Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пусть з(а) = ~ с„(а во) и ряд 2, сь(а-ао)" = 2, с „(а-ао) "+ Я с„(а-во)" сходитах еи еао ся равномерно в кольце 1',л. Умнохсив на (а-ло) ь ' обе части равенства у(з) = ~; с„(а — зо)" б 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций 221 и интегРиРУЯ полУченный Рад почленно по оРиентиРованной окРУжности Гя = (7„7лю), 7л (» б». ! !» — »ь! = р), г < р < )2, получим; г, Г(») ч †» Г (» » )й~-! г г, Принимая во внимание, что /' „„,!„ь>, )г О, если Р- (» — »О) й»=1 р е !а!=1 2 .
2л!, если пнй, и = /с, г, имеем /' Г(») сь =— 2л! „1 (» — »о)"+' 2.2. Классификация изолированных особых точек в С. Определение. Точка а Е С называется изолированнои особой точкой функции Г, есги существует такая проколотая окрестность этой точки, т е. кольцо 5~ л = (» Е С ~ О < !» — а! < )2) с нулевым внутренним радиусом, в котором функция Г аналитическая. Пусть» = а Е С вЂ” изолированная особая точка функции Г. Рассмотрим разложение функции Г врал Лорана в кольце Ъь л Г()=Е -(-) В зависимости от вида разложения (1) различают три типа изолированных особых точек.
1) Если в разложении (1) отсутствует главная часть, т. е. члены с отрицательными степенями, то точка» = а называется устранимой особой точкой функции Г. 2) Если в разложении (1) главная часть содержит конечное число членов, то точка» = а называется полюсом функции Г.
При этом, если с, = с, = ... = с <„,! —— О, а с ~ О, то число п называется порндком полюса, Полюс первого порядка называют также простым полюсом. 3) Если в разлохсении (1) главная часть содержит бесконечное число членов, то точка» = а называется существенно особой точкой. Пример 1. Функция» Г(») = — "",* аналитическая в кольце )а = (» Е С ( О < !4 < оо). Ее разложение в ряд имеет вид 5!и» »з»» — =1 — — + — — — + ..., » 3! 5! 7! из которого следует, что» = Π— устранимая особая точка функции Г.
Пример 2. Функция» ! Г(») =;-г»ы имеет две изолированные особые точки», = 2ь, »з = -2Е Разложим функцию Г в рлд Лорана в проколотой окрестности точки», гьпь = (» Е С ~ О < )» — 21) < 4]. Получим." 1 ь ! ь 1 ! ~-» (-()" — + — + — + ь — (» — 2!)". »з + 4 4(» — 2ь) 4(» + 2!) 4(» — 2ь) 1б (! + — — * з! ) 4(» — 2!) »-' 4"+з ы »=О Мы доказали следующее утверждение.
Теорема 2. Любойряд 2,'с„(» — »ь)" = '> с „(» — »ь) "+ 2 с„(» — »ь)" вкольцесходимосх гн е»а сти 1', л является рядом Лорана своей суммы. Из этой теоремы, в частности, следует, что разложение аналитической функции Г в кольце )г, л в ряд по целым степеням» вЂ” »ь единственное. Формула (2) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяется редко, поскольку требуется вычислять интегралы. Поэтому для получения лорановских разложений можно воспользоваться любым законным приемом. Гл. 5.
Ряды аналитических функций. Изолираваииые особые точки Отсюда заключаем, что точка г = 2! является простым полюсом функции /. Аналогично получим разложение функции 1 в ряд Лорана в проколотой окрестности точки г, Ъ'~'4 — — (г б С ~ О < !г + 2й < 4), с помощью которого убедимся в том, что гочка г! = -2! также является простым полюсом функции 1. Прммер 3. Функции г 1(г) = г!и „!, аналитическая в проколотой окрестности 1'ь (г б С ( О < !г — 1~ < со). Раздол!ение этой функции в ряд Лорана в )~ имеет вид 1 ! ! 5!и — = —— г — ! г — ! 3!(г — 1)! из которого следует, что г = ! — существенно особая точка функции 1.
2.3. Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке. Поведение аналитической функции в окрестности устранимой особой точки полностью описывается следующими двумя утверждениями. Теорема 1. Если лри нодходе к июяированной особой точке г = а функция 1 ограниченная ияи имеет норядок рости меньше единицы, то г = а — устраниыая особая точка. м Пусть функция 1 в окрестности точки г = а удовлетворяет неравенству М (Т(г)(<, О<а<1. !г — а! Тогда чп б (!( получим: 1 )с (= — Г(г)(г — а)~ 'дг < — р" ' '2лр=Мр" 2л! / 2чг г, Принимая во внимание, что и — а > О, а р можно выбрать как )тодно малым, имеем с „= О !уп б И . Следовательно, г = а — устранимая особая точка. М Теорема 2.
При нодходе к устранимой особой точке г = а функция 1 имеет конечный предел, и если его оринеть в качестве значения функции в точке г = а, то 1 становится аналитической функцией в точке а. М При г Е )ь я = (г б С ! О < 1г — а~ < Л) 1(г) = со+ 2 с„(» — а)", откуда !пп 1(г) = сь. =! Лоопределим функцию 1 в точке г = а равенством 1(а) = сь, Тогда разложение 1(г) = сь+ 2 с„(г — а)" будет справедливым в круге Кл — — (г Е С; !г — а( < К). Ряд Лорана пре=! образуется в ряд Тейлора, а функция 1 становится аналитической в круге Кз, и, в частности, в точке г = а.
М В дальнейшем, как правило, будем считать устранимые особые точки точками аналитичности соответствующих функций. Поведение функции в окрестности полюса устанавливается следующей теоремой. Теорема 3. Изогированнач особая точка г = а функции 1 является нолюсом тогда и только тогда, когда !ьш 1(г) = со. М Необходимость.
