Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пусть в односвязной области Р задана гармоническая функция и. Найдем сопряженную ей гармоническую функцию е. Из условий (2) получаем: а а аи аи йя = — йх + — ду = — — йх + — йу, ах ау ад ах (2) откуда (,о) аи аи о(х, у) = / — — йх+ — йд+ С, ау ах С = сопя(, (хо уо) б Ра С б И. (3) ( а оа) Подынтегральное вырюкение в этом криволинейном интеграле является полным дифференциалом, вследствие чего интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Таким образом, аналитическая функция Г в односвязной области Р определяется ее действительной частью с точностью до адаптивной постоянной )С по формуле (* ю аи аи У(з) =и(х, у)+а / — — йх-~- — йу-у?С.
ау ах ( а уа) Формула (*,ч) Г а а У(я) = / — йх — — ауЕС+?ч(ха у) ау ах (5) ( о оо) восстанавливает аналитическую функцию у по ее мнимой части с точностью до произвольной адаптивной действительной постоянной С. 1 / У(Г) 1 / (Т()?еи)2?еи Т (Яо) = —. йб = —., 81, 2я?,7 (à — я)з 2яа ) (1?еи — го)з 6.3. Теоремы Лнувнлля н Морера. Теорема Х (Лиувилля). Если функцич р аналитическая во всей плоскости С и аграннченяая, та ана постоянная. м Согласно условию, )уя б С )Т(я)) ( М = сопз(. Пусть яо б С вЂ” произвольная точка.
Рассмотрим круг ТГл — — (я б С; (а( < )?), гле )? > ')яо~). Согласно формуле производной от интеграла Коши имеем 56. Интеграл типа Каши 179 Р( = / И)д( ! а *! является первообразной функции !' в круге Коы т. е. чг б К„Р'(г) = Т(г). Отсюда слелует, что Т Я А(К„), следовательно, у Я А(Р) в силу произвольности К„. Ш 6.4. Главное значение и предельные зиачеппя интеграла типа Коши. Согласно теореме п. 6.1, интеграл типа Коши Р(г)= . / 4( Г=-(7,7„р), 1 Т У(0 (П 2я(/ ( — з г где у — непрерывная Функция, à — положительно ориентированная гладкая или кусочно- гладкая кривая, является аналитической функцией в любой точке г б С, не принадлежащей кривой у. Функцию ( Т(() называют коатнагтью, а функцию б ~ — '„— ядром Каши. Ясли г б у, то ннтегрзл в правой части (1) в обычном понимании не существует, однако при некоторых дополнительных ограничениях, налагаемых на плотность у, ему можно придать определенный смысл.
Считаем, что .à — замкнутая гладкая кривая Жордана и (о б у. Пусть Р, = (г б С: )г — Я = г), где г > 0 — произвольное, как угодно малое число, не превышающее стандартного радиуса кривой у (гладкие замкнутые кривые Жордана 7 имеют важное свойство: о7 Лбе > 0 такое, что уго Я 7 окружность с центром в этой точке радиуса б < бо ровно два раза пересекает кривую 7; число бо называется стандартным радиусом кривой т). Часть кривой Г, лежащей вне окружности Ь„обозначим 7,. Интеграл 1 Т У(() Р,((,) = —. / — А(, 2я( / ( — (о г, (2) очевидно, существует в обычном понимании.
Определение. Если существует 1(ш Р,((о), та этот нргдвл называют интегралом в смы.-оо слв главиага значения на Каши, или главным значением иитгграла тина Коши в точке (о и обозначают Р((о). Обозначение главного значения интеграла типа Коши совпадает с обозначением интеграла типа Коши, поскольку, как правило, если интеграл не существует в обычном понимании, то рассматривают его главное значение. Для существования интеграла типа Коши в понимании главного значения ЧСо б 7 достаточно, чтобы функция у удовлетворяла на кривой 7 условию Гельдвра с показателем 0 < а < 1 и постоянной М: (зМ > 0): П (О б 7 Ьг б 7)!Х(чо) У(ьгН ч МК~ (г! Действительно, запишем Р,(бо) в виде откуда при достаточно больших Л получим ог > О оценку ! МЛ2я ~Т'(гоЯ <— < г.
