Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Предполагается, что В! 1! В! яг В2 3! 'В2 учч. 91 <ч Не ограничивая общности можем считать, что 7! и гг — отрезки действительной оси, а Р, и Вг — области, лежащие в верхней полуплоскости (рис.9!). Этого всегда можно добиться с помощью дробно-линейного отображения. Пусть Р, — ! В,. По теореме о соответствии / на границ функция / будет непрерывной в замыкании Р! и устанавливает гомеоморфизм Р, на Рг. При этом, в силу условий теоремы, / непрерывна на 7 и принимает на 7 действительные значения.
Согласно принципу симметрии Римана — Шварца функция / аналитически продолжается в Р; по закону /(*) = /(г), а это и означает, что продоюкенная функция конформно отобрюкает В, 13 -/, О Р; на Вг 23 тг и В;. В Рассмотрим задачи. 18. Построить конформное отображение области В, Рчч. 92 представляющей собой внешность единичного круга с разрезами по отрезкам тя = (е Е С~ 1 < (е! < а, агйз = — '"„) (й = О, и — !) (рис.92) на внешность единичного круга. <ч Согласно принципу симметрии, задача сводится к построению конформного отображения области П! = (2 Е С~ 1 < !с! < оо, О < агйг < — '" ) (Рис.
93) на себЯ так, чтобы лУчи Ге = (е Е С: (4 а а, агй 2 = О) и Г! - -(2 с С: 332~ > а, агй2 = 2„) переходили соответственно в лучи Гь — — (3 6 С: !4 > 1, агй 2 = 0) и Г! — — (г Е С: !4 > 1, ага 2 = 2„). Это отображение находим как композицию след)чощих отобрюкений: г в4 3 + т/в3 1 в4 1 — — ( в,=гг, в,= — (в,+в, ) )! гог Вг = — 2!(ау+и-2) Отобра.каюшая функция имеет вид: г / = (аг +а 2) " ~ет+а у+ (~У" +~ т)' — (а~ +а 2) ) Теорема.
Пусть Р! и Рг — две области с жордановмми границами, причем дР! содержит дугу окружности Оы а дВ2 — дугу округкности уг. Пусть, далее, Р", и Рг — области, симметричные В, и Р, отиосшпельно у! и 72 соответственно. Тогда, если функция / конформно отобрагкает В! / на Вг и Ъ вЂ” ! 72, то оиа допускает аналитическое продолжение в Р! и продолженная функция па 318 Гл.
8. Некоторые общие вопросы пюметрической теории аналитических функций в .вз Очевилно, что функция ю, отображает сектор на верхнюю полуплоскость с выброшенным полукругом, шг (функция Жуковского) отображает верхнюю полуплоскость с выброшенным полукрутом на верхнюю полуплоскость, причем точки А, и Аг переходят в точки ж -' (а г + а г ), Функцил пгг отобРажает веРхнюю полУплоскость на веРхнюю полУплоскость, а точки ж-г'(а г + о г ) переходят в точки ж1. Функция аг, (обратное отображение функции Жуковского) отображает верхнюю полуплоскость на верхнюю полуплоскость с выброшенным единичным полукругом. Ф)нкция аг отображает верхнюю полуплоскость с выброшенным единичным полукругом на сектор бг. м 19.
Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность правой ветви гиперболы х' у' . г созга з)п а М Согласно принципу симметрии задача сводится к построению конформного отображения верхней половины заданной области на первый квадрант, при котором луч (-оо, сото) переходит в положительную мнимую полуось. Это отобрюкение находим как композицию следующих отображений: 1 г' ю! з+ ьгг 1 юг (е ягг) егг= ) агг+ ) гег -= ".== — '((-.г" =г))"-'-(-.г"::г)) ") ъ'2 ~, Множитель ' роли не играет, поскольку преобразование ю' = йю при й > О отображает гг верхнюю полуплоскость на себя, м $7.
Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца 7.1. Отобрягкенне верхней нолуцлоскостн на многоугольник. Пусть требуется отобразить верхнюю полуплоскость з-плоскости на внутренность некоторого многоугольника Ы а С, лежащего в плоскости ю (рис.94). По теореме Римана отображающая функция существует и по теореме о соответствии границ, когда границы рассматриваемых $7. Конформное отобраагеиие миогоупиьииков. Интеграл Кристоффеля — ШваРца 319 областей жордановы кривые, устанавливает гомеоморфизм замкнутых областей.
Вершинам многоугольника Ан Аз, ..., А„будут соответствовать точки ам аз, ..., а лействительной оси Ие ограничивая общности, можно считать, что ~% = 1, и аь Е С (в противном случае следует применить такой автоморфизм верхней полуплоскости, чтобы бесконечность переходила не в вершину многоугольника). Рае. 94 Пусть гл = 4(з) — искомая отображающая функция. Отрезок [ан аз[ она переводит в отрезок [А„А [. Следовательно, по принципу симметрии она продолжается в нижнюю полуплоскость через [а„аз[, н это продолжение будет устанавливать отображение нихгней полуплоскостн на многоугольник, симметричный данному относительно прямой, проходящей через точки А~ и Аз.
Аналогично можно построить аналитические продолжения и через другие отрезки [аь, аьч~ [. Таким образом, полная аналитическая функция, определяемая у, не будет иметь особых точек в нижней полуплоскости и во всех точках действительной оси, за исключением, быть может, множества (аь1 л = 1, и). Следовательно, аь (й = 1, и) — возможные особые точки продолженной функции 2 как полной аналитической функции. Величины внутренних углов многоугольника обозначим соответственно через а~х, азх, а„х.
Имеем ~аь=п — 2, О<ах<2. ь=! РассмотРим 2(з) в веРхней полУокРестности точки аь. ФУнкциЯ (ее ветвь фиксиРУетсЯ) 1 ьа з ы(а) = [2'(х) — Аь) "' е переводит полуокрестность точки а„в полуокрестность начала координат, причем граничный отрезок действительной оси также переходит в граничный отрезок действительной оси (см. рис. 95). Следовательно, ы(з) по принпнпу симметрии аналитически продолжается в полную окрестность точки аь, и зто продолжение отображает окрестность точки аь в окрестность начала коорлинат 220 Гл. 3.
Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций взаимно однозначно. Таким образом, а! — аналитическая функция в точке аь и аг'(аь) ~ О. Представим ее в окрестности точки аь рядом Тейлора: ! а!(х) = (е 'рЦ(х) — Аь)) "' = С!(х — аь) + С!(х — аь) + ... = (х — аь)й(х), й(а„) = С! — — а! (аь) т' О, е 'О(Т(х) — Аь) = (х — аь) ь(й(х)) ' = (х — аь)у!(х), где !р(х) — однозначная ветвь функции (й(х)) ь . Далее, У(х) = Аь + (х — аь) ь р!(х), о!(аь) й О, 1(х) =ах(х — аь) ь р!(х)+(х — аь) ао!(х) = (х — аь) !' (а! р (х)+(х — аь)О(х)) = (х — аь) ~ 'Ф(х), Ф(аь) в О, Т (х) = (аь — 1)(х — аь) ! Ф(х)+(х — аь) ! Ф'(х), у" (х) (х — аь) ' ((аь — 1)Ф( ) + (х — аь)Ф (х)) (аь — !)Ф(х) Е (х — а!„.)Ф'(х) ау, — ! Ф'(х) х — аь Ф(х) (х — аь) ! 'Ф(х) (х — аь)Ф( ) у'(х) Из полученного следует, что точка аь является полюсом функции хт с вычетом аь — 1.
р Рассмотрим функцию х ! !Р(х) = ф,1,1 — А,' — "' . Это — целая функция н 1пп !р(х) = О. ь=! Действительно, разлоиение функции 7 в окрестности бесконечности имеет вид и тогда Та(х) О при У (х) тА ьо =! Кроме того, очевидно, что ');-2-- О при х — ! со. ь=! По теореме Лиувнлля !р г— и О.
