Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 50
Текст из файла (страница 50)
То~да л„= ߄— Я„, -! Я вЂ” Я = 0 ((„(х) = Я (х) — Я„!(г) -! Я(з) — Я(х) = 0). М Теорема 3 (критерий Коши). Ряд 2 х„(~ У„) сходится (сходится в точке г Е 2)г„) тогда и только тогда, когда .ьр +р н ьчэ и(чь) ., Хь!.' г' ~ ( г г(*! ) (!! ь= -ь! Й= ы т Условие теоремы означает, 'по последовательность (Я„) ((Я„(л)) ) частичных сумм ряда фундаментальна.
Поэтому утверждение следует из критерия Коши для числовой последовательности. М Если числовой ряд сходится абсолютно, т.е. сходится ряд 2 ~з„~, то его сумму будем обозначать символом ~ з„, подчеркивая этим, что любая перестановка ряда имеет ту же сумму, что ен и сам ряд. Этим свойством не обладают условно сходящиеся ряды. Поскольку последовательность компяексных чисел может рассматриваться как ряд, то они являются различными названиями лля одною и того же объекта — отобрюкения множества М в С.
Поэтому с рядами мспкно производить те же операции, что и с последовательностями. 1.2. Последовательность функций н функциональный ряд. Поточечная сходнмость. Определение 1. Отображение Ф множества (Ч в множество всех функций называется функциональной носледовательностью. Значение отобразкения Ф(п) = („ называется ее п-ным членом.
Для последовательности функций примем обозначение ((„). Определение 2. Пусть У: С С, („: С С и !уп Е (ч( )9(„м Р) — — Я, Последовательность ((„) называетсн ноточечно сходяигейся к функции (, если!Ух б Я ((х) = йш У„(х). Если последовательность ((„) поточечно сходится к функции (, то пишем У„У. В случае, когда важен сам факт поточечной сходимости и не играет роли функция (, будем писать У„ Определение 3. Пусть ((„) — носледовательность функций („! С С, 2)Г„= Я. Функциокольная лосяедовагпельность (Я„), где Я„(х) = 2 (ь(х) чх б Я, называется функциональным ь ! рядом и обозначается аииволом 2 („.
Функция Я„называется п-частичной суммой реда 2 Т„, а Т вЂ” его п-членом. Ц 1. Ряд Тейлора 199 Определение 4. Паточечной суммой ряда ',г г„на множестве и называется иоточечный иредел ега частичных сумм, если ан существует. Ряд называется латочвчна сходящимся, если ега иатачсчная сумма существует и явплется конечной. Поточечная сумма ряда 2 у„обозначается символом ,') у„.
Таким образом, у„~(з) = 1!щ ~! !/Е(г) !уз Е Х =! ь=! ПУсть Рч„= Я !Гп Е !Е(. Тогда последовательность фУнкций (Я„) можно РассматРивать как ряд 2 (а„— Я„!), где дс(з) = О !Уг Е Я. Следовательно, функциональные ряды, подобно числовым, представляют собой особую форму изучения последовательностей функций. 1.3. Равномерная норма функции. Равномерная сходнмость последовательности функций н функционального ряда. Введем в рассмотрение равномерную норму функции, обобщающую модуль числа и совпадающую с ним, когда функция постоянная.
Это новое понятие используем при построении равномерного предела функциональной последовательности. Определение 1. Число зпр !У( )!, (1) :ЕЛг каисчнас или бесконечное, называется равномерной нормой функции у и обозначается ЦТЦ. Отметим основные свойства равномерной нормы функции. Теорема 1. Длл любых функций У ! С С, д: С вЂ” ! С и ЛГЛ Е С сираведливы соотношения! 1) Цг Ц = О ь 1 = О; 2) ЦЛ1Ц = !Л! Цу'Ц; 3) ЦутдЦ < ЦУЦ -Ь ЦдЦ, если РГ и Р фй!.
и 1) ЦТЦ=О~ зир !1(г)!=О=' !1(з)!=Оцз ЕРг =.! 1(г)=0 1!з ЕР) ~ 1=0; Епг 2) ЦЛЛ = гвр !Лу(г)! = я!р /Л! !У(з)! = /Л! гир !1( )! = !Л! ЦТЦ. Епг *ЕЛЕ 3) Пусть з е Р! и Р, фс!. Тогда /1(з) + д(г)! < !Т(з)/+ !д(з)! < Еор !У(1)!+ язр !д(т)! = ЦТЦ е ЦРЦ. сепг ЕЛЕ Сонисно определению точной верхней грани имеем зир !Т(з) +д(з)! < Ц)Ц+ ЦдЦ, т.с.
Цу -ЬРЦ < Ц)Ц+ ЦРЦ. И *ЕЛГес Теорема 2. Функция у ! С С ограничена тогда и толька тогда, когда ЦТЦ < +сю. т Действительно, Цгсй = сир !Т(зН < +со с> ВМ Е Ж ! чл Е РГ !У(с)! . М сз у — ограниченная. и *Епг Для модулей чисел з Е С, в Е С справедливо равенство )згс! = )з! !т!. Для равномерных норм такого равенства не с!ллсствует, например, пусть у(з) = 1, если !з! < 1, у(з) = О, если !з! > 1, а д=1 — У. Тогда Уд = О, Ц1дЦ = О, ЦУЦ =1 ЦдЦ = 1 т е ЦУРЦ за ЦУЦЦдЦ. Однако справедливо утверждение, Теорема з. Пусть у ! С С, д: С - С. Если Рг О Р фй!, то Цздй<ЦгЦ ЦРЦ (2) т Пусть з Е Рг г! Рв. Тогда )у(з)д(х)! = !У(з)(!д(з)! ~< Ц1Ц ЦдЦ.
