Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Обозначим че- жит несколько вершин многоугольника. Таким образом, формула (1), п.7.1, остается в силе и для многоугольников, у которых одна или несколько вершин лежа~ в бесконечности, если при этом утол между двумя прямыми с вершиной в бесконечности определяется как угол в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус. Заметим, что при таком определении угла в бесконечности остается в силе соот- ношение а» = п — 2 »=! для суммы углов многоугольника. 7.3. Отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника.
Проводим рассуждения, аналогичные проделанным в п. 7А. Функция У имеет теперь в некоторой точке а верхней полуплоскости полюс первого цорялка. Функция же тт наряду с простыми /' полюсами (а»1 Ь = 1, и) будет иметь еще простые полюсы в точках а, а с вычетами в них, равными -2. Таким образом, 1' (е) ч «а» — 1 2 2 у'(г) г-а» г — а з — а »=! Отсюда У(х)=С! ~ П(( — а )"» +С. /' .»-! 'К (( — а)'» — а)' о (2) Здесь а„к — значения внешних углов многоугольника, ,'у а„= п+2, ໠— точки действительной »=! оси, соответствующие его вершинам.
б7. Коиформиое отобрюкеиие мвогоупзльииков. Интеграл Кристоффеля — Шварца З2З 1.4. Отображение верхней полуплоскости иа прямоугольник. Отобразим верхнюю пояуплоскость на прямоугольник Р с вершинами в точках жы, жы+ (вй (рис. 97). Применим принцип симметрии. Пусть функция У отображает первый квадрант на Риа 97 правую половину прямоугольника Р так, что мнимая полуось переходит в отрезок (О, мл) мнимой оси. Зададим соответствие трех пар граничных точек: г О 1 со ге 0 иг ии~ у(-!) = -ы, у (--ь) = — ы+ мио 1з Вид функции У определяется формулой Кристоффеля — Шварца. Подучим: оь = — (й = 1, 4), (аь', й = ! 4) = ~ — — — 1, 1, — З Фиксируем ветвь корня чг! = 1. Тогда, принимая во внимание, что 1'(г)! = С, получаем, =о что С > О, так как положительное направление действительной оси при отображении не изменяется. Полученная формула содержит два неизвестных параметра С и й. рассмотрим функцию з~ Р(з,й)= дО о (2) гле 0 < й < 1 считается известным.
Она определяется зллилтическим интегралам первого рада, й— его молуль. Из предыаушего изложения ясно, что Р(з, й) осуществляет конформное отображение Этим соответствием отображающая функция определяется единственным образом. Некоторая точка — „> 1 (й < 1) перейдет в вершину ы+ (ы, прямоугольника, й — неизвестно. По принципу ! симметрии функция У продолжается во второй квадрант и продолженная функция (обозначим ее также у) осуществляет отображение верхней полуплоскости на весь прямоугольник. При атом имеем 324 Гл. 8.
Некоторме общие вопросы геометрической теории аналитических функций верхней полуплоскости на прямоуголы<ик со сторонами 2ые и ыл, где — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем й, Следовательно, Заменив в интеграле переменную по формуле 7 1 — й',тг' й1 — — 1 — й, э г получим: Йт ые —— = К(й~). ,гг(1 - тэ) (1 — й~тэ) Итак, мы получили, что эллиптический интеграл первого рода отобрюкает верхнюю полуплоскость на прямоугольник со сторонами 2К(й) и К(й',).
Вернемся к нашему случаю: й, С вЂ” неизвестные стороны прямоугольника, 2ы и ы' — известны. На основании только что рассмотренного имеем ы = СК(й), ы = СК(й ). Эти равенства явяяются системой трансцендентных уравнений относительно С и й.
