Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Таким образом, на границе полукруга Кя — — (з б С: [з[ < )2, Вез > О) )р(с)! > [ф(з)) ч)2 > О. М ф2. Сохранение области и локальное обращение аналитической функции 2.1. Принцип сохранения области. Теорема К Если функция 2 аналитическая е области Р и не раева тождестеенно настоянной, то образ области Р нри отображении !' также есть область.
Ы Пусть Р— Р*. Покажем, что Р* — связное открытое множество. У на 1) Пусть ю, и шз — лве любые точки множества Р', з, — один из прообразов гоп зз— один из прообразов юз при ятображении [: у(с,) = гем У(зз) = юз, с, б Р, с, б Р. В силу связности Р сушествует жорданова кривая .Г, соединяюшая точки с, и сз, лежащая в Р пусть [о, !)[ - т — паРаметрическое представление кривой у. тогда 'г! б [а, щ (о(!) б Р на и ф(а) = зм ф())) = зз. Так как функция У непрерывная, то композиция ф = Г о(о, Ре = [а, ))[, б 2. Сохранение области и локальное обращение анжантической функции 301 является параметрическим представлением непрерывной кривой у* С Р', соединяющей точки ф(о) = (У а р) (а) = У(х,) = ш, и ф(Д) = (1 а Ьа) (!)) = ) (зз) = гиз.
Следовательно, множество Р" является линейно-связным, так как любые две его точки можно соединить путем, состоящим из точек Р'. 2) Покажем, что В* — открытое множество. Пусть ша Е В' — любая точка и за — один из ее прообразов: Р(ха) = ша. Так как  — открытое множество, то существует окрестность 0„(за) = (з Е С: !з — за! < г) С Р. Выберем г настолько малым, чтобы в замыкании 0„(за) не содержалось ша-точек функции Г (кроме точки ха). Очевидно, такой круг существует, поскодьку у аналитической функции Г й сопя! ее та-точки изолированы. Пусть ! = (з Е С: ~х — за~ = г) и р = гпщ|Т(з) — ша~.
Очевидно, р > О (т. к. в противном случае, т. е. при р = О непрерывная ят функция з !з(з) — ша!, постигающая на замкнутом множестве своего наименьшего значения, обратилась бы в нуль в некоторой точке з' 6 у„, а зто означало бы, что на кривой э„есть ша-точка функции Р, что противоречит выбору у,). Теперь покажем, что Ки — — (шЕ С:!ш — ша~ < р) С.У . Действительно, пусть ш, Šʄ— любая точка. Имеем Х(з) ш~ = (Из) ша) Е (ша '"1)~ причем У(з) — гиа~ ~> р на кривой у,, а /ш1 — ша~ < р.
По теореме Руше фу!акция з а Т(з) — ш~ имев~ внутри у, столько же нулей, сколько их имеет функция ° Р(з) — и н Последняя имеет в окрестности 0,(за) по меньшей мере хотя бы один нуль, следовательно, функция г Р(х) — ш, также имеет в этой окрестности по крайней мере один нуль, т.е. существует такая точка з~ Е 0 (за), что )(з~) = ты откуда следует, что ш, Е Р". В силу произвольности выбора ш, Е К„делаем вывод, что Ки С В, т. е. В* — открьггое множество. Из 1) и 2) следует, что В" — область, !ь Замечание !. Непрерывные отображения, оставаяюшне инвариантными открытые множества, называются атирытыии отображениями.
Ясно. что любое открытое отображение осгавдяет иивариантными также н области. Следовательно, отображения, осуществляемые анатитическими функциями, являются открытыми. Замечание 2. Открытое отображение А В называется аиутреинии, если для любой точки Ь Е В миоже/ иа ство у '(Ь) ее прообразов (у '(Ы С А) ие содержит никакого континуума. Очевидно, что отображения, осушествляемые аналитическими функциями, являются внутренними, так как УЬ Е В множество У (И состоит лишь из изолированных точек.