Пуси г = а — полюс функции г порядка р. При г б )гь л имеем 1(г)т е -!- " +... = ~~! с„(г — а)", с рфб. (г — а)е (г — а)е 1(г) = ~~ с (г — а) = ~~~ с (г — а) 1! (г) (2) (г — а)я (г — а)я (г а)г =о где 1! — аналитическая в круге Кя = (г б С: )г — а! < Я) функция, 1!(а) = се = е р зь О.
Из (2) следует (1). й 2. Рал Лорана и изолированные особые точки аналитических функций 223 Итак, при подходе к полюсу функции у она стремится к бесконечности, и чем выше порядок полюса, тем быстрее это стремление. Достаточность. Пусть з = а — изолированная особая точка функции у и 1пп г(з) = со. Очевидно, сушествует проколотая окрестность точки а, в которой ~(з) ф О. Поэтому точка з = а является изолированной особой точкой функции з ьч )з(з) = — и 11гпш(з) = О, т.е. а— пю устранимая особая точка функции ш. Устраним ее, полагая р(0) = О, и пусть з = а — нуль функции ш кратности р.
Тогда согласно формуле (3), и. 1.8., имеем ш(з) = (з — а)зр,(з), где (о,(з) р 0 в окреспюсти точки з = а. Следовательно, 1 1 г(з) = ф(г), (г — а)г(о~(з) (з — а)я где ф — аналитическая в точке = = а функция и ф(а) ф О. Представим ее в окрестности точки з = а рядом Тейлора: ф(з) = ~~~ с„(з — а)", сь — — ф(а) ф О. =ь Тогда у(з) = ~~ь с (з — а)" ", =а т. е. точка з = а — полюс функции у порядка р, м Следствие. Точка з = а является тмюсам функции / порядка р тогда и только тогда, когда функция ш = — (р ~ 0) аназитическая в точке а, и точка а — ее нуль кратности р.
2 7 Из проведенных выше рассуждений следует такое утверждение. Теорема 4. Для того чтобы изолированная особая точка з = а функции у оыла ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы у не имела предела при з а. Углублением и уточнением теоремы 4 являеюл следующее утверждение. Теорема 5 (Сохоцко го). В окрестности существенно особой точки аналитическая функция принимает значения как угодно близкие любому наперед заданному числу расшцренной комплексной плоскостш Другими словами, если з = а — существенно особая точка функции у, то згА е с найдется такая последовательность (з„), з„-ч а, что 1лп у(з„) = А.
щ 1) Пусть А = сю. Функция г' не может быть ограниченной в окрестности точки з = а, поскольку в противном случае точка а была бы устранимой особой точкой. Поэтому в проколотой окрестности Уь и = (з б С ( 0 < )г — а~ < 22) найлется такая точка зш что 11'(зь)! > 1. Возьмем проколотую окреспгость )г )т ~ = (з Е С (0 < 1з — а! < --'- — 1 ) . В ней найдется такая точка гз, ь, т что ~ ((зз)~ > 2 и т д. В проколотой окрестности Р (гз щ = Тз Е С ! 0 < 1з — а( < ць„:-'-1 ) найдется и такая точка з„, что 12(з„)) > и. Очевидно, что з„а и 1пп (у(з„)1 = +ос. 2) А ф оо. Здесь возможны два случая: 1') А-точки функции у имеют а своей предельной ючкой.
Тогда, очевидно, найдется такая последовательность (з„), з„-г а, что у(з„) А при п оо. Следовательно, утверждение справедливо. 2') сушествует проколотая окрестность точки з = а, в которой у(з) ф А. Тогда лля функции з р(з) = ' „точка з = а является изолированной особой точкой. Установим ее характер. Рассмотрим возможные случаи. Допустим, что а — устраннмая особшз точка функции (р. Ч'бгда чз имеет конечный предел при подходе к ней: бш ьз(з) = В и бгп у(я) = А+ — '.
Отсюда следует, что если В т' О, то я = а является устранимой особой точкой функции у, а при В = О точка з = а — полюс функции Г. Обе возмо;кности противоречат условию теоремы. Следовательно, з = а не может быть устраннмой особой точкой функции (о. 224 Гл. 5. Ряды аналитических функций.
Изолированные особые точки Допустим теперь, что» = а — полюс функции у!, т. е. 1пи Р(») = оо Л йш 1'(») = А. Следовательно, » = а — устранимая особая точка функции У, что снова противоречит условию теоремы. Таким образом, остается единственный возмозкный случай, что» = а — существенно особая точка функции р. Тогда, согласно доказанному в 1), существует такая последовательность (»„), »„ а, что 1ип (е(»„) = со л 1ци г'(»„) = А, ~ Рассмотрим пример. ! Пусть У(») = е* = 2 —,'„!» Е 1е ~ = (» Е С ! О < !»! < оэ), Здесь а = Π— существенно =О особая точка функции г.
С помощью очевидных соотношений ! ! 1ии е= =со, йт е ° =О *= >о =*со о *-е проверяем утверждение теоремы Сохоцкого для А = оо и А = О. Пусть А ~ ( . Решим О ! уравнение е = А: 1 1 1 1 — = 1.иА, » — —— — п Е».. » ' 1.иА 1и (А)+ !'Лей А !п !А! + г(агд А -1-2п;г)' Пусть 1 1и!А! е !(а»в А+ 2и!г)' ! ! Очевидно, что»„- О, е ° = А, следовательно, йщ е* = А. Характерным в этом примере является то, что за исключением значений О и со, все остальные значения А достигаются не в пределе, а на целой последовательности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