Она может быть решена с использованием таблиц эллиптических интегралов первого рода. Действительно, пусть ы К(й) ы, К(й') ' Тогда по ззданным т по таблицам можно найти К(й), а затем и С = — „. к<ь> 7.5. Эллиптический синус и его двоякая периодичность. Как установлено выше, эллиптический интеграл первого рода з = Р(эл, й) осуществляет конформное отобралсение верхней полуплоскости С+ — — (м Е С ( 1ш тв ) О) на прямоугольник Рд с вершинами жК, жК+(К,, при этом в вершины прямоугольника переходят точки ж) и ж-' действительной оси. Обращение эллиптического интеграла первого рода называется зииптичесним синусам, его обозначение; тв = зп(г, й). Эллиптический синус является аналитической функцией в прямоугольнике Р, и отображает его на верхнюю полуплоскость С+ — — 1м б С | 1гл тл > 0) .
В силу гомеоморфизма замкнутых областей, функция зп переводит отрезок (К, К + (К,) в отрезок [1, ь1) . Следовательно, к ней применим принцип симметрии, по которому она аналитически продолжается в прямоугольник Р„симметричный с Р, относительно отрезка (К, К + (К~), 57. Коиформиое отобразкение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца 325 причем продолзкенная функция (мы снова обозначим ее через зп) отображает Р, на нижнюю полуплоскость б = (ш б С ] (ш ш < О) (рис. 98).
Продолженная функция также удовлетворяет условию принципа симметрии и по этому принципу аналитически продолжается в прямоугольник Рз, симметричный с Рз относительно отрезка [ЗК, ЗК+ зКз] и отображает его снова на верхнюю полуплоскость. При этом зп(з ф 4К) = зп л )тк Е Ра. Более подробно: точка кы симметричная с к относительно отрезка [К, К+ зК,], переходит в точку зп з, а точка зз — — з+ 4К, симметричная к, относительно отрезка [ЗК, ЗК ф зКз], — снова в точку зп з.
р .зз Точно так же можем продолжить функцию зпл в прямоугольник Р,, сиььчетричный с Рс относительно отрезка [ — К+ зК„К + (К,], только это продолжение будет иметь в точке зК~ полюс первого порядка. Продолженная функция зп отображает Р, 'на нюкнюю полуплоскость и азалитически продолжается в прямоугольник Р,', симметричный с Р, относительно отрезка [-К+з2К„К+з2К ], и этот прямоугольник она снова отображает на верхнюю полуплоскость. Как и выше, получим, что (2) зп(з+ 2г'К,) = зп к 'ьсз Е Ре. Рассуждая в точности так же и далее, мы можем продолжить эллиптический синус на всю плоскость С.
Продолженная функция будет мероморфной: в точках зК, + 4Кпз+ 2зКзп, где пз и и — яюбые целые числа, она имеет полюсы первого порядка. Формулы (Ц и (2), очевидно, будут выполняться для любых точек з Е С. Это свидетельствует о том, что функция зп имеет два независимых периода Тз — — 4К и Т, = 2зК,: для любых цельзх гп и и справедливо соотношение (3) зп(з+ 4Ктп+ 2зКзп) = зп з. Мероморфная двоякопериодическая функция, отношение периодов которой янляется строго комплексным числом (не действительным), называется эллильяичвской функцией. Проведенные исследования показывают, что зп з является эллиптической функцией.
Равенство (3) свидетельствует также о том, что функция зп л инвариантна относительно группы линейных преобразований вида з к+4Кпз+2зК,п ( з Ело и Е л.). Функции, облапаюшие свойством инвариантности относительно некоторой группы дробно-линейных преобразований, называются авлзпморфными з. зз зз для автоморфнык фунынзя сущесзвуст откельная короыо разрваотвннвя теория, с «оторо» можно ознакомиться, например, по «нитез л.Р. вирд.
Автоморфные функпии, ОНТИ, 1934. 326 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических фуикний 7.6. Отображение единичного круга на многоугольник. Найдем общий вид функции, осуществляющей конформное отображение единичного круга на многоугольник. Для этого отобразим единичный круг на верхнюю полуплоскосзь, а затем воспользуемся формулой (1), п. 7.1.
