Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Из принципа аргумента следует такое утверждение. Теорема (Руще). Пусть функции р и ф аналитические в замыкании В, где В Ф С— область с положительно ориентированной границей дВ, множество точек которой лвляетсн кривой Жордана, и пусть чх Е дВ ((о(г)( > (ф(х)(. Тогда функции чг и р+ ф имеют в области В одинаковое каличество нулей.
щ из неравенства (зз(з)( > (ф(х)(, выполняющегося хгз б дР, следует, что функции р и р+ ф не имеют нулей на дВ. Действительно, поскольку гух Е дР (р(л)( > (ф(х)( > О, то (уг(х) + ф(х)( > ()з(х)( — (ф(з)( > О. Пусть )у — число нулей функции р+ ф в области В, В соответствии с принципом аргумента имеем 1 1 / ф' 1/ / )у = — сьвп ацг(уз+ ф) = — йьвп ивзз ~1+ — ) = — ~гхвп агв р+ йьвп апа ~1+ — ~ ) . 2гг 2гг (о) 2я х Т)) Последнее равенство выражает принцип аргумента, который можно сформулировать следующим образом. Принцип аргумента. Пусть В С С вЂ” область и множество 7 точек ее границы дВ являетсл кривой Жордана.
Тогда, если функция Т аналитическая в замыкании В, за исключением конечного числа полюсов, размещенных в В, и Т не обращается в нуль на кривой у, то разность лгежду числом нулей )ч" и числом полюсов Р функции / и обласгпи В равно деяеннолгу на 2зг приращению аргумента У при обходе точкой х границы обчасти Р в полоэсительном направлении один раз. Очевидно, что — ' гаво ага У вЂ” это число полных оборотов вокруг точки ю = О, совершаемых вектором у, когда подвижная точка х обходит положительно ориентированную кривую дВ один раз в направлении, противоположном ходу часовой стрелки. В связи с этим приндип аргумента можно сформулировать по-другому, а именно: Лриггции аргумента (алыиераативиая формулировка).
Пуст~ Р Ф С вЂ” область и множество 7 точек ее границы дВ является кривой Жордана. Тогда, если функция У аналитическая в замыкании В за исключением конечного числа полюсов, размещенных в В, и Т на границе области В не обращается в нуль, то разносгпь 19 -Р равна числу полных оборотов, соверигаемых вектором ю = У вокруг точки ю = О лри обходе точкой з границы области Р в поюжительном направлении один раз. 298 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций Принимая во внимание, что ~ — '5 ~ < 1, вектор 5о = 1+ в при обходе точкой г границы дР не е ~вп У может совершить оборо~ вокруг точки в3 = О, поскольку точка го = 1+ й(,*23 асс время движется внутри круга К = (и б С: 5м — Ц < 1), не содержащего точки го = О.
Следовательно, ют (1+ ~~) при полном обходе границы дР возвращается к первоначальному значению и ыоо аг8 1+ — = О. Таким образом 1 )(г = — йгеп аг8 'т", 2я т.е. Ж вЂ” число нулей функции 55 в области Р. р Теорема Руше имеет многочисленные применения. Она используется, в частности, для определения числа нулей функции. Пусть, например, требуется определить количество нулей многочлена Р(г) = г — 5г » 2, ле- 5 3 жащих в круге К = (г б С; 14 < 1). Полагаем Р(г) = )5(г)+5)(г), Где )о(г) = — 5гз, ф(г) = аз+2. Если ф = 1, то ~(о(г)~ = 5 > 1г~+2/, так как !гз»2~ ( ~г'/+2 = 3.
Функция 55 имеет в единичном круге К три нуля. Поэтому, по теореме Руше, многочлен Р имеет в круге К три нуля. С помощью теоремы Руше очень просто доказывается основная теорема алгебры: Основная теорема алгебры. Любойл5ногоюен сменено и Р„(г) = аог" +а,г" '+ ... -»а„,к+ а„ имеет в кол5нлексной нлоскости ровно и нулей. М Полагаем Р„(г) = 93(г) -» р(г), где )5(г) = аег". Многочлен )5 имеет в комплексной плос- костИ Ровно и нулей, т. к. г = О является нулем и-го порядка функции )5, а ПРн подсчете числа нулей каждый из них засчитывается столько раз, какова его кратность. В качестве области Р возьмем кр)т Кн — — (г б С: ф < Л), а Л выберем настолько большим, чтобы 3(г Е Рк„выполнялось неравенство 1р(г)~ > 1р(г)), где гр(г) = аг" ' + ... + а„,г+ а„.
Для этого достаточно взять Я = 1-» |а3~ + )аз) + ... -» (а„(. тогда по теореме Руше число нулей функций 55 и Р в круге Кя одинаково, т.е. многочлен Р имеет и нулей. р Рассмотрим задачи. 1. Определить число нулей многочлена Р(г) = г' — 12г'+ 14: а) в кольце )г3 = (г Е С ) 1 < )4 < —,' ); б) в кольце Уг = (г Е С ! 1 < ~г ~ ( 2); в) в правой полуплоскости Р = (г Е С ~ кег > О). м а) Пусть Р(г) = )5(г) + 5р(г), (о(г) = г, 5р(г) = — 12г + 14. При ~4 = 1 имеем 3125 21 )(о(г)~ = = 97 †, Щг)) ( ! — 12г 1 -» !4 = 89, 32 32' т.е. /55(г)! > (5й(г)(. По теорелзе Руше все пять нулей многочлена Р лежат в круге Кзы —— ( г Е С: ~г) < — ).
