Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 52
Текст из файла (страница 52)
м ч ~ яппх Пример. Показать, по ряд ~ — удовлетворяет условиям теоремы Вейерштрасса в обла- 2- 3- сти Р = (я б С: ) (та а) < 1п 3) и найти У'(0). По теореме Коши )гп б 2( ~ У„(з) г(х = О, вследствие чего ( У(з) Ых = О. Функция У удовлеас ас творяет условиям теоремы Морера (см. п.6.3, гл. 2), поэтому является аналитической в круге К„. В силу произвольности К„С Р приходим к выводу, что У Е А(Р). 2) Пусть зо ŠР— произвольная точка и К. = (з Е С: 1а — зо) < г) С Р. Для кюкдой точки з б дК, и й Е (4 выполняется условие Гл. 5.
Ряды аналитических фуикиий. Изолированные особые точки Очевидно, что згп б м У„6 А(2)), где Т„(х) = — "",."'. принимая во внимание равенство ! йп г~р = йп х+ зЬ у, при 1у( < Е!и 3, О < д < 1, получаем оценку 1У„(х)! < 3 "+ 3 "О " из которой по мажорантному признаку Вейершграсса следует равномерная сходимость ряда 2,' У„ в области 2). Сумма ряда у является аналитической функцией в области )3 и по доказанной теореме его можно почленно дифференцировать, т.
е. ч ч~ пспзпа у(') =хь 3- и 3 У'(О) = ~~ Применим теперь теорему Вейерштрасса к рядам определенного вила. 1.6. Степенные ряды. Рял 2 у„, где у„(х) = а„(г — хо)", и б Бо, а„б С, а„= сопзо, го б С, х б С, называешься степенным. Частичные суммы этого ряда являются гшгебраическими многочленами, и поэтому его сумму 2 а„(г — х,)" можно рассматривать как дальнейшее обобшение понятия много пена. =о Члены степенного ряда являются аналитическими функциями во всей плоскости С. При опрелеленни степенного ряда возникает вопрос, в какой области он сходится равномерно и, следовательно, по теореме Вейерштрасса определяет аналитическую функцию.
Каждый степенной ряд 2, а„(г — го)" облалает замечательным свойством: с ним связано число О < К < Еоо, называемое его радиусом гходимости. Зная это число, можно ответить на вопросы о поточечной, равномерной и нормальной сходимости, указать свойство его шенов (ограниченность, стремление к нулю). Наиболее простой задачей является наследование членов ряда а„(г — хо) Е- на ограниченность. Ее решение служит основой определения радиуса сходимости степенного ряда.
Определение 1. Радиусом сходимости степенного ряда (1) называетсл число Л = шр(г > О ~ а„г" = О(1)). (2) Поскольку (г > О ~ а„г" = 0(1)) ~т, то точная верхняя грань этого множества в Ж существует. Теорема К Пусть К > О и О < г < К. Тогда ряд (1) сходится нормально в круге К„= (х б С: ~г — о~ < г) ° м По определению точной верхней грани сушествует такое г,, что г < г1 Л а„г", = О(1). Пусть тг(г б К„, и б г() 1„(г) = а (з — хо)".
Тогда )( г„''О = )а„)г" = )а„г,"1 — = 0 Так как О «„— ' 1, то по признаку сравнения числовых рядов ряд 2 1(Г„11 схоДится, что по определению озиачает ноРмальную сходимость ряда ) У, т. е. степенного ряда (1) в круге К,. в Следствие 1. Пусть К > О. Тогда ряд (1) лотвчгчна сходится в круге Кя. Если 12 < +со, та ряд (1) расходится нотачгчно вне круга Кя, т. е. в твх точках х б С, для которых 1г — го( > К.
Следствие 2. Пусть К > О и 1х — го( < К. Тогда а„(х — хо)" = 0(1). Егли К < +со и 1х — го~ > Л, то а„(х — хо)" Ф 0(1). Слвделгвие 3. Пусть Л > О и )х — яо) < Я. Тогда а„(т — хо)" = а(1). Если К < +оэ и 1г — го! > К, то а„(х — хо)" Ф о(1). Следствие 4. Пусть К > О и )х — хо) < К. Тогда ряд (1) сходится абсолютно в круге Кл. Если Я < +оо и 1з — го) > К, та ряд (1) не будет абсолютно сходящимся. Следствие 5.
