Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 70
Текст из файла (страница 70)
и Е Хь иг + а м Очевидно, (Н- ! 1(". из+ а 2а 2 ~ и'+ аг 2аг 2 ~ д-» (2и)г е а!»'. » (2и Пг+ =а ! г ( с<аз» с<а з' с<а гг» с<д໠— — гез + гез + гез гез 2аг 2 1, 4»'+ а', ° 4»ге а' (+< (2» Пг+ аг, „(2 Пг г г г г 2а' 2 ~ 4>а 4>а 4>а -4>а 1 к >га я гка 1 я (га л ка 1 >г Г за ко~ = — е — с<й — + — (а — = — + — с!)> — — — !)> — = — + — !хс!)> — — !» — ) = 2а' 4а 2 >4а 2 2аг 4а 2 4а 2 2а' 4а х 2 2 ) 1 (г (с)> —," — з(> —; ) 1 зг 1 ! (' (га 2а' 4а '< з(> — с)> —, / 2аг 4а з)> —; с)< —; 2аг 'х з(< ха l б.
Доказать, что; б) гез -т; = е г ( г) ! <з > гез — ', (<ч > ( ->в(г зп!' — ! газа„г =е ~ (ЙЕХ); в) Упражнения для самостоятельной работы 1. Найти вычеты следующих функций в особых точках: ,г» а) у(») = —,*,„. (и б ГЧ); б) У(») =,—,*,,„(об 1М); в) у(») =-соз» вЂ” яп»; г) г'(») = »"е' (и Е (М); д) у(») = —; с) г(») = е <и —,' 2.
Найти вычеты в конечных особых точках следующих функций: а) у"(») = — '-'"— — ~,' б) 1(») = --,— '.; — г. <*+ >(=-г',) ". г* 3. найти гез —,' (! +,<, е ... +,, <и„) (и е 1>1. 4. Найти вычет функции 1'(») = !',т.- (Л = 1). 5. Пусть 7 и д — аналитические в точке» = а функции, причем /(а) И' О, а д(») имеет в точке» = а нуль второго порядка. Доказать, что: г( > ь ' » "( -г ( > "'(« гез <.> — з "< > Если >ке точка» = а — простой нуль фуню<ии д и У(а) Ф О, то г(и> г'((>я'(а>-т( >з (зг гез «.*, = , > 292 Гл.
7. Вмчеты и их применения 7. Пусть функция у" имеет в бесконечно удаленной точке пояюс порядка Ур. Доказать, что гезу(з) = (р„='~х !!ш (раь+'у' 'рп(з)). 8. Вычислить интегралы: ,2 а) ); ', 4з, Г = (7, 7рр), 7 = (л Е С: ~з — Д = 3); г б) 3 а зш — лз, Г=(7~7рр)) 7=(зЕС-~з~=!) г в) ) (яп -'т + е* соз з) 4з, Г = (у, у,р), у = !го Е С: (л( = —' ,) . г 9. Доказать равенства: а)),'„,.", =2п+1, Гп=(ул,7'р),7п -— ( ЕС:~ ~=Я), п<2!<и+1, тбИ, пЕЫ; 'и б) ) ~' = — ', Г„= (7„Г; ), 7„= (з б С: )з~ = г), г > '- и при бояьших (а~ г ьр р-8 '3 10.
Вычислить интегралы от всех ветвей подынтеграчьных многозначных функции. а) ) „,,;,, Г=(у,.у„), у= )з Е С: ~з — 1~ = —,'); г б) ) т7! 4 ар ба, Г = ( у, у„), -у = (а Е С: ~з( = 2); г в) ) р„',~*м, Г=(у, ур), у=)зЕС./з — 2(=-,'). г 11. Вычислить интегралы от данных олнозначных ветвей многозначных функций: а) ) „, ',, (Еп з(,-, = 1 — яо), Г = (у, у„), у = )з Е С: ~з+ 2! = -,у; г б) ) ~~ —,~ ~- — (~л !! -о (), Г=(7,7р), 7= !осС:(з~= !). г 12. Доказать, что ) —,— ~ту — = — ~7к (а > 0). о 13. С помошью теоремы Мин аг-Леффлера найти обший внд мероморфной функции 3 „имеющей полюсы второго порядка в точках Ь„= и с главными частями в них д„(з) = -,--"--р.
