Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Теорема ) (первая формулировка принципа максимума модуля). Если функция )" аналитическая е абоасти Р и ее модуль 1У1 достигает локального максимума е некоторой тачке го О В, та У и сопи е абоасти В. м применим метод доказательства от противного. пуси, у и' сопя и у(го) = юо пусть, далее,  — Р'. Тогда то б В' и В* является областью.
Следовательно, существует круг К = (ю О С: на ь 1ю — юо! < р) С В*, и в нем, очевидно, найдется такая точка ю,, что )го,| > )мо). Тогда в некоторой окрестности точки зо найдется такая точка яы что У(з~) = гс1 и 1у(гь)! > У(го)1, Это неРавенство пРотивоРечИт томУ, что 1У(го)( ЯвлЯетсЯ локальным максимУмом фУнкцин У. ИсточНИК ПрОтИВОрЕЧИя — В ПрсдПОЛОХСЕНИИ, Чта у Ю Салаг. СЛЕдОВатЕЛЬНО, чг б В у(а) Ш СОПаь. М й 3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции 305 Следствие (вторая формулировка принципа максимума модуля). Если функция У аналитическая в обласчии г) и непрерывна в замыкании 2), то )Я досячигает максимума только на границе дЮ области )). <и Справедливосп утверждения следует из первой формулировки и свойств функций, непрерывных на компакте.
М Утверждение, аналогичное теореме 1, для минимума модуля Щ несправедливо. Пусть, например, ~(г) = г, т)г — — к = (э е с:)г! < 1). Функция у аналитическая и у ш сопи, однако минимум !У(г)~ = 0 лоспчгается во внутренней точке области г)г г = О.
Здесь, видимо, дело состоит в том, что функция У обращается в нуль в области аналитичности. Поэтому справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Если У Е А(г)) и 7с Е г) У(г) ф О, то !У! может достигать в !) локального минимума лишь в том случае, когда у = сопя!. м Для доказательства достаточно применить теорему 1 к функции д = 7, аналитической в г), так как 7г Е )) у(г) ф О. м 3.2. Лемма Шварца. Следующее утвер:едение принадлежит Шварцу. Лемма (Шварца). Пусть функция У аналитическая в круге К = (г Е С: !г! < 1) и удовлетворяет в ием условиям У(0) = О, ! У(х)~ <!.
Тогда 7г Е К выиолняютс» неравенства !У(г)! < ~г1, !У'(0)! < 1. (1) При этом, если выиочняется равенство (Т'(0)! = 1 или равенство ! У(г)~ = ~г! хотя бы е одной точке г ф О, то !Чг Е К )Т(гЯ = ~г!, т. е. функция у будет иметь вид У(г) = е'"., а Е В. <и Рассмотрим функцию с уч(г) = счм. Иэ условия у(0) = 0 следует, что р Е А(К) и р(0) = Т'(0) (устранимую особую точку считаем устраненной). Исследуем функцию (ч в кру- ге К, = (г Е С; ~г~ < р), где р < 1.
По принципу максимума модуля (ф достигает максимума на кривой Тр — — (г Е С; (г! = р). Поскольку Чг Е К ! У(г)! < 1, то Чг Е ур )уч(с)( = 1 — '-'-'- < —. Следовательно, 7г Е Кр !(о(г)! < -'. Зафиксировав точку г Е К и устремив р к единице, получим р ' неравенство !(ч(г)! < 1 шчи )У(г)) < !г!. Очевидно, что в качестве г можно взять любую точку из круга К. Пусть, в частности, г = О.
Тогда бч(0)! = (Тч(0)! < 1. Предположим теперь, что в некоторой точке сь Е К выполняется равенство ))ч(гь)~ = 1 Это означает, что !ш! достигает максимума в точке хь. Следовательно, по теореме 1 (е = сопя! и, так как !)е(г)( = 1, э Е К, тоуч(г)=е' э,аЕВ. м Лемма Шварца имеет простой геометрический смысл. Она утверждает, что при отображении с помощью функции ш = Т(э) любая точка с Е К или приближается к началу координат, или отображение представляет собой вращение вокруг начала координат. Другими словами, образ любой окружности Т„= (г Е С: (г! = г) либо лежит внутри круга К„' = (чо Е С: !ш! < г), либо совпадает с его границей.
