Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Поскольку гомотопия (с является равномерно непрерывным отображением на компакге К, то в К найдется такая окрестность 0(„С 1, что )г(Е Е 0(„1 Е Х) выполняется неравенство )(э(б, 1) — ы(1„1)) < —. 2 (1) Выберем точки (ь Е 1 (й = О, и) так, чтобы ч)» )»гь = )э(бь, гь) удовлетворяли неравенству (2) !~уь — Уа-~1< —. 2 и элементы Р,,", Р~ь,, были непосредственным аналитическим продолжением друг друга. Обо- значим )»~ = 1»(б, 1ь) и заметим, что при Х Е Оы, согласно (1) н (2), выполняется неравенство 1Уь - уа ,1 < 1Ргь Рь~ ~ )рь 4, ,( < с, (3) Очевидно, что элементы Р» и Рчь ЯвлЯютсЯ непосРедственным аналитическим пРодолжением друг друга (так как РГ' и Рг,' являются непосредственным анаяитическим продолжением лруг друга согласно (3), н также Ргь и Рг,' являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга, н все три элемента Рг,', Х»»г,', Рг,' имеют общую часть).
Аналогично показываем, по элементы Рн н Р,, являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга и т.д. са г Наконец, РГ и Рг' являются непосредственным аналитическим продолженнемдруг друга и, кро- МЕ ТОГО, ИМЕЮТ Общий цситр, ВСЛЕдетанс ЧЕГО СОВПадаЮт: Р, = бег = Рг' = Ягь. ИтаК, Об С Е, т. е. Š— открытое множество. Пусть бь — предельная то'ка множества Е и Ос, — окрестность этой точки, рассмотренная выше.
В этой окрестности найдется такая точка Х Е Е, что продолжение элемента Р вдоль кривой Гс приводит к элементу (2< = О~. Повторяя приведенные выше рассуждения, получим, что аналитические продолжения вдаль кривых Гг и Г, приводят к одному и тому же элементу г;)г" = Ог = („г, т. е.
Хь Е Е, откуда следует, что Š— замкнутое множество. Следовательно, о Е = 1 и, в частности, Я' = О, по и требовалось доказать. т ь Замечаиие. Если хотя бы вдоль одного из лусей Гг, определяемого гомотолией ь», элемент Р аналитически не продолжается, то результаты его продолжения вдоль кривых Гь и !'! могут оказаться разными. Для иллюстрации сказанного вернемся к примеру, рассмотренному в конце а. 1.2. Элемент Рь можно продолжить ьлохь нижней единичной полуокружностн гг = (» б С !» = е *™, 1 б 10, 11 = Рг с помощью ели»яства элементов Р,' = (Клог, Хг~), где Кл, — — (» б С: )» — е * ') < 1), 1» = "Угг' — — — к! < Р < — — кг.
Тогда Р„= Ра, но Р! Р Р,, хотя их круги схолимости одинаковые. Рассмотрим, » например, значения 1!(г) и 1~~(») в точке» = — 1; 1!( — !) = е', Х!~(-1) = е, 1!( — 1) Р 1!( — 1). Это объясняетсв тем, что гомотолию Т н Т, можно осуществить лишь в области, содержащей точку» = О, однако аналитическое продолжение элемента Рь вдоль луги, проходящего через точку» = О, невозможно (в конце п. 1.2 показано, что 1»(») со арн» О).
Теорема 2 (о монодромни). Пусть Р = (К, 1) — некоторый аналитический элемент, К С В, где  — такая однасвяэная область, чта элемент Р аналитически лрт)сижсается вдоль любой экардановой кривой, лен»атей в В. Тогда совокулнасть всех аналитических лрадалэкений онределяет в области В аналитическую функцию. щ Прежде всего заметим, что любые две жордановы кривые с общими концами, лежащие в области В, гомотопны вследствие односвязности области В. Пусть» Š — произвольная точка. Рассмотрим множество всех хгордановых кривых, лежащих в В, с общими концами а и», где а — центр заданного элемента Р. Результаты аналитического продолжения вдоль этих кривых по теореме 1 совпадают.
Значения этих продолжений в точке» сопоставим ей. Этот закон и определит в области В аналитическую функцию. М Ф 2. Полиые аиалитические фуикдии 52. Полные аналитические функции 2.1. Покатые полной аыаяитической фупкции. г)у Определеиие 1. Полной аналитической функцией назовем савокуппасть всех канонических элементов, получаемых из пдпаго какого-нибудь элемента Р апалитичвсхими продолжениями его вдаль всех зкордапавих кривых, иачииающихся в цептрв о злемепта Р, для которых такие продолхсгвил возможлы.
Покажем, что понятие полной аиалитической фуикции ие зависит то выбора начального элемента Р. Действительно, пусть (г — любой другой злемеит полной аналитической функции, определенной иачальиым элементом Р. Это означает, что О получаем из Р продолжением вдоль некоторой кривой Г = (Т, у„„). Тогда Р можно получить из ('„З продоюкеиием вдоль кривой Г = ( у , 1,,).
