Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Действительно, в каждом круге Кя = (» б С: !»! ( Л), Л = сопи, полюсов может быть лишь конечное число, в противном случае существовала бы их конечная предельная точка, которая была бы неизолированной особой точкой, а не гюлюсом. Таким образом, все полюсы мероморфной функции можно пересчитать, например, в порядке возрастания их абсолкпных величин. Рассмотрим два случая. Пусть функция У имеет: 1) конечное множество полюсов; 2) бесконечное (счетное) множество полюсов, В случае 1) бесконечность является изолированной особой точкой.
Пусть (Ь,; у = 1, гп)— множество полюсов функции У, )3, — порядок полюса Ь,, со1 со' с „, д(»)= + +...+ — (» — Ьу)з ' " (» — Ьу)пг ' — главная часть лорановского разложения функции У в окрестности полюса Ь;. Рассмотрим функцию » ~-~ )з(») = 1(») — ~г д.(»), ры которая является целой, поскольку ее устранимые точки Ь; можно считать устраненными.
Так как Шп ,'г д(»)=О, то функции У и )р прн подходе к бесконечности ведут себя одинаково. Гл. 7. Вычеты и их применения 258 Пусть 1 (а значит и гр) имеет на бесконечности устранимую особую точку нли полюс. Тогда Р!(х) р(х) = ~~! аьх , Т(з) = 7 аьг + 7 д.(х) = — , Р (г)' ь=ь ь=ь г=! где Р, и Р, — некоторые многочлены. Доказано следующие утверждение. Теорема 1.
Если мероморфная функция 1 имеет на бесконечности устранимую особую точку или полюс, то она является рациональной функцией. Если же у мероморфной функции Г бесконечность является существенно особой точкой, то такую функцию можно представить в виде У(з) = Эг( ) + ~' дз(х) (1) г=! где р — некоторая целая функция, отличная от полннома. Рассмотрим теперь случай 2), когда мероморфная функция 1 имеет бесконечное множество полюсов. Такими функциями, например, являются х ! гдх, х ! сгдх. Покюкем, что и в этом случае для функции 1 можно получить формулу, аналогичную (1). Определение. Рядмероморфныгфункций 2,д„называется сходящимся (равномерно сходя щ имея) на множестве М С С, если лишь конечное число членов этого ряда имеют полюсы на М и после устранения этих членов ряд сходится (равномерно сходится) на М.
Теорема 2 (Митта г-Леффлера). 1(окой бы ни была последовательность точек (Ь,), 1пп Ь, = оо, (Ь!'1 ( (1Ьз! <... и последовательность функций (д,) вида р! о! с „ ~Л-~ г(г — Ь,)" =! существует мероморфная функция 1, имеюшяя полюсы в точках Ь, с главными частями в них, рав- ными д,(х). ц Не ограничивая общности считаем, что Ь, ф О. Функция д, является аналитической в кр)те К = (з б С: (4 < ~Ь, Ц н, слеловательно, может быть представлена в нем степенным рядом д(з)ш~ *, з .
" д!щ(о), (2) ь=о Фиксируем д б)к, где б < д < 1. Круг К, = (х б С: (х( < д(Ь,1) компактно принаапежиткругу К, в силу чего ряд (2) сходится в нем абсолютно и равномерно. Поэтому существует такое и, б )ь(, "* д,"'(о), д,(г) — ~~! ' х < — !Уг б К,. ь=о Обозначим !ю(б) Ь Тогда 1 1д (л) — Р.(л)~ < —.
!Гз б Кгэ Рассмотрим рял 2 (д, — Р,'1. Он равномерно сходится на любом компакте К С С в смысле данного выше определения. Действительно, УК С С ЗЖ б (ч) ". Уп >м )У К С Кй т (х Е С: )я! < д)Ь„Ц. РассмогРим Рад 2 (дг — Р,:), 1 >м )У. Его члены ЯвлЯютсЯ аналитическими фУикциами на К н мажорируются геометрической прогрессией 2 -', г > йг. Следовательно, его сумма 3и(х)— аналитическая функция в круге К.
259 б 2. Целме и мероморфиые функции Пусть функция у определена равенством н-! У(л) = ~~~,(ду — Р,) + ун(л). Функция у аналитическая в круге К, за исключением полюсов Ь; (з = 1, )У вЂ” 1) и имеет в Ьу ~лавные части д,(х). Поскольку К вЂ” произвольный компакт, то функция У мероморфная, имеет в С заданные полюсы Ь; с главными частями д;. м Следствие.
Любую мероморфную функцию у можно лредставить суммой ряда У(л) = Ь(л)+ .'Е;(д-(л) — Р-(х)), т равномерно сходящегося на каждом камнакте, где Ь вЂ” целая функция, д„— главные части лоранавгких разложений у' в окрестности Ь„(полюсы Ь„занумерованы в порядке возрастания их абсолютных величин, Ь| ф О), Є— некоторые миогочлены. М По теореме Митгаг-Леффлера строим функцию уо, где уе(л) = ~~> (д„(л) — Р„(г)).
Она имеет те же полюсы и те же главные части в них, что и г". Следовательно, У вЂ” Уе = 6— целая функция. М Замечмеве. Если функиия У имеет полюс в точке г = О с главной частью до, то в наших рассуждениях везде / заменим на г — де. Иногда термин "мероморфная функция" используется в более общем понимании. Именно, функцию У называют меранорфиой а области, если г не имеет в ней кроме полюсов других особенностей. Такая функция также не может иметь более чем счетное множество полюсов.