Таким образом, Уе(х) ч-! аь — 1 й — = — !и у (х), Т'(х) ь-' х — аь йх ь=! !и у'(х) = Г(аь — 1)!п(х — аь)+!пС! — — )пС! П(х — аь)"ь Т(х) = с! / П(~ — аь)"' 'АТ+с!. о Равенство (1) называется 4ормулой христоф4еля — шварца, а интеграл в ее правой части— интегралам Кристо44еля — Шварца. Посмотрим, как изменится вид формулы Кристоффеля — Шварца, если прообраз одной из вершин многоугольника, например, вершины А„, равен бесконечности.
С атой целью строим следующий автоморфизм верхней полуплоскости плоскости х: б 7. Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца 321 Тогда получим: ! и<'. — ) -' вг П(( ) .-' В(+С, = С, / ад (а„- аь — -) — +С! (!) ь=! ! ь=! 1 ! У(г) = У < а„— — у! = У!(г!) = С, г! (в интеграле произведена замена с = а„— — ). После очевидньж несложных преобразований под ! с! знаком интеграла, имеем ,-! г!(г!) = С! / Ц<(!(а„— аь) — !) ь! А(!+ С! = ь=! < !„. — ! — ! — Щ+ Сг — — С' ,/ П(ь! — аь) ' Щ + С!.
(2) а„— аь г ь=! Здесь аь = †, — образы точек аь в плоскости г!. ! В процессе получения формулы (2) множитель исчез в связи с тем, что и — ~~! ах — 2 = О. ь=! Полагая в предпоследнем интеграле формулы (2) нижний предел интегрирования равным нулю, а не —, мы изменяем лишь постоянную С!. Заменив обозначения г! на г н г'!(г!) на г'(г), получим формулу У(г) = С! / Д(С' аь)"' А(' + С! ь=! (3) (Аь~! Аьг!! = / (У (х))дх (й = 1, и — 1), ь олнако на практике осуществить зто удается не всегда. Существуют такке приближенные методы определения постоянных аь и С!.
Интегралы в формулах (1) и (3) называются соответственно иитвграгами Кристо!р4еля— Шварца первого и второго рода. Разница между ними очевидна: в обоих случаях 2,' аь — — и — 2, ь=! хотя в формуле (3) множитель ((' — а„)"" ' под знаком инте!ркта отсутствует. Формулы (1) и (3) получены в предположении, что точки аь известны. Однако в задачах на конформные отображения задают лишь вершины Аь многоугольника, а точки аь остаются неизвестными.
Согласно п.б.! три нз них можно задать произвольно, а остальные аь вместе с С! н С, должны определятся из условий задачи. Это обстоятельство явгиегся главным затруднением при практическом использовании формулы Кристоффеля — Шварца. Существуют различные методы их определения. Постоянная С! определяется заданием размещения одной из вершин многоугольника. Для определения постоянных а„и С, можно иногда воспользоваться известными длинами сторон многоугольника 322 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций 7.2.
Случай многоугольника, имеющего вершины в бесконечности. Пусть вершина А» и-угольника лежит в бесконечной точке (рис,96). Возьмем на лучах А„,А» и А»А»»! произвольно по точке А'„, А», и соединим их отрезком прямой. В результате получим (и+ 1)-угольник. Функция, отображающая верхнюю полуплоскость на этот многоугольник, имеет вид У(х)=С! /(( — а!) ' (( — а») ' (( — а») ' ". (( — а ) " 'А(+Сз, е где а»т и а'„'л — значения углов при вершинах А» и А», а а» и ໠— точки оси Ох, соответствующие этим вершинам. Пусть отрезок А»А",, удаляется в бесконечность, оставаясь параллельным самому себе.
При этом точки а» и а'„сливаются в одну точку а», соответствующую вер роз -а»х значение угла пересечения лучей А»,А» и А»»!А» в конечной точке А». Тогда из треугольника А»А»А» имеем ч я а»+໠— ໠— — 1, т. е. а»+໠— 2 = ໠— 1 н формула (!) принимает обычный вид формулы (1), п. 7.1. Ясно, что эти рассуждения можно провести и в случае, когда в бесконечности яе- шине А».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