2в' (Л вЂ” ~го~)з В силу произвольности выбора г > 0 Т'(го) = О. Поскольку го б С вЂ” произвольная точка, то Т(г) = сапог, ь Теорема 2 (Море р а). Если функция У непрерывная в области Р С С и интеграл ат нгг вдаль ориентированной границы дС любого треугольника 6 С Р равен нулю, та Т б А(Р). щ ПУсть г, б Р— любав точка. РассмотРим кРУг К„= (г б С: 1г — зо! < г) С Р. Тогда по теореме 1, п, 5.1, функция Р, где $6. Интеграл типа Коши 181 ! — / — (= Р((), 1 Г У(() о2яо/ 6 — (о г, 1 Г У(() ! 1 Г У(() У(оо) У((о) Г й( ! У((о) !'ап — / о(( = 1'~и 86+в — 2.
/ (-( - ),2.,/ (-( 2я! / (-(о/ г', г', г', так хзк Г <~( Г У(» — У((о) йгп / — = я(, 1нп / о(Т = О. - / (-~. —./ г', г', Окончательно имеем Р (6)- 2 +Р(() Аналогично получаем Р-((.) = -"'"'+ Р(() 2 При доказательстве последнего равенства вместо Ь', берем Е," — часть окружности Г,, содержашуюся в 27+. Тогда г ( 1пп — / яо -о 2ого / ( — (о Равенства Р'((.) =+""+ Р(() 2 в учебной литературе носят название формул Сахацкага. Их открыл в 1873 г. русский математик Ю. В. Сохоцкий (1842-1927). Формулы Сохоцкого справедливы при более общих предположениях относи~слало функции У.
6.5. Формулы Шварца и Пуассона. Пусть 7я = (( Е С: ф = Н), 6 = Не', О ( ! ( 2л, ио — функция, заданная на окружности 7н, гле ио(» = ио (Не*') = йо(!) Оо(О) = Оо(2я). Формулой Шварца называется равенство Нс' ! 1 Г (+ й( У(в) = — ( ио г(Не'~) оц = —. ( ио(»вЂ” 2я / Н е*' — 2я / гя а интеграл в (!) носит название интеграла Шварца, Рассмотрим свойства функции У. 1) Запишем формулу (1) в виде 2йй 1 Гио(» У(а) = —. / ио(» — — —. / — 4» 2ого / 6 — з 2аъ' / (2) гя гя Второй интеграл в формуле (2) является постоянной величиной, а первый — интеграл типа Коши. ПоэтомУ У аналитическая функция в любой области, не содержащей точек кривой ул и, в частности, У Е д(Кя).
где Кл = (а Е С; !а! ( Н) выполняющееся для любого как угодно малого е > О. Поэтому в нем можно перейти к пределу при в О. Получим: Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. 182 2) Пусть оь(() и 1, тогда Г где ! /НГ г(е) = 2я(/ à — з 2ль / гн гн Если ей Кн,то С(е) =2 — ! =1. 3) Найдем Кет(е), считая, что е = ге!г Е Кн.
Имеем 2 (йе*~ -1- ге'г) (йе н — ге !и) (Не ) си= г(йен — геги) (гйе 'г — ге ег) 1 Г „йе" + ге!г ! Г Ке У(е) = Ке — / иа(йеи), ей = Ке — / ие 2а / йе" — ге'г 2е / 2 йз — ге+ Нг (еци '! — е цг П) 2к( ' ) йз ч гз нг (евое-г! ! е- н-ю) ь 1 / а Нг гз + 2!Нг е!л(г О Ке — /иь (Не*') Ж= 2я)' ' ) Нг+гз — 2Нгсоь(С вЂ” р) е г й — г г — — / иь(йе ) 41 = и (геге) . 2к ! т ) НзЧ-гз — 2йгсоь(! — Р) ь ранено~во 3 1 /' ( Н' — г и(г, чг) = и(г е*г) = — ию (Не') бС 2а ! ' ' Нг + гз — 2Н г соз(С вЂ” (е) О (3) называется формулой Пуассона.