14. Доказать равенство: ю 15. Доказать равенства 16. Найти области сходимостн бесконечных произведений: l 17, Доказать, что функция у, где у(л) = П ( (1 — -"„) ехр (-'+ -' (-„') )) является целой. еш Найти нули этой функции и их кратность. 18. Получить теорему Вейерштрасса (п. 3.3) из теоремы Миттаг-Леффлера (п. 2.2). 293 Упражнения лдя самостоятельной работы 19. Доказать равенства: ' П (1+ —,.*,'.,); б) а)тгод"-т-*, = П (1 — Ы) ' ю ( а) с)г х — соз х в) йе=хП 20. Доказать равенства; — ч и (~ + а) = *" ~,.-~ а) П(1 21.
Доказать равенства: г г Д) ) .-,',*,.:,: = -,г(о —,т=Ь-), 0<0<о. о 22. Вычггслигь интеграл: 3 = ( е '"'* о(п(а з)п х) з(п пх о(х (и Е (г0. о 23. Доказать равенства: а о 25. Доказать равенства: о) ~;-*--рох = с" ',—,„'„,, с ) О, -1 < о < 3 и неравно целому числу; )3) 1 ', г(х = — ~.', о о о 26. Интегрируя функцию х оч,г (х) =;-'--г по Я=(ась:0<)х)< границе кругового сектора й, О < ага а < — ', г3, доказать равенства о 27.
Интегрируя функцию х г-~ 3(х) = Д-от по Я= (хбС:г<(з(< а границе кругового сектора 12, О < ага х < —, 3, доказать, что: Г г * — г б) Г * га и а2 *о.~- г о о а. 24. Интегрируя функцию з ~ г( ) = —;„, — а < о < гг, по границе прямоугольника с вершинами в точках ( — Л, 0), ()1, О), (Л, г), (-Й, г), доказать равенства: Гл. 7. Вычет!а в вх првмеиеиив 194 28.
Доказать равенства: 1) ~ ! ! — зт — — з(с)8то+сйта), =! Глава 8 Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций Эта глава посвящена изучению некоторых общих топологических свойств аналитических функций. В ней рассмотрены геометрические принципы и общие вопросы теории конформных отображений. Последний параграф посвящен конформным отображениям многоугольников. 5 1. Принцип аргумента.
Теорема Руше у у (г)У'(г) 1.1, Вычисление интеграла — / г(г, 2в г,/ У(г) — А ап Пусть Р Ф С вЂ” область, У вЂ” аналитическая в замыкании В функция, за исключением конечного множества полюсов, лежащих в Р (но не на дВ) и дР— непрерывная положительно ориентированная кривая. Пусть, даосе, А — такое произвольное (конечное) комплексное число, что функция У не имеет А-точек на границе дВ, а р — произвольная аналитическая в замыка- нии В функция. Рассмотрим в области Р функцию г о гт(г) = ЯЯ. Ее возможные особые точки в  — зто А-точки и полюсы функции У.
Пусть (оь1 )о = 1, т) — А точки функции У в Р кратностей соответственно ао ан ..., а а (Ь,1 У = 1, о) — полюсы соответственно порядков до ))и ..., В„. Изучим функцию Р вокрест- ности точки аь. В соответствии с формулой (3), и. 1.8, гл. 5, имеем У(г) — А = (г — аь) о Уо(г) Уо(оо) Ф О. Тогда У'(г) = ао(г — аь) " Уо(г)+ (г — оо) оУо(г), Р(г) = (о(г) „— )о(г) (г — ао) ' '(аьУо(г)+ (г — аь)Уо(г)) аьУо(г) е (г — оо)Уо(г] (г — аь)"г Уо(г) (г — ао)Уо(г) откуда геоР(г) = аь(о(аь). о Аналогично, рассмотрим функцию Р в окрестности точки Ь,: У(г) — А =,, Уо(Ь;) Ф О, Уо(г) Уо(г) Уо(г) 1 „-У)у Уо(г) + Уо(г) (г — Ьз) ( — Ьу)У ( ) 29б Гл.
