Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Применив лемму Шварца к функции а ~-~ —; — а) — зт, получим оценку ьч М($М2> !Р(.Н = !.Е( )! < М(1+ 3)""!.!. 308 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теория аналитических фунюаий ф 4. Принцип компактности. Функционалы на семействах аналитических функций 4.1. Равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные семейства функций. С равномерной непрерывностью функции г свяжем новое понятие — равностепенную непрерывность семейства.
Это понятие появляется в результате следующих рассуждений. пгуггкцию у: С вЂ” ~ С можно одновременно рассматривать и как функцию Г": ц С, если г считать г = х + гУ = (х, У). ПУсть Я = ВП Яг, Яг — пеРваЯ и втоРаа пРоекцни множества Я, а Яг(х), Яг(у) — его сечения посредством х и у (см. п.1.7, гл.1). Поставим в соответствие функции 2 два семейства функций из $'.
в С: (Л, *) ал (У2, у)углг где ))л. = Я,(х), И„, = Яг(у), ггг, (у) = гг(х у) ггуб Я~(х), ггг,„(х) = гг(х, у) Ух б Яг(у). ([) Обычно говорят, что фуггкция уг получается из г фиксированием первой переменной х, а функция у㠄— фиксированием второй переменной у. Из определений следует, что если функция у: С С равномерно непрерывная, то все функции семейств (у, .) ело (гг „)хелг равномерно непрерывные.
Это свойство проще бюрмулируют следующим образом: равномерная непрерывность функции по совокупности переменных влечет за собой равномерную непрерывность по каждой из них в отдельности. Однако существуют разрывные по совокупности переменных фуггкции, равномерно непрерывные по каждой из них в отлельности, о чем свидетельствуют следующие примеры Пример 1. Пусть ху г(х, у) = ~ х' + уг ] о, если ]х[ < 1, ]у] < 1 и х'-1- у- ~ О, если хг Е уг = О. Тогда Я = [-1, Ц', Я~ —— Яг — — Я,(х) = Яг(у) = [ — 1, Ц гу(х б [-1, Ц, у б [ — 1, Ц). Если х Р О, то функция уг„является рациональной на сегменте [ — 1, Ц.
По теореме Кантора она равномер- но непрерывная. Этим же свойством обладает и функция уг г ггу б [-1, Ц гг (0]. Если х = 0 или у = О, то функции уг р и уг е равны нулю и являются равномерно непрерывными. Таким образом, функция у равномерно непрерывна по каждой перемешюй в отдельности. По совокуп- ности переменных функция у: С С является разрывной в нулевой точке.
Действительно, г г 1 2 .---),+-), 2' .---~~+-~~ 5' следовательно, множество Ег(0) частичных пределов функции у в нулевой точке содержит более одного элемента и 1пп Г (г) не существует, *-е Пример 2. Рассмотрим произвольную функцию у, заданную на единичной окружности Т = ( б С: ]4 = 1]. Тогда Г, = Г, = [-1, Ц, Г,(х) = (-Л вЂ” х', Л вЂ” х'), Гг(у) = (-ф — у', ггг! — у').
Множество Г,(х) при каждом значении * б Г, содержит не более двух точек. Этим же свой- ством облалаег множество Гг(у) гуу б Г,. Поэтому семейства функций (уг,) и (уг г) состоят из равномерно непрерывных фунюгий. Поскольку функция У вЂ” произвольная, то она может быль разрывной в каждой точке окружности .Г. Поиски условий, налагаемых на семейства (гг ) ех, и (гг,г)гах„обеспечивающих равно- мерную непрерывность функции г по совокупности переменных, приводят к понятию равносте- пенной непрерывности.
$4. Принцип компактности. Функционалы на семействах аналитических функций 309 Определение 1. Пусть 9Л вЂ” множество функций У: С С. Ононазываетсн равностепенно непрерывным, если чг > 0 Зб > 0: 'сс(» Е 9Л, г' Е РР гн Е РГ) ((г' — хп~ < б) ю (У(г') — У(х' )~ < е. Если А — множество, то семейство функций (У ) ел считается равностепенно непрерывным в случае, когда множество 9Л = (У 1 а Е А) — равностепенно непрерывное. В частности, можно говорить о равностепенной непрерывности последовательности (У„) функций У„: С С.