Если К > О и О < г < К, та ряд (1) сшдитсл равномерна в круге К„. й 1. Ряд Тейлора 207 а„(г, — го) (3) сходится и г, ~ го. Тогда степенной рнд (1) сходится в круге К = (г Е С: (г — го] < (г, — го(). м поскольку ряд (3) сходится, то, согласно следствию 1, (г, — г,( < В. следовательно, К С Кн, где Кн — круг сходимости ряда (1). М Из теоремы 2 и следствия 5 получаем, что ряд (1) сходится абсолютно и равномерно в круге К, = [г Е С: (г — го( ( (г), где г < (г, — го(.
Теорема 3 (Коши — Адамара). Пусть  — радиус сходимвсти ряда (1) и ! = !лп Яа„(, Тогда В = -,', причем В = +со, если ! = 0 и В = О, если ! = +со. а Очевидно, что :Л.~*- »1-о*- л (4) Если ! = О, то по радикальному признаку Коши чг Е С ряд (1) схолится абсолютно.
Согласно следствию 4 из теоремы 1, В = еоо. Если ! = +ос, то чг Ф го а„(г — го)" Ф 0(1). Согласно следствию 2 из теоремы 1, В = О. Пусть 0 < ! < +ос. По радикальному признаку Коши из равенства (4) следует, что чг Е Кг = 1г б С: (г — го( < —,' ) ряд (1) сходится абсолютно. Следовательно, К! С Кн и -,' < В. 1 ! Если (г — -о( ) -,', то из Равенства (4) полУчаем, что а„(г — го)",г о(1). Согласно следствию 3 из теоремы 1, —,' ) В. Таким образом, В = —,'. М Если гГго Е г( (а„( ) 0 и существует !пп (-"-'-"-~ ), то, как известно из курса математического анализа, Ош "„/(а»( = !!щ ~ '"" ~. В этом случае радиус сходимости степенного ряда (1) мохгно найти по формуле а„ В= !пп а„», (5) Теорема 4 (вторая теорема Абеля). Если степенной ряд (1) с конечным радиусом скпдимости В ) 0 сходится в некоторой точке г, Е ул = ( Е С: (г — го( = В), то его сумма г(г) = 2,' а (г — го)" стремится к Т(г~) при подходе к точке г, вдоль радиуса [го, г,] »о а Не ограничиваа общности можем считать, что г, = (В, р,), чего можно достичь преобразованием т = ге' при некотором а Е Ж.
Тогда Чг Е [го, г,] г = (х, уо), хо < х < В, г — го — (х — хо, 0), (г — го( = (х — хо] и Ъг Е (го, г,) У(г) = ~~ а„(х — хо)" = ~~~ а В" ( ] (6) »о »о По условию теоремы числовой ряд 2 а„В" сходится, что равносильно его равномерной сходимости. Последовательность ([-*я*а) ) монотонно возрастает на отрезке [хо, В] и ограниченнаа, так как чх Е [хо, В) [--Р] = -'=и-г < 1, По пРизнакУ АбелЯ (см. теоРемУ 4, и. 1.4) ряд 2, а»(г — го) сходится равномерно на отрезке [го, г~], в силу чего его сумма ! является непрерывной функцией на этом отрезке (см. теорему 1, и. 1.5 и следствие из нее). Поэтому !'(гг) = !нп Т(г).
т о*о о!о* Теорема и следствия из нее не содержат никакой информации о свойствах степенного ряда на окружности 7я = (г Е С: (г — го( = В). В силу формул Эйлера рял (1) на окружности 7л превращается в тригонометрический ряд. Вопрос о поведении степенного ряда на границе круга схолимости Кя требует в каждом конкретном случае специальных исследований. Может случиться, что в некоторых точках г Е гл ряд сходится, а в некоторых — расходится.