Лемма Шварца имеет много обобщений. Выделим простейшее из них. Если точка э = 0 является нулем функции у кратности Л, то, рассмотрев функцию г ь гф, получим неравенства ! учм(о) !У(г)! < !г! Ус Е К и ~ —,— < 1, причем равенства в них возможны лишь в случае, когда у(с) = е* с . *х х Рассмотрим задачи. 8. Доказать, что если Р(*) —, многочлен степени и, то линии уровня его модуля (Р(г) ~ = Л (лемнискаты) могут распасться не более чем на и связных компонент.
<ч Любая связная компонента представляет собой границу некоторой области Р и модуль ана- литической в ней функции Р на ее границе постоянный. Отсюда, согласно принципу максимума модуля, в Тэ найдется хотя бы одна точка я, в которой Р(э) = О. В противном случае Р(г'! ьд сопп в)Э. > 306 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функпнй 9. Если функция ( р( сонм аналитическая в круге Кл — — (х Е С: ]х! < В), то функция М(г) = гвр ]у(з)! строю возрастает на интервале (О, )2). 1* 1= ° м Утверждение является прямым следствием из принципа максимума модуля. Н 10. Доказатгч что если функция у ~ сопя аналитическая в области Г1 = (х е с; ]х! > В), имеет конечный предел при ]з! со, а ]у! — непрерывная функция в 2), то ]у! достигает максимума на окружности тл = (х б С: ]з! = В), а функция М(г) = зцр ]7(х)! сзрого убывает на интервале (В, Есо).
М Фунюшя ( ~-~ )о(() = у (1) аналитическая в круге Кцл = (( б С: ](! < л ) (устранимую особую точку ( = 0 считаем устраненной) и ее модуль непрерывен в замкнутом круге Кыл. Согласно принципу максимума, ]р! достигает максимума на окружности дКыл, а ]у!— на окружности тл. Из задачи 9 следует, что еар ](о(()! строго возрастает на интерваяе (О, -л') . к =о Следовательно, М(г) = зир ]у( )! строго убывает на интервале (Я, +со).
м 11. Пусть Р(г) = з" + а~г" + ... Ч- а„. Доказать, что если Р(х) ~ х", то хотя бы в одной точке окрухочости Т = (х б С: ]х! = Ц выполняется неравенство ]Р(з)! > 1. М Функция з "Р(х) удовлетворяет условиям задачи 10 н, следовательно, ее модуль достигает максимума в )) = (х 0 С: ]х! > 1) на окружности Т = (х Е С: ]з! = 1). Пусть М вЂ”. гпах]х "Р(х)] < 1. Тогда, согласно утверждению задачи 10, либо ]х "Р(х)! г— в 1, м~=! т.е. Р(з) = х", либо ]з "Р(з)! < 1 'оз б Т) = (х Е С: ]з! > 1). Последнее неравенство невозможно.
Н 12. Пусть Р(х) — многочлен степени и, а М(г) = гпах ]Р(х)!. Доказать, что при 0 < г, < г 1 М ° выполняется неравенство М(г~) М(гз) > причем знак равенства хотя бы для одной пары значений г1 и гз возможен только длл многочлена вида Р(х) = ах" М Функция х ° ~,*,' аналитическая в области 2) = (х Е С: ]х! > О) и, таким образом, Рм~ удовлетворяет условиям задачи 10 при любом В > О. м 13. Пусть Р(х) — многочлен степени а, для когорого на отрезке ]-1, 1] справедяива оценка ]Р(х)] < М.
Доказать, что в любой точке х, лежащей вне этого о~резка. выполняешься неравенство ]Р(з)! < М(а+ Ь)", где а и Ь вЂ” полуоси эллипса, с фокусами в точках — 1, 1, проходящего через точку г. м Функция оо ~ (о(ю) = ю "Р ( (ю+ го ')) аналитическая на множестве В = (ю Е С: ]ю! )~ 1).