Пусть теперь элемент Ф получаем из элемента Р продолжением вдоль пути Г, = (Тп Т~). Тогда, очевидно, получаем Ф из ('„З продолжением вдоль пути Г О Г,. Принимая во внимание теорему о едииствеииости аналитического продолжения вдоль пути, естественно дать следующее определеиие. Опрелелеиве 2. Двв полные аналитические функции считаются р а в и им и, если аии имеют хотя бы один общий элемент. Теорема Р Обьедипгиие кругов сходимасти элементов, принадлежащих палпаи аналитической фуихции, образует область.
щ Пусть Р— это объединение. Оио открытое как объединение открытых множеств, т.е. если вв б Р, то ", б К вЂ” кругу сходимости некоторого элемента и К С Р. Пусть а и Ь— произвольные точки множества Р. Тогда найдутся элементы, для которых а и Ь являются центрами. Эти два элемента получаем аиалитическим продолжением друг друга вдоль некоторого пути Г = (Т, )т), соедиияюшего точки а и Ь.
Ясно, что т С Р. Следовательно, Р является связпым открьпым множеством, т.с. обласп ю. Оиа называется естгствгниай областью определения полной илалитичгсвой функции, или областью ег существования. Ы Заметим, что полная анаяитическая функция может ие быть в области Р функцией в обшеприиятом понимании, поскольку ие будет одиозиачиой. Сколько значений функции сопоставляется фиксированной точке из области РУ Ответ иа поставленный вопрос содержится в следующем угверждеиии.
Теорема 2 (Пуаикаре — Вольтерра). Палица аигьтитичвская функция может ииеть пе более чгм счетное множество разных элементов с центром в фиксироваппай точке. щ Пусть полная аналитическая функция определяется начальным элемситом Р с центром в точке а, и г — произвольная точка из области определения Р полной аию~итической функции. Пусть Р. — один из злемеигов с центром в точке г, прииадяежащий полной аиалитической функции. Его можно получить из элемента Р, с помощью конечной цепочки элементов с цеитрами в точках гп г„..., г„„г, в которой каждый следующий элемент является иепосредствеииым аналитическим продолжением предыдущего. Не ограничивая общности можно считать, что точки х„гг, ..., г„| имеют рациоиальиые коордииаты. Действительно, пусть сначала цситры г'„г,', ..., г'„, произвольные.
В как угодно малой окрестности точки хь (й = 1, п — 1) возьмем точку хь с рациональными координатами и заменим элемент Р„злемеитом Р„. Сов гласио теореме об иивариаитиости аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопиых деформаций путей, при достаточио малых (хь' — гь( результат продолжения по новой цепочке будет совпадать со старым. Множество непосредственных аналитических продолжений Р„ с рациональными центрами элемента Р счетное, точно так же счетное множество и элемеитов Рчп ..., Р,, Задание Р,„, и точки х однозначно определяет элемент Р,.
Следовательно, число различных Р, ие более чем счетиое. Ы Вводя в рассмотрение понятие полной аналитической функции, ие обязательно пользоваться лишь каноническими элементами. Можно брать произвольные злемеиты, рассматривая полную аиалитическузгз функцию как совокупность аналитических злемеитов (Р, )' ), где и пробегает некотоРое множество индексов Л. При этом кяждый из этих элементов получаем из любого другого элемента аналитическим продолжеиием.
Гл. 6. Аналитическое продолжение 238 2.2. Примеры полных виалитичесвжх функций. Функции, аналитические в С, а также аналитические в С за исключением счетного множества особых точек, являются, очевидно, полными аналитическими функциями. Приведем также пример полной аналитической функции, состоящей из одного канонического элемента. рассмотрим канонический элемент Р = (К, У), где К = (х б С: ~х! < 1), ~(х) = 2, х"'. ю Покажем, что этот элемент не может быть продолжен ни по какому пути с началом в точке х = О. Если бы такое аналитическое продояжение существовало, то некоторая дущ окру:кности у = (х б С: 1х( = Ц состояла бы полностью из точек аналитичности функции 1'. Однако на г любой такой дуге содержится бесконечное множество точек вида хч — — е ч, где р и д — целые положительные числа, которые не могут быть правильными точками функпии 1".
Действительно, положим х = рхч, О < р < 1. Тогда получим: ч-! Для любого натурального числа )ч( > д имеем и ч-> ~У(хН > ~,р"' — ~~,14" >()ч( — 8+1)д" — (д — 1). =ч Отсюда, в силу произвольного выбора Аг > д, приходим к выводу, что функция 1 при приближении к точке хч по радиусу стремится к бесконечности. Следовательно, хч не может быль точкой аналитичности функции (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
