Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Тогда ( — '" ) ~'(з)~, „.и„; -'ь 'ь 2Ьг!' — /ге в) При !з -ь Д < 1 имеем 1 = —, 1, = — 2,(1+ з) ь=о гез — 1+ — +... + 2 = гез (-1 — (1+ х) — (1+ а) —...) ~1-Ь вЂ” +... + 1 2 и = геа — ... — — — (и+ 1) +... = -и. — (1+я)" (1+~)""' 1+я Далее, /1/ ! =и — и — 1= -!. в -~ ~» \, !+я "' (1+я)" / Гл. 7. Вычеты и их применения 252 11. Вычислить интегралы: а),, г =(т„,тл),т„=( бс:! !«В),п<В'<а+г,пбг(; ,/ ег" — ! г„ б) / ~/ — 42, Г„= (т„т~), -г, = (2 б с: !2! = г), г > 2 и при больших !г! ~~, = ! е о(!).
г. ~ Окружность -(„охватывает 4п+ ! полюса подынтегральной функции: точку 2 = О н на каждой окружности .! „= ( б С: !2~ = ч%) (Ь = 1, и) лежит четыре полюса з = Лег г (пг = О, 1, 2, 3). Согласно формуле (1), п. 1.3, получим: =4(2 2 г ~ 2яг' 4лге' '!"'2™ ) [,2лг лгу' ь=г =о б) Воспользуемся бюрмулой (2), и 1.2: — 4(2 = 2ггг гез г;. Тогда ~) = — 4(х = -2лг геь — = -2яг' гез, = -2лг геь 1 — — 4 а — = -2лг. М ~/а+ = .
~l +2 (,), ~ ° ~.) г,. 2 12. Доказать равенство 4+В! 8 !4 — 4 2 22(У вЂ” а)(Ь вЂ” Д) Ь4гг(Ь вЂ” а) г. Здесь Г„= (у„, у„'"), 1, = (2 б С: !з! = г), О < га( < г < (Ь~. „г М Поскольку 2 б у„~ зу = г', 2 = — ", то (24 + 1)4(2 (г' — аг)(Ьл — г') 2' Подынтегральная функция имеет два простых полюса 2, = —" и з, = — ", причем полюс 2, охватывается кривой .у„. Поэтому я~+1 22гг, 24+1 г'+Ь 1 = 22гг геа — — Нпг = 2ггг 4 (гг — аа)(Ьх — гг) Ь „4 гг — аз Ь4гг(Ь вЂ” а) ' ь ь 13. Вычислить ! 4(2 , Г = (у, 7 р), 7 = (з Е С: !2) = 2).
1 (а — 3)(лг — 1) ™ г «г Окружность 7 охватывает одну особую точку полынтегральной функции !4 = 1, следош- ,. 24 тельно, точки ль = ег ь (Ь = О, 4) — ее простые полюсы. Согласно формуле (1), п. 1.3, 4(2 1 (л — 3)(22 — 1) ~-« , . (л — 3)(ль — 1) = 2я(~ геа г ь=о б 1. Определение вычета. Основная теорема Поскольку Е., 1 1 газ + гез -ь гез =О, *, (з — 3)(гз — 1) г (з — 3)(зз — 1) а (з — З)(зо — 1) о=о ( г(з ( 1 1 = -2ггз гез, + гез (з — ЗКзо — 1) ~, г (г — 3)(з' — 1) (г — 3)(зз — 1) г' В окрестности г = со имеем 5 — — 6 1-ь-+ — +" 1+ —,+" следовательно, гез, „, „= О, поэтому г(г й 1 2яг ггг' = -2яггез = — 2ггз 1ип (з — 3)(го — 1) г (з — 3)(зз — 1),-г зз — 1 242 121 г Применив формулу (2), и. 1.3, мы избежали громоздких вычислений.
° / за(г 14. Вычислить 1 = гг , Г = (7 7ор) ' 7 = (з Е С: /з 2! = г) ' / (з — 1)(з — 2)' ' г' и Окружность у охватывает одну изолированную особую точку з = 2 полынтегральной функции 1, являюшуюся ее полюсом вгорого порядка. Следовательно, г( гг (г — 2)гг у г( г' г 'г — 1 1 = 2яггезг(г) = 2яо 1!гп — ~ г) = 2яг 1ип — ( — ) = 2ггг !ип —, = -2яо.
!и г .-г г(з 1,(з — 1)(з — 2)г) *-г Вг з — 1 г (з — 1)' 1 гойг 15. Вычислить 1 = /, Г = (7, у ), 'у = (г Е С: !г! = 1) . -/ 2,+! !' м Подынтеградьная фуггкция 1 имеет простые полюсы в точках 1, ого го= — е а (л=0,1,2 3). .аг2 Согласно формуле (!), п. 1.3, имеем г 1 = 2гп'~~о гезу(з).
