Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 53
Текст из файла (страница 53)
и! Поскольку ряд 2 (-*--;-а) для каждой фиксированной точки г Е К, сходится равномерно относительно (' Е дК„, а коэффициенты а„одни и те же для всех г, где 0 < г < И, то радиус сходимости 22 степенного ряда ~ а„(г — го) не меньше чем д. Действительно, предположив, что 22 < д, получим противоречие с определением рааиуса схолимосги этого ряда, так как в качестве г можно взять число, большее 22.
м Ряд 2; а„(з — зо)", коэффициенты которого вычисляются по формуле (5), называется рядом Тейлора функции Х. Следствие 1. Кагкдый сходящийся стеленной ряд 2 , 'а„(г — зо)" является рядом Тейлора своей суммы 211 в1. Р дТейлора где г( — расстояние от точки»ь до границы области Р, т. е. г( = !п( р(»ь, »). В силу этого имеем гада а'„(»„— »ь)" = ) а'„'(»„— »ь)". Е '- --. =ь =ь Переходя к пределу при и со, получим, что а,' = а,".
Таким образом, справедливо равенство Е'-- а'„(»„— »,)" ' = ~~! а'„'(»„— »ь) =! =! При и — оо получим, что а', = а",. Продолжая эти операции предельного перехода, убеждаемся в том, что хгп Е И а'„= а'„' (применив метод математической индукции). Следовательно, ч» Е Кр У!(») = Уг(») Пусть» б Р— любая точка. Рассмотрим жорданову кривую у С Р, соединяющую точки»ь и»'. Пусть рь > Π— расстояние от кривой у до кривой ОР, т. е. рь = ш!" р(», ().
Очевидно, *чт, сввп что р, < р. Пусть р, < р, — некоторое полохгительное число. Разделим кривую у на дуги точками»ь, »!, ..., »„,, »„= »* так, чтобы !»ь — »ь г! = р,. Рассмотрим круги Крь! — — (» б С: !» — »ь! < рь) (й = О, и — 1). Очевидно, что Кр~ "г! Кргьч ~яг и центр круга Кргр! принадлежит кругу К,'„'!.
В круге К~в,~ У, = У,. 11ентр», круга К,",,! является предельной точкой множества, на котором У! = Уг, и, таким образом, повторяя предыдущие рассужления, получим, что У! —— У! вК,. Продолжая этот процесс, после конечного числа шагов постигнем круга К,'",', т.е. Ч» б К,'",' Уг(») = Уг(») и, в часпюсти, У,(»*) = Ут(»"). ПосколькУ»* ЕР— пРоизвольнаЯ точка, то ж» Е Р У!(») = Ут(»). Ь Опртгелевие.
Пусть А б С вЂ” нрсизнвльнвв конечное числа, У вЂ” аналитическая в некоторой области Р функция. А тачками функции У называются корни уравнения У(») = А. Из теоремы единственности следует, что в случае, когда У(») й А, множество А-точек не может иметь ни одной предельной точки, принадлежащей области Р, поскольку допустив про- тивное, получили бы, что У(») ы А. Отсюда, в частности, следует, что любой компакт К С Р может содержать лишь конечное число А-точек для фиксированного А. Действительно, пред- положив, что К содержит бесконечное множество А-точек, получим, что это множество имеет предельную точку, принадлежащую К.
Пусть», — какая-нибудь А-точка функции У, т.е. У(»,) = А. В окрестности гочки»ь имеем " У'"'( ) У(») = А -1- ~~! (» — »ь)", =! У! 1(» ) У(») — А = ~~! , (» — »ь)". (!) »=! Если У(») ~ А, то среди коэффициентов правой части равенства (1) найдугся отличные от нуля. Пусть (» — »ь)" — младшая степень» — »ь, коэффициент при которой отличен от нуля.
Тогда равенство (1) принимает вид У(») — А = (» — »ь) ~~' . (» — »ь) У" '(»ь) (2) г! у=ь где У!и!(»ь) Ф О. Число й 6 М называется порядкам или кратностью А -точки»ь. В случае, когда й = 1, А-точка называется лростой, в случае, когда й > 1, — кратной.