2.2. Локальное обращение аналитических функций. Пусть ш = Р(з) — аналитическая функция в точке за. Рассмотрим два возможных случая. а) Пусть У'(ха) Ф О и у(за) = юа Так же, как и в теореме о сохранении области, выберем круг 0„(за), компактно принадлежшций окрестности аналитичности функции У и не содержащий других ша-точек функции Р, кроме центра за. Пусть, далее, Л = пйп!У(з) — ша), *ат у„= (а б С: !з — ха~ = г), р > О. По теореме Руше получим, что функция у принимает в круге 0„(за) любое свое значение столько раз, сколько раз она принимает значение ша.
Однако, это значение она принимает только в точке за и притом однократно, так как р'(ха) и' О. Таким образом, функция г принимает в круге 0„(за) любое значение из круга К„= (ю Е С: (ш — та( < р) и притом только один раз. Иными словами, ) — локально однолистна в точке за. Тем самым в круге К„определена функция д = д(т), обратная функции Р: д(ша) = за н (7 а д) (и) = ш. Из однолистности у следует, что 2ьт Ф О при аЬз Ф О. Прн этом гьд гьх 1 ! — — — = — -а — ф оо — У'(я) в окдестаюспа точки ха. Таким обРазом, д Е А(К„).
302 Гл. о. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций Пусть 9 " ((аа) 1 ( 9(и) ((и г =9(и)= а+о((и ио)з оз(и (оо) + ... о = = / п1 2я( / (и — (иа)"о( оКа Заменим в интеграле переменную, полагая г = д(ю) (и = у(г)). Тогда гюлучим: 1 / гу~(г) ((г 1 /' д (г 1 2(го / (У(г) — иа)" ' 2я(п г' дг ( (у(г) — ио)" Таким образом, Ряд (1) называется рядом Лагрляаса. Рассмотрим обобщение формулы (1), а именно, получим разложение в окрестности точки ио функции Год„где à — произвольная аналитическая функция в области, компактно содержащей круг 0,(го).
Пусть (Год)((о) = Г(го)+ ~~ Ь„(г — га)". Повторяя предыдущие преобразования, получим: 1 / Г(9(и)) 1 / Г(г)) ( )((г 1 / д ( 1 ((г = 2я( / (и — ио)" ' 2я( у' (У(г) — ио)" ' 2я(п / дг ~(У(г) - иа)" / око г, г, 2 ( г (((*( — (' а (~*" ' (™(((*( — ) Следовательно, (Г а д)(ю) = Г(га) И ) — ~ —, ~Г (г) ~ ( (и — иа)" . (2) ~у(.) --. ( =1 *= о При Г(г) = г получаем формулу Лагранжа.
б) Пусть Т'(го) = То(го) = ... = Тю н(га) = О, ТИ~(го) Р О (р > 1), Повторим прежние сообрюкения. Выберем круг 0„(го) так, чтобы в нем кроме центра га не было лругих иа-точек функции у, и чтобы (уг Е 0„(го) ( (го) у'(г) р О. Как и ранее, выберем и > О и покажем, что в круге 0„(го) любое значение и из круга К„функция У принимает столько раз, сколько она принимает в нем значение иа, т. е.
р раз. При этом, если и Ф и„то все значения и функция У принимает в разных точках, поскояьку в них У'(г) и' О. В таком случае функцию Т называют р-листной в круге 0„(га). Если г Е 0„(га), то и = у(г) = ив+(г — )гу(( ), у(( ) Ф О, т'( ) = ( го) Х/~(г) = З((ги ио. Под;,/у((г) понимаем здесь какую-либо ветвь. Эту ветвь можно разложить в рял Тейлора в окрестности точки го, свободный член которого не равен нулю, следовательно, Р'(го) Ф О и, согласно пункту а), в окрестности нуля существует функция, обратная функции ( = р(г)( г = ф '(Т). б 2. Сохранение области н локальное обращенне аналитической функции 303 Запишем ее разложение в окрестности точки ( = 0 в ряд Тейлора х =хе+о,(+оз( д ... =зс+~~~ о„( .
