Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Согласно теореме б, и.1.3, гл. 5, бесконечное произведение П(1+ /„) сходится равномерно в области С тогда и только тогда, когда гюследовательность (Р„) его частичных произведений равномерно фунламентальная в С Теорема (достаточные условия равномерной сходимости бесконечного произведения). Кля равномерной сходиткти бесконечного нроизведения П(1+ /„) достаточно существования такой числовой носледовательности (а„), чтобы винолнллись условия: 1) чп б М !!/„!! < а„ 2) бесконечное произведение П(1+ а„) сходится. и поскольку бесконечное произведение П(1+ а„) сходится„то последовательность (Р„) его частичных произведений Р„= П(1 л- ак) фундаментальная: ь=! ч оь,ьн:!! - .,рьь! р„-к=П!'+"( П!'+"!» ь=! ь= +! Оценим '! ! ! .ьр Пе+ь -П!»!!!,= П!.!( П !»- ) ь=! ь=! ! ь=! ь= +! лля и > и, и всех р б )ч(.
Из свойств равномерной нормы имеем +р П(1+/.)~ П(1+/.)-1) < П(1+/.) П(1-/)-1 < ь=! ь=»+! ь=! ь= !-! +р -П» »(П» !!-» ь=! ь= ю Обозначим Р„= П(1+ /ь). Принимая во внимание условие 1), получаем ч(п > п„р б Н) ! ь=! +р »-.-к(-П "(П "-» * ь=! ь= +! т. е, последовательность (Р„) равномерно фундаментальная и бесконечное произведение П( +/-) сходится равномерно в области С.
> З.З. Представление целой функции в виде бесконечного произведения. Пуси зааана некоторая последовательность (а„), модули членов которой образуют неубываюшую последовательность, причем йш а„= оо, а ы 0 и среди чисел а„может быль конечное множество равных лруг другу: 268 Гл. 7. Вычеты и их применения Рассмотрим бесконечное произведение Р, где где числа р„б Хо такие, что ряд (2) абсолютно и РавномеРно сходитсЯ в любом кРУге Кн —— (г Е С: 1г! < Р) (в качестве Р„мозхно взять, например, р„= и — 1).
Покажем, что бесконечное произведение (1) равномерно сходится на любом компакте К С С. Введем в рассмотрение функцию д„, где д„(г) = 1 — — ехр — + — — + ... +— Имеем При ~ — ') < д < 1 получаем оценку р ы 11пд„(г)! < а„1 — д ДлЯ любого компакта К С С найдетсЯ такой номеР ию что 1(и > ис К С К, = (г Е С )г( < д(а„0. Следовательно, ряд !пд„(г) (и > ие) мажорируется на компакге К равномерно сходяшимся рядом (2), и поэтому его сумма является аналитической функцией д„,.
Отсюда следует сходимость бесконечного произведения П д„(г) = 7„,(г) = е~"' ', (4) где 7„, — аналитическая функция на компакте К, отличная от нуля. Бесконечное произвеч — ~ денис (1) отличается от у„ч(г) множителем П д„(г), который обрашается в нуль в точках ы а„а„..., а„,, и только в этих точках. Поскольку К вЂ” произвольный компакт, то г Р(г)— целая функция с нулями (а„; и Е Щ, а„м' О, причем кратность нуля функции Р в точке аь такая же, как и количество членов последовательности (а„), равных числу аь.
Бесконечное произведение (1) называется бесконечным произведением Вейерштрассо. Очевидно, функция г ь (о(г) = г"Р(г) является целой, имеюшей в точке аа = О нуль кратности Л и последовательность нулей (а„), а„н О, Вш а„= оо. Теперь лепсо доказать теорему Вейерштрасса о предсгавлении целой функции в аиде бесконечного произведения. 249 $3. Бесконечные произведеяия Теорема(Вейерштрасса), Любую целуюфунггцию у, имеющуюбесконечнаемнолсество нулей, причем х = Π— нуль порядка Л и (а„) — последовательность остальных нулей, .!нп а» = сю, можно представить бесконечным произведением, соответствующни ее нулям: где 6 — некоторая целая функция, а числа р„выбраны так, чтобы сходилсн ряд Я. щ Поскольку функция х )з(х) = ххР(х) является целой и ее нули совпадают с нулями функции У, то функция г- также является целой (ее устранимые особые точки считаем устраненными) и не имеет нулей в плоскости С.
По теореме монодромин (см. теорему 2, и. 1.3, гл.б), функция х й(з) = (п г-'=,~ также является целой и, следовательно, т ! у(х) = е о~<р(х) = х е ~*~Р(х). й 3.4. Разложение вш х в бесконечное произведение. В качестве примера получим разложение целой функции х ь ппх в бесконечное произведение. Она имеет простой нуль в точке х = О, а также простые нули в точках а„= пл 2 (и = Н, л2, ... ).
Поскольку ряд ~ (-') сходится на любом компакте, то в бесконечном право изведении (1), и. 3.3, можно взять ч'и Р„= 1. Таким образом, согласно формуле (5), имеем з!пх = хе' * пк/ ! где Д вЂ” некоторая целая функция. Символ Д обозначает отсутствие множителя, отвечаюшего значению и = О. Пусть К С С вЂ” произвольный компакт, не содержаший нулей синуса. Для х Е К получаем: х Л х 1пз!пх = 6(х)-Ь 1пх+ ~~~ (!п (1-Ь вЂ” ) + — ~, пв пк~ — 1пь!пх = сгдх = д (х) + — + + — ).
