Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Таким образом, Т'" — аналитическая в области Р* функция и, при условии доопределення ее на Г равенством )" (х) = 1'(х), непрерывная в Р* ы 7. Теперь к Т и г' можно применить принцип непрерывности. М Рассмотрим задачи. 1. Доказатгч что элементы к,=((к„г *), к,=(* с )) ), =ь 1 )х — (ч) п=(км,—.г ( —.) ), К,=(* с(.)* — ) 2), ~1-(/ =о являются непосРедственным аналитическим продолжением друг друга.

< Оба Ряла прелставляют функцию к м —,' в кругах к( и кз. )ь из которых следуег, что )ух б Кь(з„) Е(к) = Т(к). м Теорема 2 (принцип симметрии Римана — Шварца). Пусть область Р содержит в составе своей границы некоторую дугу окружности 7 и не содержит одновременно обеих симметричных птносительно 7 точек и пусть, далее, Т является аналитической функцией в Р, непрерывной вплоть до 7 и принимает на 7 действительные значения. Тогда сугцествует аналитическое продолжение функции у' в область Р', симметричную области Р относительно 7, и для его получения требуется, чтобы в точках, симметричных относительно 7, функция У принимала сопряженные значения, < Не ограничивая общности можем считать, что 7 совпадает с отрезком действительной оси, а область Р лежит в верхней полуплоскости (этого всегда можно добиться с помощью дробно- линейного отображения).

Точки области Р* будем обозначать через х*. Каждой точке г" Е Р" поставим в соответствие точку к Е Р по закону з = х* и определим в области Р" функцию х* б"(г*) равенством 242 Гл. б. Аналитическое продолжение 2. Доказать, что элемент 1 )«! — к ') =(Кь»2 — а — ( — ) ), К,=)* Е)) — ) 2), и ~ 2 ) =! является непосредственным аналитическим продолжением элемента м Оба ряда определяют разложение функции «) 1п(1 4 «) и К! С К,. г» 3. Доказать, что элементы к,-()кч2 *— ), к,-! е:)) ), (-1)" ч» '(к„» а' — ) -)г), к,=)* «:)*-2) ), и не имеют обшей области схолимости, однако являются аналитическими продолжениями друг друга в понимании определения 4, п.

1.1. м Элементы Р, и Р, являются аналитическими продолжениями друг друга вдоль любого пути, лежашего в верхней полуплоскости с концами в точках 0 и 2. Эти продолжения определяют в верхней полуплоскости функцию «)-) — 1п(1 — к). ° 2 4. Доказать, что сумма д степенного ряда К2 , '«является полной аналитической функцией. М Имеем д(г) = 2 к! . В точках кк — — ез * 2, плотно размешенных на окружности =о т = (з Е С: («( = 1), являющейся границей круга сходимости ряда, функция д не имеет конечного радиального предела. Г» 5. Привести пример полной аналитической функции Г, областью определения которой является единичный круг к = (а е с: )к( < 1), непрерывный в замыкании к. 2 ° такой функцией является «у(к) = 2 — *,„.

если бы У анели)ически продолжалась за =о единичный круг, то такое же свойство имела бы и ее производная Г', что противоречит задаче 4. 1» 6. Доказать, что котла радиус сходимости степенного ряда «2 а„«равен единице и все а„> О, то такой ряд не может быть продолжен в точку « = ! (теорема Прингсхейма).

м П)сть ((к) = 2, а„з". Рассуждаем от противного. Пусть сушествуеттакое число Л Е (О, !), =о )!) ) что ряд ~ «-„т — (« — Л)" сходится в круге К„= («Е С: (к — Л( < г) и Л+ г > !. Согласно '")л ' равенству (2)")(ле) )! = /)")(л) ряд 2, « — )тз-)(к — ле' )" будет сходящимся для ка)кдого д в круге К, = (к Е С: !« — Ле'а) < г), а сама функция Г', следовательно, будет аналитической в круге К = (к Е С; («( < Л+ г) радиуса, большего единицы, что противоречит условию задачи.