Поскольку образом окружности Т = (ю Е С: ]ю] = 1) при отображении х = -(го+ю ) является а~резок (-1, 1], то, принимая во внимание условия задачи, получаем, что тю б у ]р(ю)! < М, Согласно решению задачи 1О, последнее неравенство справедливо и при ]ю! > 1: о г(1( ° ')) ел~ г. 12 Пусть хо — любая точка, не принадлежащая отрезку ] — 1, 1] и а, Ь вЂ” полуоси эллипса с фокусами в точках ~1, который проходит через ючку хо.
Его образом при отображении ю = х+ уху — 1 (ю(ос) = оо) является окружность у' = (ю б С: ]и! = а+ Ь). Окончательно имеем ]Р(хо)! = Р -(во+ юо ) < М]юо!" = М(а.(-Ь)". М й3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции 303 14. Пусть функция у — аналитическая в правой полуплоскости б = (е б С ! Вез > О), при Вез = 0 удовлетворяет неравенству !/(е)! < М и обращается в нуль в точках зн зн ..., е„ (Кель > 0; й = 1, и).
Доказать неравенство !л з!)!3 аз! )з 3 ! !У(з)! < М '' " (Коз > О). !а+у,! !е+ зг! ... !з + у„! м Функция з )зь(з) = =':и- устанавливает конформный изоморфизм полуплоскости гчгь 6' = (з б С ! Вез > О) и единичного круга К = (и б С: !и! < 1), т.е. !)зь((у)! = 1 и рь(еь) = О. l Таким образом, функция Р, где Р(з) = ((л) ( ) !! )зь(з)), являегся аналитической в полуплось=! кости С' (ее устранимые особые точки зь (й = 1, и) считаем устраненными) и !Р((у)! < М, следовательно, согласно принципу максимума модуля, !Р(г)! » <М Уе б С, т. е. !У(')! < М П !рь(з)! ь=~ 15.
Пусть функция у аналитическая в круге Кл — — (з б С: !з! < )1) и !3(з)! < М. Доказать, что Уз б Кл — — (з б С: !з! < Я) ((з)-У(О) ~ Мз — ((0)г(з) ~ ВМ М Функция Ь ~ (з(() = Д вЂ” (-' аналитическая в круге К = (( б С: !(! < 1) и !р(()! < 1. Принимая во внимание общий вил автоморфизма единичного круга (формула (5), и. 1.3, гл. 3), устанавливаем, что функция ( Р(( — Р(0 Р(0) ( Р(( =, удовлетворяет условиям леммы Шварца и, таким образом, < К! при !('! < 1.
1 — о(О)у (() Полащя алесь ( = л и принимая во внимание, что )з ( — л) = гмг, получаем требуемое неравенство. М 16. Пусть у б А(К), К = (з б С: !з! < 1) и Чз б К !3(з)! < М. Доказать, что М!У'(О)! < М' - !У(О)!'. м Функция з Р(з) = — ~1нтз~~-~ удовлетворяет условиям леммы шварца, следователььг2 Деки ) но, /Р'(0)! < 1. В равенстве М(У( ) - У(0)) Р( ) ~М -„,Д,,~ перейдем к пределу при г О. Получим: МУ'(О) = Р'(О)(М' — !У(О)!'). Отсюда, принимая во внимание неравенство !Р'(0)! < 1, получим доказываемое неравенство.
и 17. Доказать, что если Я(з) — многочлен степени и и при з = * б (-1, Ц выполняется неравенство !я(г(я)! < М, то Уз б К = (з б С - '!з! < 1) !Г3(з)! < М(1+ Л) м пуси Р(з) = Щз), е — эллипс с полуосями а = ъг2, ь = 1 и фокусами м. тогда (см. задачу 13) чз б Е выполняется неравенспю ! (з)!<М(1+ /3)"".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