Из определения точной верхней гРани следует неравенспю зир !1(х)д(х)! < Цу'ЦЦдЦ, т.е. Цудй < Цу'ЦЦРЦ. И Ептв Оире!млтгие а. Пусть Я = Рг —— РГ„'чл Е р(. Последовательность функций (у„) называетси равномеРно схвдлщвйсл к функции у на мнозкестне Я, если Цу — ТЦ О ири п -! оо.
200 Гл. 5. Ряды аналитических фуиквий. Изолированные особые точки При этом функцию / называем равномерным яределом яоследовательности (/„) и пишем / -"ц /, или /„ =з У на Я. Теорема 4. Если /„ - — х /, то /„ т Пусть Я = Рг = Рп, )гя Е р) и г Е Я. Тогда при и оо имеем !У(г) — У.(я)! < !!У вЂ” У.!! О, следовательно, /„У. и Следствие.
Если иоследовательногть функций (/„) сходится равномерно, то ее равномерный яредел — единственный. Теорема 5(о линейности равномерного предела). Если /„=1 /, д„д, Я = Рг —— Рд = РГ = Р ып Е Г(, то )гл Е С У ф Лд:Г / + Лд. М Имеем при и со: !!(/„+ лд„) — (/ ф лд)!! < !!/„— /!!+ !л! !!д„- д!! - о, следовательно, /„-1- лд„ч У + лд. и Не все теоремы о пределах сходящихся числовых и равномерно схолящихся функциональных последовательностей аналогичны друг другу. Это объясняется тем, что равномерная норма, в отличие от модуля числа, может принимать значение +ос.
Приведем пример двух равномерно сходящихся последова1ельносгей функций, произведение которых сходится неравномерно. Пусть 1г(я Е Р( я Е С) /„(г) = г, /(г) = г, д„(г) = — „'. Тогда /„~ /, д„О. Однако, ч(п Е Н,г Е С) (/„д„)(г) = -*, !!/ д„— О!! = !!/„д„!! = зир (-„' ~ = +со, т.е. сходимость -"ес неравномерная. Определение 3.
Пусть /„: С С и )Ги Е Гь( РГ„ — — Я. Последователыгость (/ ) называетсв РавномеРно фУндаментальной, если (згг > 0) (Зп, Е Гч) (ч(п >я п~р Е Гч0): |!У чг У !! < г. Числовую последовательность можно рассматривать как частный случай последовательности постоянных фуггкций, прн этом понятия фундаментальности и равномерной фундаментальности совпадают. Теорема 6(критерий Коши). Последовательность (/„) равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равномерно фундаментальна.
м необходимость. пусть /„=г / н г > О. пользуясь определением равномерной сходимости, найдем такой номер и, Е 1Ч, что чп > и, !!/„— /!! < -'. Тогда ч(п > п„р Е Ы) !!/„,,р — /!! < -'. Следовательно, У(п > н„Р Е ГЦ) !!/„др / !! ( !!/ чр /!!+ !!/ / !! < ь, 'гто означает равномерную фундаментальность последовательности (/„). Достаточность.
Пусть последовательность (/„) равномерно фундаментальная и я Е Я. Тогда из оценки !У. -,(я) — У. (гН < (!/.+. — У )!, (3) справедливой ч(п Е Гч, р Е Гц), следует фундаментальность числовой последовательности (/„(г)). Согласно критерию Коши, для последовательности комплексных чисел существует 1пп /„(г), который обозначим через /(г). Г!устъ г > О. Поскольку последовательность (/„) равномерно фундаменталъная, то существует такое и, Е Гч(, что У(п > п„р Е ГГ) выполняется неравенство !!/„чг — /„!! < е, В силу неравенства (3) Й(п > н„р Е Гч(, г Е Я) имеем !У ьд(г) — У (г)! ( г.
перейдем в этом неравенстве к пределу при р — оо. получим зг(п ) п„я е Я) неравенство !/(г) — /„(я)! ( е. Согласно определению точной верхней грани, чн ) н, ))/ — /„)! ( е, откуда следует, что /„--и У на Я. и Овределеиив 4. Пусть /„: С ' С, Ры = Я чп Е 1Ч, Ряд Я /„ называется равномерно сходят имея, если лоследовательность его частичных сумм сходится равномерно.
Сумму равномерно сходящегося ряда назовем равномерной суммой. б 1. Ряд Тейлора 201 Оиредемние 5. Пусть у„: С вЂ” С, РÄ—т а !Гп Е Гй). Ряд ~ у удовлетворяет равномерному условию Коши, если наследавательнасть его частичных сумм является равномерно фундамгнниыьнай. Критерий Коши, доказанный для равномерно фундаментальной последовательности, сформулируем в терминах теории функциональных рялов. Теорема 7 (критерий Коши для функционального ряда). Пусть У„: С - С, РÄ— — Я згп б Г!Г. Ряд ,'г У„сходится равномерно тогда и только тогда, когда он удовлетворяет равномерному условию Коши, 1.4.
Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Днрнхле равномерной сходнмостн функциональных рядов. Определение 1. Пусть У„: С вЂ” р С, РЫ = Я чп Е Г!Г. Ряд д,'У называется нормально сходящимся, если сходится ряд ) (!У„(!. Если все члены ряда ~, У„постоянны, то его нормальная сходимость равносильна абсолютной сходимости числового ряда. Теорема Л Пусть У„: С вЂ” ! С, Рг — 2 чп 6 Х Еши ряд ~ У„гхадшися нормальна, то ан является равномерно сходящимся, щ Из сходимости числового ряда ~ (!У„)! следует, что он удовлетворяет критерию Коши: чр (хгг > 0) (дп, Е РО (й!(и ) п„р Е )йО): д, )!Уй!! < г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