Термин "ргвностепенная непрерывность" связан стем, что б в определении выбирается лишь по е и может быть использовано для обоснования свойства, требуемого в определении равномерной непрерывности любой функции У Е 9Л. Определение 2. Множество 9Л функций У: С вЂ” С, заданных в некогпорой области Р, называется равномерно огриниченным внутро Р, если для любого компакта К ««Р существует такая постоянная М = М(К), что 9(» Е 9Л, г Е К) ~У(з)~ < М. Семейство функций (У )„ел считается равномерно ограниченным внутри В в случае, когда множество 9Л = (У ~ а Е А) является равномерно ограниченным внутри Р.
Определение 3. Мнохгество 9Л функций У: С е С, заданных в области Р, называется р а он остепенно непрерывным внутри Р, если ссе > 0 и для любого колтакта К «В дб = б(г, К); 9(У Е 9Л, г' Е К, " Е К) (~г' — гп~ < б) ~ ~У(г') — У(г")~ < е. Семейство фусскций (У„)„ел считается равностепенно непрерывным внутри области Р, если таковым является множество 9Л = (У„~ о Е А). Теорема. Если множество 9Л функции У: С С, аналитических в области Р, равномерно ограничено внутри Р, пю оно равностепенно непрерывное внутри Р. м Пусть К «Р. Обозначим через 2р расстояние между множествами К и дР, т.
е, 2р = )л( р(г, (). ек, сепо Очевидно, что р > О, так как К и дР— замюсутые непересекаюшиеся множества. Рассмотрим множество Кс = ( ) (. Е С: ~ — ц < р), *ьЕК которое иногда называют р-раздутием множества К. Очевидно, что К~е~ ««Р и, следовательно, сушествует такая постоянная М(К~в~), что ч(г Е К~е~, У Е 9Л) ~У(х)( < М. Пусть г' и гп — две любые ~очки из К, для которых ~г' — г" 1 < р. Поскольку К„= (г Е С: ~г — г'~ < р) «К"~, то чг Е К, выполняется неравенство 1»(г) — »(г')) < 2М.
Функция 1 = 2(г — г') отобрахсает круг Кр на единичный круг К, = (( Е С: ф < 1). Рассмотрим функцию 1 д(() = — (У(х — рб) — У(х )), д Е А(К,), д(0) = О, 19(()! < 1. 2М Она удовлетворяет условиям леммы Шварца, согласно козорой 9( Е К~ ~д(~)~ < К1, или 1 1 2М вЂ” ~У(г'-р()-У(г')~<!(1, (=-(г-х'), 1У(х)-У(х'Н< — ~х-х'! у ЕК, 2М Р р ВыбеРем б = ш(л (Р, гмг-) . Тогда 9» Е 9Л 1»(гь) — »(г'Л < е.
М 4.2. Принцип компактности. Опвелелевве. Множество 9Л функций»: С -е С, заданных в области Р, называегпся компактным в Р, если из казкдой последовательности (У„) этого множества мозкно выделить подпоеледовательпость (У„„), равномерно сходящуюся на любом компакте К ««Р. Теорема (признак компактности Монтеня). Если мнохгество 9Л функций, аналитических в обласнш В, равномерно огриничено внутри В, то оно компактное в Р. щ 1) Докажем сначала, что если последовательность (у„) сходится в каждой точке некоторого множества В «Р, всюду плотного в Р, то она сходится равномерно на каждом компакте К а Р 310 Гл.
Я. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций (напомним, что множество Яо С Я называется всюду плотным в множестве Е, если кюкдый элемент г б Я является точкой прикосновения множества Уо). Пусть с > 9 и К Сс Р. По теореме п. 4.! множество функций 9Л равностепенно непрерывное внутри области Р, в силу чего область Р можно с помощью прямых, параллельных осям координат, разбить на столь мелкие квадраты, что Н(г' б К, ги б К), принадлежащих одному и тому же квадрату, а также уу б 9Л будет выполняться неравенство ~1( ') —.(( Р)! < -'.