ОтобРажение веРхней полУплоскости Сь = (г б С !!шз > О) на кРУг К = (г! б С: !х!! < 1) имеет вид х — Ь х!=, !тЬ>0, г — Ь откуда находим отобрав!ение К на С!.! Ьг, — Ь х! — 1 Подставив в формулу (1), и. 7.1, вместо г правую часть равенства (2), получим: П) (2) *! — ! юму(.)=У( — ) =(,(г,)=С, ~! ЦК-а,)" И(+Сь ~ -1( а ь=! Полагая в интеграле ь = -!з — !, нахолнм: Бс — ь гь,!=с,) П < !' — ) ь Щ + С! —— 1)г + ! -! т-т ! „!!(! = С, / П<(Ь вЂ” аь~! — (Ь вЂ” а„)) ПК! — 1) ", + С,. К, — 1)! ь ь=! ь Поскольку ПК вЂ” 1)'-"ь ! =! = (а! — 1) '=' = ! К! — 1)' (так как и — 2 оь — 2 = О), то ь=! )Д(г!) = С, / П<(Ь вЂ” аь)(! — (ь — аь)) щ+ С! и ь 5 < !,-! (! — Щ +Сз = С! / П(6 — аь) ' 'ьК!+С!, (3) аь — Ь г ь Б = 1п ь Б зь(а!) = С! / ЦК, — аь) ' 'аь!+Сг.
ь=! (4) где аь — точки единичной окружности, в которые переходят точки а„, Если в интеграле, входящем в формулу (3), изменить нижний предел интегрирования, полагая его равнмм нулю, то изменится лишь постоянная С,, а общий вид формулы останется прежним: б7. Коиформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца З27 Заменяя з1 На а, аь — На ах, 2'~ — на 1', полУчим общий вид функции, осуществляющей конформное отображение круга К = [г б С: [з[ < 1) на многоугольник: ((а) = С1 / П(( — аь) ' ~2((+ С2, [аь[ = 1.
а=1 (5) Для отображения единичного круга на многоугольник общий вид формулы Кристоффеля — Шварца не изменился. В качестве примера рассмотрим отображение единичного круга на правильный многоугольник. Считаем, что центр многоугольника находится в точке ю = О. Этого всегда можно добиться линейным преобразованием заданного многоугольника. При построении отображения воспользуемся принципом симметрии. Рне 99 Пусть Обозначим через 7' функцию круга 5 = [х Е С 1[а~ < 1, О < 2 У(1) = А„г (е' [ = А,.
1'(О) = О, Очевидно, что [О, е' 1 — и [О, А2[. Согласно принципу симметрии, функпия 7' аналити- 2 нн чески продолжается в сектор Я' = ~з Е С: [з~ < 1, — '" < ага г < — 7, причем ее продолжение (которое также обозначим через 7) отображает его на треугольник ОА2А2. Рассукдая аналогично, продолжим 7 на весь единичный круг. Продолжение функции 7 будет аналитической функцией в единичном круге К = (г б С: [з[ < 1), осуществляя конформное отображение его 22ь — О на весь многоугольник, причем 7" (е' ) = Аь (й = 1, и), т.
е. точки е' = а„являются прообразами вершин многоугольника. Поскольку ~; пь = па = и — 2, то аь -- а = 1 — — и 2 Ь=1 2 ~(.) = СЗ~(1 — (")7 и А(. о 2 П((-")"ь-' = ((" — 1)-=, Ь=1 П(( - аь) = (" — 1. Ь=1 По формуле (5) получаем: .21Ь-О Аь — — А1е' (й = 2, и). осуществляющую конформное отображение сектора единичного агд х < — ') на треу2ольник ОА,А2 (рис. 99) при условиях: в силу того, что аь являются корнями и-й степени из единицы и 328 Гл. 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
