(о равномерна сходится. м Полагаем чп б !и д = ~ (оь Так как ьир ((дь!! зцр ((гь — г„(! = О(!)а(!) = а(1) и ь=ь ь> ь> )гп > 2 д„-д„, = Чь„, то, согласно теореме 3, ряд 2,'д„(у„.„ь — у„) сходится равномерно.
КРоме того, (!У д !! гч (!г.(!(!д !! = а(1)0(!) = а(1). По теореме 2 ряд 2 У„(о„сходится равномерно, и ь Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость ряд 2,' ф„, если ф„(х) = ь ь„у(п б Я, х б (О, +со)). Воспользуемся признаком дирихле, обозначив ьг(п б Ы, х б (О, +оо)) 2„(х) = „—, (а„(х) = (-1)". Последовательность (/„(х)) является монотоьгиой чх б (О, +оо) и тем самым бимонотонной.
Далее, !(1 (! = -„' = а(1), !2, уьь = 0(1). Следовательно, выполнены все условия признака Дирихле, т. е. Ряд сходится равномерно. Пример 2, Доказать, что ряд 2 — ' сходится равномерно в интервале (-1, 0), а ряд 2 „! — * в этом же интервале сходится, но не равномерно. На рассматриваемом множестве ряд имеет вид 2 '( — 1)" — *„. Числовой ряд 2,' -':„) — сходится, а поскольку его члены не зависят от х, то эта сходимость равномерная. При каждом х б ( — 1, 0) последовательность ((х!") монотонная и ограниченная.
По признаку Абеля ряд 2 — '„сходится равномерно на интервале (-1, 0). Исследование ряда 2 ~ — *~ на равномерную сходимость на интервале ( — 1, О) равносильно исследованию ряда 2 — „на равномерную сходимость на интервале (О, !). Сумма ею п-остатка ь — 0 при п оо. Оценим ((г„— О(! = ((г„(!. Поскольку точка х„= ! — — приналлежнт интервалу (О, 1) ььп > 1 и ь„(х„) = (! — ь ) е ', то ((г„(! ь' 0 при п оо и ряд схолится неравномерно. Гл. 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки и оценим ее. Получим !Йг) — б(гьН < ~~' Уь(х) + ~~', Уь(хь) + Ф,(х) — 8 .(гьН < ь= ы ь= ч! 2 ) Уь + !э *(х) э,(хь)1< — е-Ь !о,(х) а,(гь)1.
3 ь = .!- ! Поскольку члены ряда являются непрерывными функциями в точке г,, то и их конечная сумма 5„, непрерывна в этой точке. Поэтому по заданному е > О найдется такое б > О, что из условия )! < б ггх 6 Кь выполняется неравенство !о„, (х) — Я„, (гь)! < -',. Объединяя полученные оценки, имеем: гге > О Вб > О такое, что )ь < б ~ 'чг 6 Кь !Я(г) — 6(гь)! < е, т.е. сумма Я равномерно сходящегося функпиона!!ьно!о ряда является непрерывной функцией в точке гь. М Следствие.
Если члены ряда 2, У„непрерывны в области !л и ряд сходится равномерно в !л, то его сумма б является непрерывной функцией в этой области. Теорема 2 (о почленном интегрировании равномерно сходящегося функциои ал он ого ряда) . Пусть члены ряда 2, („ являются непрерывными функциями в области б С С, у С 6 — гладкая или кусочно-гладкая жордояово крива» и ряд сходится равномерно в О. Тогда его можно интегрировать почленно вдоль кривой Г = (т, Эьр) и при этом !<|о-г=)гг„(!!. г "=' г м Поскольку и — остаток равномерно сходящегося ряда равномерно сходится к нулю, то !уе > О Бп, 6 (!(: (гп > и, !!г„(! = !!Я вЂ” о„!! < е. По теореме 1 сумма ряда Я является непрерывной функцией в каждой точке кривой у, поэтому интеграл ~ 6(г) дх существует. Из оценки г се!.!-!.!*ель )г!е!.!- !.!.г!ь! л )г!! .!!!! ! где 1 — длина кривой у, следует, что Я(г)дг — ~Я„(х)дх = / Я(г)дг — ~ / Уь(х)дх О при и оэ! т.е.
г г г ь=! г справедлива формула (1), В Теорема 3 (Вейерштрасса). Пусть (Уь) — последовательность функций, аналолшческих в некоторой области Р С С и ряд ~ У равномерно сходится но любом компактном подмножеапве этой области. Тогда: 1) сумма ряда У аналитическая в Р; 2) ряд можно почленно дифференцировать в колодой точке области Р сколько угодно раз; 3) все продифференцировпнные ряды равномерно сходятся на любом компактном подмножестве области Р М 1) Пусть хь 6 Р— любая точка.
Рассмотрим круг КГ т (х 6 С: !г — ль! < г) Са Р. Согласно условию теоремы ряд 2 , 'У„равномерно сходится в круге К„и по теореме 1 его сумма У являегся непрерывной функцией !ух 6 К,. Пусть дсе — положительно ориентированная граница треугольника С С К„. Поскольку рял 2 у„равномерно сходится на дб, то согласно теореме 2 его можно почленно юпегрировать: Т()д =~:/Т.()д. во "='вс б 1.
Ряд Тейлора 205 й! й! — — < ч-сю. 2я((з — г,)ьы 2ятью (2) Из равномерной сходимостн ряда,> У„ и условия (2) следует равномерная сходимость ряда й( ть У„(з) 2яо ~-~ (з — зо)ью Пусть У вЂ” равномерная сумма ряда 2 , 'У„. Так как ряд (3) можно гючленно интегрировать по кривой дК, и его сумма равна,о —,-~Я-;т, то У» .у-'~ У() 2т( У (т — зо)аю ~-~ 2ло / (о — зо)ью ак. ак„ (4) Принимая во внимание формулы для производных от интеграла Коши, имеем У (зо) = ~ У (зо).
ю (5) Поскольку зо б Р— произвольная точка, то формула (5) справедлива Хгз Е Р, 3) Пусть К вЂ” произвольное компактное подмножество области Р и зо Е К вЂ” любая точка. Выберем число Ы > 0 так, чтобы выполнялось включение Кы = (з Е С: ~з — зо) < 2г() С Р. Ряд У„сходится равномерно на окружности дКы = (з Е С: )х — зо~ = 2о(), т.е. ое > 0 Вп„б г'М: хг(п ) п„з б дКы) ~~' У (з) < о (6) (и-остаток ряда 2 , 'У„ равномерно сходится к нулю). Имеем Рз Е Км. Е У-(() Л.
У- ( ) = 2,1 У ((,), (. ак и Пусть з б Ка = (з б С:!з — зо~ < г() и 6 Е дКы. Сшеним и-остаток ряла 2 У'~'. Приняв во внимание, что ~( — з~ > д, а также неравенство (6), получим У(п ) п„б б дКы) оценку ,';У»< — ', гол й!4лг(е 2ййе 2то(ь г(ь ' (8) не зависяшую от з Е Ка. Следовательно, ряд 2, Уы' сходится равномерно в круге Ка, т. е. в некоторой окрестности точки яо. Поскольку любое компактное подмножеспю области Р согласно теореые Бореля — Лебега может быль покрыто конечным семейством окреспюстей, в каждой из которых по доказанному ряд 2; Угол сходится равномерно, то он сходится равномерно на таком множеспю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
