Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Для простоты последующих рассуждений конкретизируем понятие анатитического элемента. Определеыие 5. Каноническим элементом с центром в точке а Е С назовем нару Р = (Кя„, з ), где з — сумма сходящегося степенного ряда, а Кл. — круг сходимости этого ряда с центром в точке л = а: Кя, =(зЕС;~л — а~<В ), у (л)= ~ с„(з — а)".
=ь Круг Кя. называется кругом сходимости элемента Р . Приведенные выше определения 3 и 4 для канонических элементов упрощаются, так как их области (круги) всегда пересекаются по связным множествам, и поэтому нет необходимости оговаривать, через какие компоненты пересечения Ь„совершается продолжение. Рассмотрим еще несколько моментов, связанных с понятием канонического элемента.
1) Пусть Р = (Кл., у ) и Рь — — (Кль, )ь) — два канонических элемента, являющихся непосРелственным пРодолжением дРУг дРУта, и пУсть Ь Е Хл . Тогда, очевидно, пРодолжение элемента Р сводится к переразложению суммы степенного рыла У в ряД по степенЯм з — Ь: ~ь(л) = '~, -', ~.'"ь(Ь)(л — Ь)". (1) =ь Гл. б. гьнваитическое продпюкевве 234 2) Если два канонических элемента Р, и Рь являются непосредственным продолжением друг друга, то их круги К„ и Кл„не могут компактно принадлежать друг другу. Действительно, пусть, например, Кн, С Кл зь Е А(Кя,) и ~ь = ~ в Кл„, однако 1 Е А(Хл.). Отсюда получаем, что функциа Ть аналитическаЯ в большем кРУге, чем Хл„, и, таким образом, Хл, не может быть кругом сходимости.
Из последнего утверждения следует, что кривые дКя. н дКл, обязательно имеют общую точку, и справедливо неравенство (см. рис. 84) (й — К ~ ( (ь — а(. (2) Реь. ал 3) Пусть элементы Рг, и Р„являются непосредственным аналитическим продолжением одного и того же элемента Р.. Тогда Ры = Ры. Действительно, пусть Вы ( Вьз. Тогла функции Ты и 1ьз анатитическне в круге Кды и совпадают в нем, поскольку 1ы =,Г, и 1ьз —— 1 на пересечении Кл. Г) Кяы. Теперь очевидно, что Вы — — Вьз и, следовательно, Ры —— Рки 1.2. Аналитическое продолжение вдоль пути.
Пусть Р, = (Кя„ур) — канонический элемент с центром в точке г = о, ч — непрерывная жорданова кривая с параметрическим прелставлением )с, 23 = 1 = (О, 1) и началом в точке р(0) = о, Г = ('у, Т,р). Определение. Канонический элемент Рь аналитически продолжается вдоль кривой(пути) Г, если существует семейство элементов (Р ) е г —— ((Хп,, Уг)) с центРами в точках о, = чз(1) и ненуле- )шг выми радиусами сходимости, удовлетворнющее условию: для казкдой окрестности 0;, точки гь Е 1, уг(Ом) С Кн, ю ч( Е Ои элемент Р, является непосредственным аналитическим продолжением 'ь элемента Р,, Если канонический элемент Рь продолкаем вдоль пути Г, то говорят, что элемент Р~ с центром в конечной точке (з(1) = б получен из Р, аналитическим продолжением вдоль Г.
Следующая теорема устанавливает единственность аналитического продолжения вдоль пути. Теорема 1. Если канонический элемент Рь продолжить вдоль пути Г, то полученныи в результате его аналитического продолзкения элемент не зависит от выбора семейства, осуществляющего зто продолжение. щ Применим метод доказательства от противного. Пусть Р, — эяемент, полученный из Рь продолжением вдоль пути Г с помощью семейства Р„а (), — элемент, полученный из Р, продолжением вдоль Г с помощью семейства Ог.
Имеем Рь — — ()ь, Рассмотрим множество точек 1 из интервала 1, для которых Р, = (;1,: Е = (1 Е 1 ~ Р, = <;)г). Очевидно, Е ~ а, поскольку 1 = 0 Е Е. Покажем, что Š— открытое мнолсество. Пусть (ь Е Е: Рь, — — 0и Обозначим через Ои С 1 такую окрестность точки гь, что Р(0„) С Кя,, 'а ' где Кл, — общий круг сходимости элементов Ри и г'„)и Тогда 'у( Е Ои элементы Р, и гй, получаются непосредственным аналитическим продолжением одного и того же элемента Ри = (2м Отсюда Р, = гйг (см.
замечание 3, п. 1.1), т.е. О„С Е и .Š— открытое множество. Теперь докажем, что Š— замкнутое множество в топологии 1. Пусть гь — предельная точка множества Е. Обозначим через Кл, меньший из кругов сходимостн элементов Рм и Ои, и пусть Ои — такая окрестность точки 1,, что (о(Оы) С Кя, . Поскольку гь — предельная точка множества Е, то в окрестности Ом обязательно найдется точка 1, Е Е и, следовательно, Рп = геь, Б силу замечания 3, п.
1.1, имеем Р,„= г2м, т. е. 1, Е Е и Š— замкнутое множество. Таким образом, непустое множество Е, являющееся подмножеством множества 1, одновременно открыто и замкнуто в топологии 1, Поэтому .Е = 1 (см. теорему в 3, гл. 2) и, в частности, Р, = О, . ~ Нас будет интересовать следующий вопрос. Мы имеем определения аналитического продолжения вдоль цепочки элементов (определение 4, п.