8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций откуда гезР(л) = -д,р(Ь,). ьз По основной теореме о вычетах имеем Х'(л) д — / зз(л) = ~~~ оьгз(аь) — ~~~ ))зуз(Ь ). во ьщ гщ В дальнейшем каждую А-точку засчитываем столько раз, какова ее кратность. Аналогично, каждый полюс засчитываем столько раз, каков его порядок. При таком соглашении правая часть формулы (1) выражает разность между суммой значений, принимаемых функцией р в А-точках функции Г и суммой значений, принимаемых той же функцией эь в полюсах функции У, лежащих в области В. Рассмотрим частные случаи.
1) При р(з) = л формула (1) принимает вид — / з = ~ а„а„— ~~ь )узбт Г Г'(,) и. зщ (2) В правой части формулы (2) стоит разность между суммой А-точек функции Г и суммой се полюсов, размещенных в Р 2) Прн р(л) = 1 имеем —,/ йз=~~ оь — ~д,. 2ль / у(л) — А ао ьщ зщ (3) В правой части формулы (3) стоит разность между числом А-точек и числом полюсов функции у, помещенных в области В.
1.2. Теорема о логарифмическим вычете. Пусть теперь А = О, т. е. А-точки функции 1 являются ее нулями в области В. Введем в рассмотрение следующие обозначения: 2 аь = )у — число нулей функции Г в ь=! области В, 2,')), = Р— число полюсов этой же функции в В. Тогда зщ Г ~'(.) — — йл = Аг — Р. 2ль У(л) Интеграл, находящийся в левой части этого равенства, называется логарифмическим вычетом функции г относительно дВ, а само равенство выражает смысл следующей теоремы о логарифмическом вычете. Теорема, Пусть Р ье С вЂ” абласгиь с положительна ориентированной границей дВ, и множество тачек границы лвляегися кривой Жардана.
Тогда, если функция Г аналитическая в замыкании Р, за исключением иаликав, размещенных в Р, и )' не Мращается в нуль иа дВ, та логарифмический вычет функции относительно дР равен разности между числам нулей и числам полюсов функции У, размещенных в области Р, 1.3. Принцип аргумента.
Теореме о логарифмическом вычете можно придать геометрический оттенок. Первообразной функции гТ в окрестности любой точки л Е дР, в которой нет ни нуля, ни полюса функции У, является функция л Р(л) = 1п 1(л), где 1п обозначает любую ветвь логарифма, посколысу Р'(л) = Яе). Ф 1. Принцип аргумента. Теорема Руте 297 Пусть дВ = (у, 7~), (а, (у) у — параметрическое представление кривой 7. Тогда пер- на вообразной функции ~- вдоль кривой 7 является функция г ~ Ф(г) = Оз |()з(г)). поскольку ггривая 7 замкнута, то !и (У()зО5))( = !и (у(уг(а))(, Принимая это во внимание и применив форму- лу Ньютона — Лейбница (см. формулу (1), и.
5.2, гл. 4), получим: — дг = Ф()3) — Ф(о) = ((агам()з(~))) — агй1~0р(а))). Х'(з) У(з) вп Введем обозначение Ьоп агй Т = ага Т()з()3)) — ага Т(гр(о)) и запишем равенство (1) в виде 1 / Т'(з) г2вп ага У вЂ” — дз = 2аг / У(з) 2а вп или, принимая во внимание теорему о логарифмическом вычете, в виде ! )У вЂ” Р = — йгоп агд Т. 2я (2) 1.4. Теорема Руша.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