Если зто множество беаконечное, то предельные точки множества полюсов принадлежат границе области. 2.3. Разложение мероморфиык функций иа простейшие дроби. Пусть ( у(() — любая меромарфная функция, у — замкнутая жорданова кривая, окружающая начало координат и не проходящая через полюсы функции У.
Пусть (Ь„; й = 1, и)— множество полюсов функции у, принадлежащее внутренности т, Чй = 1, и Ьь ф О, дь — главные части лорановских разложений функции г в окрестности полюса Ь„. Если ( = Π— полюс функции /, то главную часть лорановского разложения в его окрестности обозначим до (если ( = О не является полюсам, то считаем де гя О). Пусть л — любая фиксированная точка, принадлежащая внутренности Г.
Рассмотрим функцию 2.дь(() ь=о Она рациональная в С, имеет на бесконечности по меньшей мере нуль второго порядка и, слеловательно, ее вычет на бесконечности равен нулю. Воспользуемся теоремой Коши дпя неодносвязной области, а также определением вычета на бесконечности. Получим Еде(0 Еде(О 2 д.(0 ь о 1 ь о ь=е д(= —, д(= — гез =О .(l ~ — -1 г г 260 Гл. 7. Вычеты и их применения (здесь Г„= (7„, та ), 7„= (Ь 6 С: 1(1 = Я) — окРУжносаь, охватывающаа 7).
Отсюда слелУет равенство У(0 — д рь(0 2ла' У Г вЂ” з 2лаУ Г вЂ” з г г Функция У вЂ”,> дь аналитическая в области, ограниченной кривой у (устранимые особено=о ности этой функции считаем устраненными). Согласно теореме Коши У(0- Ер (0 — д( = У(а) — ~ ра(з). 2ага у ( — г ь=о В результате получим равенство У(з)=~ рь(з)+ —. У вЂ” дГ 1 У У(0 2.;/ 0-я о=о Допустим, что существует послеловательность (7 ) замкнутых жордановых кривых„окружающих начало коорлинат и не проходящих через гюлюсы функции У, с такими свойствами: 1) Ущ Е (а) 7 приналлежит внутренности у +„' 2) г -! со при гп оо, где г — расстояние от начзла координат до кривой 7 Из этого, в частности, следует, что агЛ > 0 существует такое апо Е (а(, что круг Кл — — (( Е С; Ц < )а) ощ > апо(Я) принадлежит внутренности у 3) Нщ / — =О, Г =('у 7 ),!4<В.
УУ(0 Г (2) ---./ Г- г„, Запишем формулу (1) лля Г . Обозначим через и число полюсов, охватываемых кривой -! Получим: У(з) = ~~а дь(з) 4 — а(0 ап > апо(Л). 1 УУ(0 2лаУ Г вЂ” з ь=! (3) Перейдем в (3) к пределу при щ оо. Принимая во внимание формулу (2), имеем У(х) = !пп ~~а дь(з). (4) ь=! Таким образом, функция У в круге Кл представлена в виде предела последовательности сумм главных частей ее лорановских разлоакений относительно полкков, принадлежащих внутренности 7т ° Укажем достаточные условия справедливости формулы (2). Из оценки —.
~ — < / ~У(01!дь! У У(0йь 2ла / à — з 2аг(г — Я) г следует, что для выполнения соотношения (2) достаточно„чтобы йщ / !У(0~ Щ = М, М < оо. (5) Покажем, что разложение функции У можно получить и при более слабых ограничениях, чем (2). и 2. Целме и мероморфные функции Пусть существует такое целое неотрицательное число р, что 2б) (б) Достаточным условием соотношения (б) является следующее: — )' .у(() 1пп — у —, Щ < оо. (7) При !2! < )(! имеем 1 1 :=-':=Х: — '+ ). — '=Е (- ( 1-а ("" < =о =у+! =а Подставим полученное разложение — '„в (3): у 1 Л ) = , 'д.( ) + „ '" ,†., У »=а =а р+ ! у <+! ("Ы ГР»2 (1 ' (аа> бг+)(б 2) =о Ы>„„"" )' Х(()А( (" а! 2>г! / (»)(( х) г„, Принимая во внимание равенства )'.ук) и) ""' <.> »=а »=о имеем ,"' г у(() =К" 'ЕЕ""' — ', у »=а »=о»=о У(0 У(у) = ~~! (д), (г) + Р), (2)) + — ! 2к! / ба»)(б — х) А(, »=о (8) где Р»(2) = ,'>" =о Переходя в А<»" >а" — многочлен степени не выше р.
(8) к пределу при гп — ! со и принимая во внимание (б), имеем 1(2) = йш ~~' (д»(2) + р»(2)), ~2! < )2. (9) 2*+11 ьн2 +!)! ->у+1~ ~ 1 — 2у е2м 1 еьи2 .<-!) е — 2у 1 1 .) е-2у 2) а = х ж ! (го + 1<) а, 2' а<2 +!) + 1 !оглу! = ез! ее<2 +0 у<2 +!) + 1 1+ < (ее<2 +'> — Ц 1 — е< Равенство (4) (или (9)) и является искомым разложением мероморфной функции на простые дроби.
Пример. Найти разложение функции а ! с)82 на пРостые ДРоби. Имеем Ь» = йя (й Е Е), д» вЂ” — — '„. Пусть 7 — границы квадратов с центрами в начале координат и сторонами длиной (2т+ 1)>г, параллельными координатным осям. Оценим с)82 на сторонах квадрата; 1) параллельных мнимой оси; 2) параллельных действительной оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