° 7. Доказать, что функция у, определенная рядом а Е С)(0) является непосредственным аналитическим продолжением функции --® =е Упражнения для самостоятельной работы 243 М Функция д является суммой степенного ряда с кругом сходимости К = (л Е С: [а[ < п( ) и этот ряд является рядом Тейлора функции з ~-~ — ' в окрестности точки з = О. Область сходи- мости первого ряда определяется неравенством ~ — *, ~ < 1 и представляет собой полуплоскость Р, содержашую начало координат, ограниченную срединным перпендикуляром к отрезку [О, а).

Находим сумму ряда в точке з Е Р: Таким образом, К С Р и У(з) = д(г) Чз Е К. М 8. Привести пример функций У~ и Ум аналитических соответственно в областях Р1 и Рм причем Р, П Рз — — Р = гь, ы гьз и У1(з) = Уз(а), если а Е Ь!, Л(з) и Уз(а), если з Е гь,. м Пусть У1(з) = 1п [г[ ь (агвз, Р, = (г Е С ~ — я < агвз < —; ), Уз(з) = (п [с[ -1- !агва, Рз = Тз Е 0 [0 < агва < — ' ), йч — первый квадрант, Ьз — третий квадрант а-плоскости (см. также пример перед определением 4, п. !.1). Функции У1 и Уз удовлетворяют поставленным требованиям. м 9.

доказать, что когда функция У Е л(С) удовлетворяет условиям 1гп У(а)), = Ке У(з)(, = О, то она нечетная, т. е. У(-з) = -У(а). М Принимая во внимание равенство 1гпУ(з)[„е — — О, по принципу симметрии имеем У( ) =У(й) Введем в рассмотрение функцию Тогда !гп Е(з) и, принимая во внимание, по точки а и ~-~ г(з) = !У(з), (, = ВеУ(а)! = О, -Л симметричные относительно мнимой оси, получаем Р(х) = с( — д), Второе из этих разложений является непосредственным аналитическим продслзкением первого, третье — второго, четвертое — третьего и первое — четвертого.

м Упражнения для самостоятельной рабства 1. Функцию х У(х) = —,' с интервала ( — 1, 1) С Ж аналитически продолжить методом степенных рялов сперва в круг К = (а Е С; [л[ < 1), а затем в круг К' = (а б С: [з — ![ < 2). 2. Пусзь Р~ = (з б х. [ 1 < [а[ < 2 л (юл > 0), а У(а) = )па = !и [а[ 4 (мйз. Найти аналитическое пролозскение функции У из Р, в область Рз -- (х б С [ 1 < [л[ < 2 л 1гл х < 0) через интервалы (-2, -1) и (1, 2).

У( ) = -У(- ) (2) Из (1) и (2) следует нечетность функции У. > 10. Построить четыре элемента функции а ~ —.' с пентрами в точках л = 1, г = з, г = — 1, а = -1 и выяснить, какие из них являются непосредственными аналитическими продолжениями лруг друга. м Непосредственно получаем четыре разложения 1 ч — ~ 1 к (-!) (з — 1) , [а — 1[ < 1; — = аз ! (з — !) , [а — ([ < 1; з 3 =о =о 1 (а+1)", [а+1[< 1; — = ч) (-!)" (а+1)", [зе([<!.

з а Гл. 6. Аналитическое продолжение 3. Пусть С вЂ” комплексная плоскость с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, К = (х Е С: >х — !! < 1), Л(х) = Г -((, х с С, гг(х) = ~ 1 — >„— (х — 1), х б К. 1 ю Доказать, что Уг и уг являются аналитическими продолжениями одной и той же функции. 4. Пусть функция уг аналитическая в кольце К, и = (х Е С ! г < >х) < Л). Доказать, что функцию у, определенную в круге К„= (х Е С: ~г~ < г) соотношением у()= —,.',,)(( — )"(а(Ь)4Ь ( б~>, Г,=(?.,?,"'), ?.=((ОС:! >=1); г,.