ПРостаЯ точка хаРактеРизУетсл тем, что ллн нее У(»ь) = А и У'(»ь) Ф О. КРатнал А-точка порядка й > 2 характеризуется соотношениями У(»ь) = А, У (»ь) = О, ..., У' (»ь) = О, У ь'(»ь) ~ О. Гл. 5. Рады аналитических функций. Изолированные особые точки 212 Если А = О, то точка го называется нулем функиии У.
Она называется нулем крашнпсгли и, если У(ко) = У'(го) = " = У|п '(зо) = О, Ум'(го) Ф О. В последнем случае разложение функции У в ряд Тейлора в окрестности точки г, имеет яид У(г) = ~~' аь(г — го), откуда (3) У(г) = (г о) Р(г), где .(г) ш'.).ау(а - го)' " (4) г= Из формул (3) и (4) следует, что аналитические функции обра|цаются в нуль как целые степени к — го, а из теоремы единственности получаем, что отличные от тождественного нуля аналитические функции не могут иметь нулей бесконечного порядка. Рассмотрим примеры. 1.
Найти область сходимости рида г а-к 1 — г" и при )к! < Г < 1 имеем ~, * „~ < —,"„„= а„. Ряд 2 а„сходится. следовательно, исследуемый ряд абсолютно и равномерно сходится на любом компактном подмножестве единичного круга К| — — (к Е С: (г! < 1). м 2. Доказать, что если радиусы сходимости степенных рядов ~а„г", ~~ Ь„г" соответственно равны В,, В„то: 1) радиус сходимости В степенного ряда ~~г а„Ьаг" удовлетворяе~ неравенству В ) В,В,; 2) ралиус сходимости В' степенного ряда У вЂ”" г" (Ь„ф О) удовлетворяет неравенству В| В' < —; Вг 3) радиус сходимости Во степенного ряда ~ (а„Ь»+ а„,Ь, 4 ... + а»Ь„)г" удовлетворяет неравенству Во кз пип(Вп Вг). а 1) Поскольку 1 1лп ~/7аД = —, В|' !пп ~фа„б„) = 1пп ( х/Та„! Хггть„!) < !пп тГГ!а„! 1!гп чу, то 1 1 — < —, т.е.
В > В|Вг. В В|Вг Воспользовались неравенством'| !пп а„у„< 1пп к„1пп у„, выполняющимся 'Г(я„) О, у > 0). »а п 2) Так как а„= вп Ь„, то по доказанному в 1) В, ) В'Вг, откупа В' < лз. 3) Оба ряда абсолютно и равномерно сходятся в замкнутом круге К„ш (к б С: |к! < Г), г < пап(В„Вг). Тогда радиус сходимости Во ряда (~а„к") (~~ Ьак") = ~~| (а„Ьа+ап |Ь!+ ... +Ь„ао)г" не может быть меньше ппп(Вп Вг). а || см., нвпримор, я. и. ломко, л.
х юа»раук, я. Г. Гав. Г. и. Го»оа . спр»ванно» шкооио по »мошка магом»вико, моска», "УРСС", |999, т. |, глдн примор |Об. 213 й 1. Ряд Тейлора 3. ДОКаэатЬ, ПО КОГда СуММа т СТЕПЕННОГО ряда ~~г а„(З вЂ” Ь)", Ь Е Ь(, ПрИНИМаЕт дЕйетантельные значения в некоторой действительной окрестности точки Ь, то все а„действительные. М Очевидно, а, = у(Ь) Е )к. Поскольку ) (Ь+ ззз) — ) (Ь), )'(Ь+ гзх) — у(Ь) а~=)(Ь)= !нп = 1пп о* о гзз о* о г3х то аг Е Ж. Предположим, что а„= )'~"г(Ь) й К. Тогда уыг(ь+ 21*) — уьо(ь) а„ю = !пп = З'" '(Ь) й !К. а*-о г.'Зх утверждение доказано с помощью метода математической индукции.