о=о г Поскольку 2 гезу(г)+ гезу(з) = О, то 1 = -2логезу(г). Из разложения о=о 'г "'-2. 1+ -2. ' 2." следует, что гез 1(з) = -с, = — -' (см, формулу (2), п. 1.2). Следовательно, 1 = яз. и 16. Вычислить 1= г(г, Г = (у,7о),.у=(з ЕС: !з(= !). у я'(з' — 9) г М ПОдЫНтстрапъиая фуНКцня 1 ИМЕЕТ ПОЛЮС ВтОрОГО ПОрядКа В ТОЧКЕ З~ го О И ПрОСтЫЕ полюсы в точках зг = -3, зг = 3, однако окружность .у охватывает лишь точку з„поэтому г( У е* г, е*(яг — 2з — 9) 2яо 1 = 2гп гезу(з) = 2яа йш — ~ — ) = 2аго 1ип а,-а о(з 1, зг — 9) *-а (зг — 9)г 9 Гл. 7. Вычеты и ю! применения 254 1 1 1 17.
Вычислить Е = —. / нп — Их, Г, = (7„, 7."), 7„= (х б С: ~х! = г). 2лв',/ г„ м Точка х = О является существенно особой для подынтегральной функпии. Поскольку 1 чз — а (-1) в!и- = з х с-~ (2п+ 1)!х'""' ' =а то гев З (х) = 1, .1 = гев 1(х) = 1.
а а а 18. Вычислить1= — / нп — о(х, Г= (7„,7„"),.г, =(х ЕС: ~х!=г) 2 я!,/ х г. м Поскольку в разложении в ряд Лорана отсутствует член вида с,х „то гевал — = О, 1 = ге!в!п — = О. и -! 2! ° 2! о * о 1 1 „! 19. Вычислить 1 = —, / х"еа !(х, и Е Е, Г„= (7„, 7, ), У = (в Е С: ~х! = г). 2т!' / г.
м Поскольку ! 2 х"е* = '-Е, й'х" ~2 1 = гевх"е = (и 4 1)!' и) )-1, если если и < -1. и 2 20. Вычислить 1 = / 1 ду (о > 1). / а+ сову о м Произведем в интеграле замену переменной ево = х. Тогда лх 1 2х 2 ! лх ау=в 1= /' Г = ( Г, 7~,), 7 = (х Е С ! (х! = 1). ы о+оову хз+2ех.1-!' ! / хо+ 2ех+ ! г уравнение х' + 2ох + 1 = О имеет корни хв, ! — — -о ж вгау — 1, причем лишь точка х! — — -о 4 зуав — 1 охватывается окружностью 7 (т.к. ~ъ~о~ — 1 — о! = ~ — — 4 -~ < 1). По формуле (1), «+Уа! ! п. 1.3, имама 2 = 4ог , хв+2ах+1 2х+2а) вГау — 1 ! то при и = й — 1, й б а,а, т.е.
при и > -1 гевх"е = — ', „а прн и < — 1 гевх"ет = О. о а Следовательно, 255 б 1. Определение вычета. Осиовиаа теорема 21. Вычислить 1 = / (а>Ь>0). (а+ Ь сов у)2 Ь и Воспользуемся решением предыдущего примера. Для этого представим интеграл 1 в виде 2 2 г 24 2 у ( ~у Ь ( стуку 1(( ду 4 ( ду 1=— .-( а / (а+Ьсоьу]2 а 1 а +Ьсоьу а / (а+Ьсоьу)» а ~/ а+ьсоьу ТЬ/ а+Ьсоьу о о о о о Согласно решению примера 20 имеем г 2 »(у 1»(у 1 2л 2л 2 1 4 усову Ь / г ' ч/аг:Ьг ь ~/ ь» — 1 / ач-Ьсоьу Ь / ь о 41 (»(у»1 ( 2а ') 2»гЬ 4(Ь / а+Ьсоьу 4(Ь ( г/аг — Ьг/ ( 2 Ьг— о 1( 2л 2лЬ 2»г , г г „ 2»га , (аг — Ь +Ь) = а '», ь аг — Ь (аг Ьг)2 / а(аг Ьг)2 (а» Ьг)г 2 Ау 22.