можно аналитически продолжить в круг Кл = (х Е С ~г~ < В) и что зто аналитическое продолгкение г (х) можно задать формулой Е( ) = —,', ) (( — ) аг(()а(( (~ Е К), 1'л — — (Ул, У"„), Ул — — (( Е С: Ц = В). у'л 5. Доказать, что функции х ~-а Д(х) = ~ х" (>4 < 1) =а и х уг(х) = ) е кг *!а(1 (Кех < 1) а являются аналитическими продолжениями друг друга.

6. Найти аналитическое продолжение функции х ~а агсбп х из интервала (-1, 1) С В в крут К = (х Е С: ~г! < 1). 7. Пусть на интервале ( — 1, 1) определена функция у, где ! у(х> ~ е -', если х Ф О, ( О, если я=О. Можно лн аналитически продолжить ее в С? 8. Доказать, что функции х~,у(х)=~,-~; — — и х~ уа(х)= / ! е г(1 =а а являются аналитическими продолжениями друг друга.

9. Какие функции определяются рядом 1( + -'.) + С ( - -.') ( —,.'„, —,. '.,) (. ?() в областях Ка г — — (х Е С ! О < е < (х! < !) и К = (х Е С: >х( > 1)? Являются ли они аналитическими продолжениями друг друга? 10. Пусть 1 У(х) =,) е"С Д, г = (Ъ Ом), ? = Е б С: К! = 1). г Доказать, что эту функцию можно аналитически продолжить в С. 11. Доказать, что функцию У, где а мо кно аналитически продолжить в область Р = (х 6 С: ! агв х( < гг) .

12. Доказать, что если функция у является аналитической в елиничном круге и в каждой точке его границы, то она аналитически продолжается и в некоторый круг Кр — — (х б С: )х) < р), где р > 1. 13. Пусть у' — аналитическая в окрестности точки х = О функция, а последовательность (у'"г(х)) сходится там равномерно и 1лп Уму(О) = 1. Доказать, что предельная функция атой последовательности аналитически продолжается в С.

Глава 7 Вычеты и их применения 9 1. Определение вычета. Основная теорема С а = ГЕ5з (З). Принимая во внимание формулу (2), п. 2.1, гл. 5 для коэффициентов ряда Лорана, имеем 1 геь)(з) = — / ((з)дз, Г = (-~р, у "), (!) 2я( гр где г„— окружность радиуса р с центром в точке з = а, у, с О (Π— окрестность точки а). Заметим, что в случае, когла з = а — устраннмая особая точка, геьу = О.

Если з =- а— полюс первого порядка, то геь)' Ф О. В остальных случаях геь ( может быть равным, а может и не быть равным нулю, например; 5(п е 1 гез — =О, гез — =1, геье=о =О. о з ' з з — 2 ' о Получим формулы для вычисления вычета относительно полюса, Пусть з = а — полюс функции у порядка р. Разложение функции у в ряд Лорана в проколотой окрестности точки з = а имеет вид у(с) .= р + .. т — + э се(з — а) (з — а)р з — а =о Отсюда получаем: ((е)(з — а) = с, -1 с рь~(з — а)+ ...

+ с ~(е — а) + ь с (а а) еО йр-о —, (у(з)(з — а)") = с ~(р — 1)!+ ) с„(о+р)... (и+ 2Не — а)" !р -! 1пл —, (З(з)(з — а) ) = с ~(р — 1)!. йер ' Имеем формулу для вычисления вычета функции у относительно полюса р-го порядка: ! , йр-г гео.у(я) = — !1гл —, () (з)(з — а)") . (р 1)! г)ее (2) и е еочьльные Егеан еньье тине (феона.) — енчее.

Характеристики

Список файлов книги