М 4. Доказать, что лля коэффициентов степенного ряда ~~г а„з" с радиусом сходимости 11 ) Ь справедлива формула а„= / и(г, !о)е ~ д)г+ — / е(г, ~р)е "г г(уг, зт" / лг ",/ где 0 < г < В, 1(з) = и+ос = ~ а„з" — суммаряда. =о чо Пусть т„= (з е С: !з! = г), Г, = (у„, Т,") — положительно ориентированная гладкая нли кусочно-гладкая жорданова кривая. Тогда г, г 1 Г т((') 1 г за ге*гетер 1 г о о Применив интегральную формулу Коши прн и > 1, получим.
г ~(()( д( 1~(ге )г ег"';дую=О, г. о или — / у(гезг)е'" г(уг = О. (3) 2лг" „1 о Складывая и вычитая (2) и (3), имеем г г Г г Г а„= — / )(ге'~)соопугг((о = — — / Г(гезг) з!пп(ог(уг. ггг" --/ о о Отсюда, полагая а„= а„+ о)3„, находим: го г 1 г 1 г"а„= — / и(г, уг) созпрг()г = — / е(г, (о) ипп(ойр, о о г г 1 1 г")3„= — / е(г, !о) соя игр оьр = — — / и(г, (о) а!ппугг(ог. о о С помощью этих равенств получаем формулы (1) 'Фп Е )з). В случае и = О формулы (1) получаем сразу из (2). )ь Гл. 5. Ряды аналитических Функций. Изолированные особые точки 214 5. Пусть сумма степенного ряда у(з) = ~ ~а„х" с кругом сходимостн К, = (з Е С: ф < 1) =о удовлетворяет условию Ке 7(з) ) 0 Ух б К,.
Доказать, что )Уп Е М )а„! < 2ио, где ио — — Ке У(0). а Согласно формуле (1) предыдущей задачи имеем 2 Г а„= — / и(г, )о)е '"'* 4()2. хг" / о Оценим а„, Получим 2 2 2ио !а„! ( — / и(г, (о) 4()2 = —. 2зт",/ ' г" о Принимая во внимание, что г Е (О, 1) — произвольное, имеем )а„~ ( 2ио.
° 6. Найти первые четыре члена, отличные от нуля, разлолсения функции 2 1 У(з) = )4)соя з (7(0) = 1) в окрестности точки з = О. Найти радиус сходимости ряда. а Воспользуемся представлением функции 7 в виде ) 1 У(з) = чгсозз = (! — (1 — сох 2)) ' = (1 — ю)1. Тогда 4ух Е С получим: 2 4 б ю =- 1 — соб 2 = — — — + — — — + 2! 4! 6! 8! ю 1 2 1 (1 — ю) 2 = 1 — — — — и1 — — ю — — ю — ..., !ю! < 1, 2 8 16 128 б ! )то) 24 720 ''') 8 1 2 24 + 24 720 ) 8 т 4 1 )гх х У(х) = 1 —— 21,2 24 1)' ' = ! 21 2 1 4(х) 1 41 1 з+ — *,+...+ — ',+... 1+-',+ — *,+...+ — ',+ 2' ''' 2 бп! 2' 3' ' ''' 4 бл! Пусть разложение функции 7' в окрестности точки х = 0 имеет вид Тогда з зз х (аз+а,а+а,з'+ ...
+а„х + ...) !+ — + — + ... + — + ... =!. 21 3! ' (н+ 1)! Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, пахучим) 1 1 1 ао — +а,— + ... +а„) — +а„=О, пбр( (и+ 1)! 'и! "" 2! 2 4 10 б =1 — — — — — — —. 4 96 5760 Очевидно, что Н = †, т. к. точка 2 = †" — ближайшая к точке з = О, в которой нарушается 2 2 анзллтичность функции 7. Заметим, что первые четыре члена разложения функции у в ряд можно получить непосредственно, вычисляя ее производные в точке х = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