! Заменив здесь ( на (в — вс) я, получим разложение, обращающее функцию у в обобщенный степенной ряд х =д(в) = хе+ ~~~ о (в — вс)я. коэффициенты о„ражюжения (3) опрелеляются по формулам '(:" („,.;;,.„))... (3) Легко убелиться в том, что (4) 1 / У~(х) Я=в дз, 2я( / У(з) — вс (5) где ))à — число нулей функции х ч У(х) — вс в В. Поскольку между точками границ ЭР и ЭР* существует непрерывное и взаимно-однозначное соответствие, то в (5) можно перейти к интегрированию по кривой ЭР', полагая в = У(х), дш = У'(х) дз: 1 / дш Жв— =1, 2я( / в — вс что и требовалось показать.
аь Рассмотрим задачи. лк. Разложить по степеням в Функцию з = д(в), определенную в окрестности точки в = 0 уравнением Кеплера х — а = шип х (а ф О, вя, в2к, ...). т Здесь зс — — а, шс — — О, у(х) = — *,.„. По Формуле Лагранжа (1) получаем; 1 / д"-' е — д(ш) = о.) ~~~ (51п л) ш . )ь ю l Анализируя разложение (3), приходим к выводу, что д(ш) является в круге К„элементом полной аналитической функции, для которой точка вс является точкой разветвления (р — ! )-го порядка.
Из рассмотренных случаев а) и б) следует такое утверждение. Теорема У. Неравенство у'(хс) ~ 0 яюяется необходимым и достаточным условием локальнои однолистности анавтическод функции У в точке гс. Заметим, что из выполнения условия локальной однолистности функции У в каждой точке области В не следует, вообще говоря, ее однолистность в Р. Пусть, например, у(х) = с . Тогда чз Е С Т'(х) = е' ~ О.
Олнако функция х ь е не является однолистной в любой ооласти, содержащей хотя бы одну пару таких точек з~ и х, что з, — з, = 2яйй Следовательно, у'(з) ~ 0 в Р является необходимым условием одцолистности У в В, но не лостаточным. Теорема 2 (принцип однолистности). Пусть функция У аналитическая в области Р и — г нелрерывна в замыкании Р С С, Э — ноложительно ориентированная кривая Жордана и Р В, нс нричем отображение ЭР на ЭР" является взаимно однозначным. Тогда У вЂ” однолистная функция в области В. т Пусть вс Е Р" — произвольная точка.
Определим, сколько раз функция з ь у(с) — цс обращается в нуль в области Р. Согласно теореме о логарифмическом вычете имеем 304 Гл. 8. Некоторые обшис вопросы геометрической теории аналитических функций 6. Разложить по степеням м функцию еьо' ' (ь и' О), где функция г = д(м) является обратной функции м = ге * (ай 0).
М Здесь го = гео —— О, У(г) = ге ", У'(0) и' О, Е(г) = е *. Согласно формуле (2) имеем и'го(" и! =1 =о =1 Радиус сходимостн полученного степенного ряда находим по формуле Коши — Адамара: — Гь~ 1 -~ . 1ьь - е1а! 1нп, ~ 1пп — (— Б' Полагая Ь = а, находим: Е(з) = е" * = —, (Е о р)(м) = д(ю) У( )' Ш Итак, д(ю) ч „(и+ 1)" =1+~ о Ю", гс и! д(ю)=м+ ) а и" '=~ а" ьо"м м „(и+ 1)" ', (и+ 1)"-' =о 7. Пусть функция (о аналитическая в замкнутом круге К„= (з б С: 1г — го/ ( г) и не обРашаетсЯ в нем в нУль.
Доказать, что Ъо б (,ю б С: 1т — юо! ( и ), где М = шах ~(о(г)/ гаек уравнение г — го —— (ьо — гео)(ь(г) имеет одно и только олно решение, принадлежащее кругу К„. < Запишем УРавнение в виде и = ю, -1- -' — Д. ФУнкциЯ г У(г) = ьсо+ =Ц аналитическаЯ в круге К„, У'(г) ф 0 н )(го) = пи Согласно рассмотренному выше случаю а), уравнение т = У(г) )ью О (ю О С: 1м — мо) < — "), — ' = ш(п1)'(г) — мо), имеет елннстаенное рещение д(м), принадлежащее кругу К,. По формуле Лагранжа (1) его можно представить суммой ряда 1 Тд" ' д(ю) = го ~Ь,у~м, ~Х „, (р(г)) / (т — то) == ° ф 3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции 3.1. Прюшип максимума модуля аналитической функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