3 Множество К покрывается конечным числом таких квадратов. Пусть их количество равно р. Поскольку множество Е всюду ила~нос в области Р, то в каждом уььомяььутом выше квадрате найдется точка гь (к = 1, р). Так как последовательность функций (1„) сходится на множестве Е, тО СущЕСтВуЕт таКОЕ П, б )Ь(, Чта ЬЬ(ПЬ > О„П > Пт й = 1, р) ВЫПОЛНяЕтСя Нсраасиетаа с 3 (2) Пусть г б К вЂ” любая точка, принадлежащая й-му квадрату, в котором зафиксирована точ- кагьбЕ.Прит>о„п>п, имеем )У (г) — ь (г)) < <(2 (г) — 3 (гь)Ь 4~~1 (гь) — з„(гь)(+ ~1 (гь) — 1„(г)! < — + — + — = с в силу неравеьютв (1) и (2).
Таким образом, //Т вЂ” 1„9 = опр (у (г) — 1„(г)) < е Н(пь ) п„п ) и„), ЕК т. е, последовательность (1„) равномерно фундаментальная на множестве К и 1„:л. 2) Теперь докажем, что из любой последовательности (1„) функций из множества 9Л можно выделить подпоследовательность (1„,), сходящуюся в каждой точке некоторого множества Е, всюду плотного в области Р. В качестве Е выберем множество точек г из К, у которых действительная и мнимая части рациональные, Е = (гь))о б (ь(). Рассмотрим ьюследовательность ( 1„(гь)) . Так как она ограничена, то по теореме Больцано — Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательносгь (1„, (г,)).
Пусть 1„, (г) = уо ь(г) и рассмотрим последовательность (уьь(гь)). Она также ограничена и из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (1„о ь(гз)). Пусть 1„, ь = Зьь. Из последовательности (Гьь(гз)) можно извлечь сходящуакя подпоследовательность ( 1„, з(г,)) и т.д.
Аналогичное построение можно продолжить неограниченно. При этом получим последовательность последовательностей (уьь(г)), (уьь(г)), .... Выберем теперь диагональную последовательность Зьь(г), Зьз(г), .... Очевидно, она сходится в любой точке множества Е. Действительно, если взять любую точку гр б Е, то все члены последовательности (1„„(г)), начиная с (рр(г), выбраны из последовательности (~рр), сходящейся в точке гр. Поскольку 2) =,~ 1), то принцип компактности доказан.
М 4.3. Функционалы, определенные на множествах функций. Определение !. Пусть 9Л вЂ” множество фуикциа 1: С С, оир ленных в области Р. Отображение 9Л-о С называется функционалом. По определению каждой функции 1 б 9Л ставится в соответствие комплексное число 1(1). ОаРеделенне 2. ФУнкционал 1 называетсн ненРеРмв и им ни элементе уо б йь(, если дол любой иогледовательности (1„) функций из множестви 9Л, равномерно ссодяиьвйся к функции уо на любом комииктв К ьн Р, выиолнявтся равенство !ьш 1(У ) = 1(1о). ьрь ь Пусть, например, Яй — множество всех функций, аналитических в области Р, 1(1) = 1-мои-, и б Р— фиксированная точка. Докажем непрерывносп этого функционала. Пусть последовательность (1„) функций из множества 9Л сходится равномерно к функции 1о на любом компакте К а Р.
По теореме Вейерштрасса уо б А(Р). Пусть К = у = (г б С !г — а! = г) С Р. $4. Принцип компактности. Функционалы иа семействах аналитических фуикций 311 Тогла Уе > О Зи, б )ч): У(и > и„з б .У,) (Т„(х) — То(х)~ < е. ПРименим неРавенство Коши длЯ коэффициентов степенного ряда (см, формулу (б), п. 1.7, гл. 5): ~1(Т.)-1(Л)1-~1(Т. То)! < „ Это и означает непрерывность функционала 1.
Определение 3. Компактное мнахгестео функций ОЛ назыааетсл компактным в себе, если предел лкюой последовательности ( 1„) функций из 9Л, равномерно сходящейся на любом компакте К Сч Р, принадлеокит множеству ОЛ. Таким образом, множество 9Л функций 1: С С называется компактным в себе, если из любой последовательности (1„) функций из 9Л можно выделить подпоследовательность (1„,), равномерно схоляшуюся на любом компакте К Сч Р к некоторой функции из гг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