Интеграл в правой части формулы (3) называется интегралом Пуассона. Из свойства 2) функции С следует равенство 1 /' Н вЂ” г г г д(=1, 2к С' йз+гз — 2йгсоь(С вЂ” эг) ь (4) 1 Н вЂ” / К)П(, ОН( = Ь). с сь 2гг ь выполнаюшееса 1(е Е Кл, е = ге'г. 4) Покажем, что функция (г, (е) ь и(г, )е) непрерывна в замыкании Кн и что и(Н, (е) = иь(йе'"), те. и(г, (е) .=! иь(Н ен) при е = геге ( = Нен вдоль любого пути, лежашего в К„. Для этого нам понадобится следуюшее утверждение.
Лемма. Пусть функция (г! С Ж, У = (Г(е, (), где е = ге!', ( = Не!', 0 < г < Н, 0 < Чг < 2к, 0 < С ( 2я, удовлетворяет следующим условиям: 1) она непрерывна и неотрицатеяьна; з 2) те вылаяняется равенство — ' 3' У(я, () дС = 1; ь 3) п я -ь че — — йеиь (чь — любая точка окружности ун) и (;ь ье функция У стремится к нулю равномерно относительно ( (т.е. че > 0 3(р < Н, б > 0)(г > Н вЂ” р л !р — Сь~ < б) (ГС:!С вЂ” Сь! < 2б): 0 ( (Г(я, () < е). Тогда для любой функции и: ь.
-ь Ж, еде и = и(Г), кусочно-ненрерывнай с точками разрыва нервога рода, в любой точке ее непрерывности Ге существует предел В б. Интеграл типа Коши 183 < Из условия 2) следует, что и((о) можно представить в виде 2 ! Г и((о) = — / и((о)П(б, () б(б. 2./ о Оценим I ~= — У ( (()- (())П(,()4. 2я / о Из непрерывности функции и в точке (о следует, что 2(е > 0 3 б > 0: !! — !о( < 2е ~ )и(()-и((о)) < е (см. Рис. 77). Имеем 1 Г 1 О.'2 = — / (и(() — и((О)) (7(бо () о)! + — / (и(() — и((О)) (Г(б, () б(! = 12 + 22, 2я,б' 22г !о- о о!(2б 1о — оо~>22 гле интегралы берутся по дугам окружности тл, для аргумен- тов точек которых выполнены соответствующие неравенства. Оценим Т,: 2 1 Г Е б !7~ ! < — / о!и(() — и((о)о!(7(2, () о)2 < — ~ П(б, () о(! = е. 2я / 2я / )о-оо!<2б о Теперь предположим, что )Р— бо) < б.
Тогда лля всех 1, удовлетворяющих неравенству !! — !о! > 2е, получим, что !)б — Ц > д и в силу условия 3) найдется такое число р < К, что для указанных Е и г > 22 — р выполняется неравенство (Г(б, () < е. Таким образом, для всех б из области, заштрихованной на рис.77, для которых !)б — бо) < б и г > 71 — р, получаем: Р .Ю 1 ( Š— / (и(() — и((о)) (Г(2, () 211 < — 2М(2я — 2б) < 2Ме, 2л !о — оо)>бб М = ибР !а(()), 1Ь! < (1 + 2М)е. бета В силу произвольности е > 0 имеем 2 1 Г 1пп — / и(()(Г(е, () Ж = и((о). М С-Со 2а' Полагая в условиях леммы „2 (7(а' () 2 (() = "((), 212 + гз — 2Лг соз(Š— (б) РассмотРим пРимеры, получим свойство 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