Вычислить 1 = ( ,/ (а+Ьсоь'у)' а < Аналогично предыдущему, представим 1 в виде 2 2 1 г 1 ( 4(у Ь ( сов»у»(у 1 ( 4(у Ь 4( / 4(у 1=— 2 2 а / а+Ьсоь'у а / (а+Ьсоь'у)2 а / а+ Ьсоьг у а»(Ь / а+ Ьсоь у о о о е 2 2« -ь Ь— а ~/ а+ьсоь'у 4(ь / а+ьсоь'у о о Полагая 2у = 1, получим: Ь Ь гле А = а+ —, В = —. 2' 2 Ау 1 . Ау 1 ( »В ач-Ьсоьгу / А+Всоь2у 2/' А+Всеь(' 4 2,/ А+В соь( »/Аг — В~ г ьзг ы г/аз + аЬ ь г/ — ° Поскольку А ( Ду Д ( 2л '~ аЬ Ь— ,=ь ( ИЬ„/ а+Ьегн»У аь г»/Р+аь/ ( г+ е о о а Принимая во внимание решение предыдущего примера, а так:ке то обстоятельство, что при изменении ( от 0 до 4л замкнутый контур, охватывающий полюсы подынтегральнбй функции, обходится два раза, получим 25б Гл.
7. Вмчетм и их применения 1 2а )гаЬ ~ )г )г(2а + Ь) 1=— 2 (2(а + аЬ) — аЬ) = и а + а (аз+ аЬ)2/ а(аз+ аЬ)2 1 1 2 2 а)(, +Ь)2 2 23. Вычислить 1= / е '~сов(п)2 — япу))((З) (и Е У). о м Воспользуемся формулами Эйлера для преобразования подынтегральной функции. Имеем 2 2 Произведя в интеграле замену е*~ = С получим: 1= — / (Г" 'ер+Г " 'е')г(Г, Г=(7,7„), 7=(ГЕС:!1!= !). 22 / !' Согласно формуле (1), и.1.3, находим: 1=0, если п < О, 1 = л гез (Г" 'е Г +1 " 'е)) = л ( — ', + — ', ) = — ',",, если и > О. м о 24. Вычислить 1= / гб(л+ )о)г(е. о м Преобразуем подынтегральную функцию с помошью формул Эйлера: е(+! ) -(*+ ) ! *2* 2 гя(л + )о) = 2(еч*ы")+е '("('")) 2 е' +е' Полагая еР ы = С после замены переменной в интеграле получим: 1 ! à — е' 1= — -/ 2 (2(р Г=(727рр)р 7=(1ЕС(!1!=1) г Если а > О, то окружность Г охватывает Лишь точку Г = 0 — простой' полюс подынтегральной функции.
В этом случае имеем 1 — ег 1 — ег" 1 = -л) гез = -л) Шп — = )п'. о 2(1+ ег") 2 - о!+ е™ Если а < О, то кроме полюса 1 = 0 кривая 7 охватывает и полюс Г = — е' подынтегральной функции. В этом случае 1 — е à — е 2 2 гез, = !пп .2- 2(г + е' ) (- ,2. г — е)" 2 — е)" 1=-)п гез + гез ) =-л)(-1+2) =-л!. '), о !(Г+е) ) -р)«1(Ф+ег )) Оба рассмотренных случая объединяются в один: 1 = лр звп а. При а = 0 данный интеграл рассматриваем в смысле главного значения: ° 2 2- .р)О,Ь= сь( ) ° ьр, ) О р~)-!ок(! *! „Ь, *)' р") = и +о,/ ,-+о ) о о 2 = и (-ьр.;и-р-)-ы-!)) = р (ь(=.*) -ь(-И) к,(-и-ы-)=р ° оо +о), ) япе г 257 й 2. Целые и мероморфиые функции 52. Целые и мероморфные функции 2Л.
Целые функции. Определение. Функция У, аналитическая ва всей плоскости С, называется целой. Из опрелеления следует, что целая функция не имеет конечных особых точек. Точка» = оо является изолированной особой точкой целой функции. Если» = оо — устранимая особая точка, то по теореме Лиувилля целая функция является постоянной.
Пусть» = со — полюс целой функции 7". Тогда ее разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечности имеет вид ((»)=с„»" +...ч-с~»+с+~~ с „» "=Р,(»)+~~ с „» ". Функция У вЂ” Р„удовлетворяет условиям теоремы Лиувилля, так как !цп (Т(») — Р„(»)) = О. Отсюда имеем У(») — Р„(») = О, или Г(») = Р„(»). Итак если функция У целая и имеет на бесконечности полюс, то она является многочленом, т.е. целой рациональной функцией.
Целые функции с существенной особенностью на бесконечности называются целыми трансцендентными функциями. Примерами таких функций являются» ь е', » ~ соз», » ~ цп». 2.2. Мероморфные функции. Теорема Миттаг-Леффлера. Определение. Функция г, аналитическая в С, за исключением лишь полюсов, называвшая м в- ромарфнай. Из определения сяедует, что у мероморфной функции / в плоскости С нет никаких иных особенностей, кроме полюсов. Целые функции образуют подкласс класса мероморфных функций. Поскольку кюклый полюс является изолированной особой точкой, то мероморфная функция У не может иметь в С более чем счетное множес~во полюсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