Определим, сколько из них имеют модуль меньший единицы. С этой целью 53 полагаем Р(г) =- 955(г)+ 383(г), 155(г) = 14, 93(г) = г — 12 При 1г1 = 1 ~)55(г)~ = 14, ~(53(г)/ ( 13, слеловательно, по теореме Руше в круге К = (г б С: 1г~ < 1) нулей многочлена Р нет. Таким образом, все пять нулей многочлена Р размещены в кольце 1',. б) Пусть Р(г) = 953(г)+ гйз(г), 953(г) = -12гз, (йз(г) = г + 14. и!.
Прницвв аргумента. Теорема Руше 299 При ~4=2 !(Оз(г)~ = 48, )Фз(г)~ < |г ! Е 14 = 46. По теореме Руше число нулей многочлена Р в круге Кз — — (г Е С: !г( < 2), следовательно и в кольце гз равно двум, т. е. столько, сколько их у функции узз. в) Из неравенства Р(зу) = гд + 12у + 14 следует, что многочлен Р не имеет нулей на З 2 мнимой оси, поскольку действительная и мнимая части Р(зу) не обращаются одновременно в нуль. Применив принцип аргумента к полукругу К = (г Е С: ф < Яз Ке г > 0), получаем, что число Ж нулей многочлена Р в правой полуплоскости определяется равенством 1 1)Г = — йт згзгЗн, —.и! асаР(г1+ згн агйР(г))), 2хн гле Гн = (Ун Тно), тл = 4,2 Е С ( г = Яе', — 2 < 1 < <— ) . При бояьших Я > 0 имеем 3! и,-*я! агу Р(г) = 23 шн,-и!(зуз+ 12у + 14) = у у а зг — 21~о!и Озагс!8 -!.
2 оо!О,-и!агезй = -- — — -1- 0(44 ') = — ЗГ.1- 0(42 '), 12уз + 14 " ' 12уз + 14 2 2 ) 11 — 122~'З 2хг„агйР(г) = 23г„агйг + Ьга ~ 1+ — з ) = 5а т0(П ). Таким образом 1 ззг = — (-зг+ 5а') = 2. и 2х 2. В каких квадрантах находятся корни уравнения го+ г' 442 + 2-+ 3 = 03 а Очевидно, что уравнение не имеет неотрицательных корней. Покажем, что оно не имеет отрицательных корней.
Действительно, полагая г = — х, получим уравнение х — х +4х — 2х+3=0. З 2 При 0 < х < 1 сумма первых трех членов, а также сумма двух последних членов ззоломсительны. При х > 1 сумма первых двух членов, а также сумма трех последних членов положительны. Следовательно, зух>0 х — х +4х — 2х+3>0.
4 3 2 Подставим в уравнение г = гу. Тогда оно примет вид у — зу — 4у + 2зу + 3 = О. Действительная и мнимая части этого уравнения не обращаются одновременно в нуль, в силу чего исследуемое уравнение не имеет и чисто мнимых корней. Число его корней, размещенных в первом квадранте, определяется равенством )З' = — !!Ш ! 44 Е!О Н! агй(х + х 4-4х 4 2х+ 3) + зуго!н,о! агй(у — зу — 4у + 2зу 4 3) 4- 2а.
н-. + Ь, „,,4 агй(г + г + 42 + 2г+ 3)). О<4<а Имеем з!ь о!О я!агу(х + х +4х + 2х+ 3) = О, з -у -1-2у 3 зьоо!и о!агй(д — 4д + 3 е з(-у + 2у)) = 43оозноз агсгй д4 4дз+ 3' Числитель дроби под знаком арктангенса обращается в нуль при д = зГ2 и у = О, а ее знаменатель — прн у = з/3 и у = 1. Изменение этой лроби при изменении у от !х до 0 можно охарактеризовать следующей таблицей: 300 Гл. 8. Некоторые обшие вопросы геометрической теории аналитических функций с помошью которой легко заметить, что г1„шя,ь!агй[У вЂ” 4у -1-34г( — у'+2у)) = — 2т40(Я ). Далее, 3 2 з 44з" +2з43 з з 1 с) ньо агй(з 4 з 44з + 2з 4 3) = за, н,н агя 1+ = 2л+ 0(К ) В результате получаем ! )у = — (Π— 2а +2т) = О, 2зг т. е.
Рассматриваемое уравнение не имеет корней в первом квадранте. Поскояьку корни уравнения распадаются на пары сопряженных, то корней нет и в четвертом квадранте, а во втором и в третьем имеем их по два. ~ 3. Пусть 2 б А(К), где К = (з б С: [з[ < 1). Доказать сушествование такого числа р > О, по для всех т из кроа К, = (т б х.: ~т~ < р) уравнение з = ш[(з) имеет в круге К ровно один корень. ~ Запишем уравнение в виде ф(з) ч- ф(з) = О, где (о(з) = а, ф(з) = — цгу(з). При ~з[ = 1 8р(з)~ = 1, 1тйз)[ < ~ш~М, тле М = шах ~~(з)[. При [т! < — ' выполняются условия теоремы руше.
М 4. Доказать, что уравнение (2з +!)е' = 2з + 3 не имеет решений с положительной действительной частью. м Запишем уравнение в виле 2зч-3 (о(з) ч- гР(з) = — — е = О. 2з +! В полуплоскости Р, = (з б х. [Вез > — 1) выполняется неравенство [)з(з)! = ! — ,'*"з( > 1, а в полуплоскостн Р, = (з б ч. ! Вес > 0) — неравенство [ф(з)[ = [ — е *~ = е < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