1.1) и определение аналитического продолзкения вдоль пути. Как они связаны между собой? 235 и 1. Основные понятия. Аналитическое продолвгевие вдоль пути Лемма. Пусть В(1) — радиус злеиента Р, из семейства элементов, осуществляющего аналитическое продолжение вдоль жарданава пути Г, и пусть, далее, все круги Кл, имеют конечные радиусы схадимпсти. Тогда )2(1) — непрерывная функция на отрезке 1 = [О, 1). т Пуетв го Е 1 — ЛЮбая тОЧКа.
Сущветлувт таКая ОКрЕСтНОСтЬ ОП ТОЧКИ гв, Чта Чг Е ОЫ элемент Р, является непосредственным аналитическим продолжением элемента Р,, Согласно неравенству (2), и. 1.1, имеем [В(1) — В(гь)[ < [)г(1) — Фгь)[ гле зг — параметрическое представление жордановой кривой Г. Поскольку отображение (е непрерывное, то В(1) является непрерывной функцией на сегменте 1. т Теорема 2. Пусть элемент (д получен из элемента Р посредствам аналитического продолжения вдоль жарданава пути Г. Тагди ('„З является аналитическим продолжением в понимании алределенив 4, л. 1.1.
т Пусть (Р,),е, — семейство элементов, осуществляющее аналитическое продолжение вдоль кривой Г (Рь = Р, Р, = Д). Радиус семейства В(1) является непрерывной функцией на сегменте 1, и )Г( б 1 В(1) > О. Огсюда слелует, согласно свойству непрерывных функций, что 'чг б 1 В(1) > е для некоторого г > О.
Поскольку параметрическое представление ьг жордановой кривой Г есть равномерно непрерывная функция на сегменте 1, то существует такое разбиение П= [гь1 к=О и) сегмента1, где О=ге <гз « ... 1„=1, что М(г ) — Т(г — )[<г (Ь= » ). Тогда (е(гь) Е Кл „, и, согласно определению 3, и. 1.1, элементы Р иь~ н Р пь а являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга, а элементы Р = Р оа и гд = Р „„; — аналитическим продолжением друг друга вдоль цепочки элементов Р пь. (й = О, гь), т.е. элемент (,> является аналитическим продолжением элемента Р в смысле опредеяения 4, п.1.1. М Рассмотрим, например, семейство элементов Р~ = (Клин геь), 1 Е 1 = [О 1[, где Кла~=[еЕС;[г — е' '[<1), уь= чгге'", — г+хг<(е<з рвг. Очевнано, и" = 1,"(г) = г, поэтому в каждой точке г Е К,ио сушествуег 1,'(г) = и 1,'(г) ос при г О.
Получаем, что функция 1, аналитическая в круге Кщо. Представляя ее рядом Тейлора в окрестности точки е' ', получим степенной ряд с кругом сходимости Кщп. Таким образом, элементы Р, = (Клон у,) при 1 Е [О, Ц образуют семейство канонических элементов„осуществляющее аналитическое продолжение элемента Р, в элемент Р, вдоль полуокружности 7 = (г 0 С [ г = е' ~, 0 < 1 < 1). Очевидно, элемент Р~ можно также получить из элемента Рь анатитическим продолжением с помощью цепочки элементов Рь, Р1, Р,.
1.3. Иввариаитиость аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотоппых деформаций этого пути. Пусть 1 = [О, 1[, К = 1х1, К С вЂ” гомотопия жордановой кривой -Гь вжорданову кривую 7~ еь еь с общими началом и концом, 1 уа 1 — 7, — параметрические представления кривых 7ь на на и 7ъ Тогда чс Е 1 ю(0, О = (вь(0), (е(1, 1) = юе(1), т.е. любая кривая 74 с параметрическим прелставлением б ьч Зг(1, 4) имеет то же начало, что и Ть с 7~ и тот же конец, что и 7ь с 7~ (см. п.5.1, гл.4).
Теорема 1. Пусть гкарданавы кривые 7ь и 7~ гамотапны как кривые с общими концами, а элемент Р аналитически лрадаллеаетсв вдаль любой кривой 74 с параметрическим представлением б ' ' Р(1~ О 0 < 1 ~< 1, где и — гвматалия кривой 7е в кривую 7~ . Тогда результаты аналитическагв прадацкенил элемента Р вдоль кривых Гь и Г~ совладают, где Го = (7ь, 7ь ).
Г~ =<7~ 7т ) м Согласно условию, аналитическое прололжение элемента Р вдоль любой жордановой кривой Гг, имеющей общие концы с кривыми Гь и Г,, существует. Обозначим через (гг результат аналитического прололжения, осуществляемого семейством элементов (Рь )ьег вдоль нуги 236 Гл. б. Аналитическое продолжение Гг = (ТГ, Тс ). ПУсть Е = (с Е Х ( Я~ = (Г ). Множество Е непУстое, так как Р = О Е Е. ПУсть 4ь Е Е. По лемме п. 1.2 существует такое с > О, что радиусы Л(г) семейства элементов (Р,'),аг, осуществляющего аналитическое продолжение вдоль кривой Гг„удовлетворяют (Г( Е 1 неравенспзу 22(1) > с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