х [ х — пи пк) Сравнивая полученное равенство с разложением сгях на простые дроби (формула (11), п.2.3.), имеем й(х) = сопи. Таким образом, тт' l ппх=Сх ~~ (1 — — ~е пк Из предельного соотношения 1пп "— ",* = 1 находим: С = 1. Искомое разложение а!их в бескоь нечное произведение окончательно принимает вид -= П(--„,) = П(-„...) »»! В связи с абсолютной сходимостью ряла 2" (1 — — „*„) " появилась возможность объединить множители с иилексами -и и и. 270 Гл.
7. Вычеты и их применения 3.5. Род и порядои целой фувицяя. Пусть последовательность (а„) нулей целой функции 7', а„вь О, 1пп а„ю сю такая, что ряд (2), и. 3.3, сходится при р„ю р, где р — некоторое неотрицательное целое число, причем оно наименьшее из всех неотрицательных целых чисел, при которых ряд сходится. Тогда это число р называется родом бесконечного произведении =и(--:) -(-: -,'® ° -'®) (формула (1), и. З.З, при р„= р). При этом формула (5), и. 3.3, принимает вид - "'п(--:)-( ~(Я ° -'(,")) ю В случае, когда 6 — полипом степени рп говорят, что функция 7 является функцией конечного рода, и этот род равен глах(р, рД.
В случае отсутствия нулей а„род функции 7 равен р„т. е. степени полинома )у. Например, яп г является целой функцией первого рода (р = 1, ру —— 0). В других случаях, когда л — целая трансцендентная функция или ряд '7 —,+т не сходится ни при каком неотрицательном р, функция 3 называется целой функцией бесконечного рода.
Пусть М(г) = глах17(г)1. Если З(г) ю сопзц то по теореме Лиувилля 1"и М(г) = озг Для 1*1= целых функций конечного рода некоторое представление о характере стремления к бесконечности содержится в следующей теореме, выходящей за рамки книги. Теорема 1 (Пуанкаре).
Если 7' — целая функция рода р и Π— произвольное полозкительное число, то дгл всех достаточно большак г выполняется оценка М(г) < е (2) В случае, когда число нулей функции 7' конечное, оценка (2) очевидна. Число — 1и 1и М(г) дю Илу (3) 1пг называется порядком целой функции. Из определения верхнего предела следует, что если о конечное, то )уг > 0 Згс > 0 такое, что )уг > гс справедлива оценка М(г) < е' *.
(4) Связь между родом и порядком целой функции 7 устанавливает следующая теорема. Теорема 2. Если род р целой урункции З' конечен, то конечен и ее порядок а, и наоборот, причем р<а<р+1. (5) ч Спранедливость первой части утверждения и неравенства" о < р ф 1 непосредственно следует из определения порядка целой функции и из неравенства (2) при о = ! . уь 3.6. Мероморфяяя функция иаи отношение двух целых функций. пусть Р— мероморфная функция, а функция л ье 97(г) = гг Р(г) — целая, представленная бесконечным произведением, нули которой и их кратность совпадают с полюсами и, соответственно, их порядками функции Р (Л вЂ” порядок полюса Р в точке г = 0; если гь — — 0 — точка аналитичности функции Р, то полагаем Л = 0).
Функция 97 = Руу является целой, поскольку полюсы функции Р устраняются нулями фун«- пи и 97. Поэтому- 7 Пслнсс лькюьессьсссс этой теоремы, е эеккс тссремы Пуанкаре эеннэсрсссненный чнэетсль нсйлес в «нню Виммье А. В., "ОСНоВы сесины СЧСННЭМЧесЮсс фупюшв КСЫПНесююсс псуемсннсуе", М.. "исусе", 7972. $3. Бесконечные произведения 271 П из — 1 б) из+1 3 1 31. доказать равенства: а) П 1 1+ =2 и(и -ь 2) / => =2 и а) Поскольку Р„= 1+ -=П,' 1 ) у-"у (й + 1)' й(й + 2)) дд й(й + 2) ((и + 1)!) . 2 2(и + 1) и!(и+2)! и+ 2 то 1 П2<> ° = з ».=2 и(и+ 2)/ б) Имеем -=П вЂ” =П йЗ-1 - (й-Ц<й'+й+Ц 2< — Ц гу а»Ей+1 2 Нза +1 азе< П <а+ ц<йз — а+ ц < + ц! П <й — Из+<а — це< и<и+ ц 3 2=2 2=2 Ь=з з П ° и — 1 2 — — !нп Р„= —.
и из -~-1 „" 3 =2 зз.и „, „,П(~ -) 22 > М Согласно теореме 1, и. 3.1, указанные бесконечные произведения сходятся или расходятся вместе с рядами 1' / »."'<"-)--2. <"-) "2. — " »." "- =-2."<'"- и( 2 из) и и 2 из) Поскольку рял ~"("-.) сходится (1п(1+ -)т) — ',), а ряд Е 1 акгб— и расходится (ак<б — — „), то первое бесконечное произведение расходится, а второе — сходит» з ся. В 33.
Найти области сходимости бесконечных произведений "П("'-.): "П("-*.): '>П('"!)* И а) Поскольку йго (з) Ф О, если )»! ) З„то для этих значений» бесконечное про> наведение расходится. Если (») < 3, то указанное бесконечное произведение сходится абсолютно, так как ряд ~ 12) — сходится. При этом схолимость равномерная в любом круге К = (» б С: 1»( < т < 3). Следовательно, данное бесконечное произведение определяет в круге К„аналитическую функцию Р. б) Бесконечное произведение сходится в С и является целой функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