Существуют также степенные ряды, сходящиеся или расходящиеся в каждой точке г Е уя Теорема 2 (первая теорема Абеля). Пусть числовой ряд 208 Гл, 5. Ряды аиалитвчесявх фувквий. Изолироваявые особые точки Немешпой математик А. Приигсхейм (1850 †19) доказал, что при выполнении условий теоремы сумма ряда У иепрерывиа в точке з, вдоль любой жордаиовой кривой г, лежащей внутри какого-либо угла раствора, меиьшего я, с вершиной в точке з, и с биссектрисой, совпадаюшей с радиусом (зо, зо). При исследовании некоторых проблем с применением степеииых рядов иад ними производят арифметические операции, в том числе операцию умиожеиия степенных рядов. В курсе алгебры произведением мноючвенвв Р(г) = ~~о аьз, ог(з) = ~ Ь х" ь=о ,=о называется миогочлеи В(з) = ~~~ с,з", (7) =о где с„= ~ азЬ„, (и = О, и+ оп).
а=о Это определение согласуется с правилом умножения конечных сумм в том смысле, что огз б С Р(з)О'„О(х) = К(х). Сформулируем правило умножения степенных рядов, обращаясь с ними, как с миогочлеиами. Определеиие 2. ))роизведением отененная рядов ао + ~~о а (з — зо)", Ьо + ~~о Ь (з — зо)" (8) називввтсв степенной ряд + ~~', с (х зо) (9) где с„= ~ а,Ь о )Гп б Бо. ,=о Полагая в рядах (8) и (9) в — зо = 1, получим правило Коши умиожения числовых рядов. Пусть Кл, и Кл, — соответственно круги сходимости рялов (8), а их произведение (9) имеет радиус схолимости В. Тогда В > ш)п(Ко, Кг) и оуз б Кл, го Кл, .*-Е.Г-(~.*-* ")(~.
° -*»") ЕЕха Еаа Еяа Так как каждый степенной ряд ) а„(х — ш) с ненулевым радиусом сходимости абсолютно сходится в круге сходимости, то любая его перестановка имеет ту же сумму, что и сам рял. Этот факт отмечается записью ~, а„(х — зо)". Ето По первой теореме Абеля степенной ряд ~ а„(з -з,)" сходится равномерно в любом замкнутом круге К„= (х б С: 1х -зо! < г) С Кл. Поскольку любое компактное подмножество К круга сходимости Кл прииадлежит ему, то дня степенного ряда в круге сходимости выполняются все условия теоремы Вейерштрасса (теорема 3, п. 1.5).
Следовательно, в круге сходимости Кл сумма степенного ряда У(з) = ~, а„(з — хо)" является аналитической функцией, ряд можно почлеиево ио диффереицировать сколько угодно раз и при этом сгепеииые ряды, получаемые в результате дифференцирования, имеют тот же радиус сходимости Л.
1.7. Теорема Тейлора. В предыдущем пункте было показало, что сумма стеленного ряда является аиалитической функцией в круге сходимости. Вполне естественно поставить вопрос о возмевкиости разложения в степенной рял аиалитической функции. Ответ иа него содерхгится в следуюшем угверлсдеиии. $1. Ряд Тейлора 209 Теорема (Тейлора). Аналитическую в области 2) функцию г можно в окрестности каждой точки зо Е 22 лредставить суммой стеленною ряда у(г) = ~~ь а„(г — го), =о радиус схадимоани которого не мгггьше расстояния д от точки зо до границы области )2. ц Рассмотрим круг К„= (з Е С: ~з — зо~ < г), г < д, К„Се Р.
По интегральной формуле Коши ч(г Е К„имеем ) 1 ~ У(()д(' 1 ~Г У(() К 2я( / ( — г 2я( ( . )1'1 ак. Для каждой фиксированной точки г Е К„выпшгняется неравенство з — го !г го! = — =9<1 (' — зо г если ( Е дК,. Поэтому выражение,, можно рассматривать как сумму геометрической 1 г-=о прогрессии: (2) Ряд 2 ~Яо) равномерно сходится на дК„, поэтому его можно почленно интегрировать.
Принимая во внимание (1) и (2), получим г(з) = ~~' (г — го) —, / .1 Г У©К 2к( / (('-зо)- =о вк,. Таким образом, (4) где им ~'"'(") 2лг / ((' — го)"+' вй (5) вк. У(з) д на (з зо) ) =о вследанвие чего его коэффициенты онределены однозначно и вычисляются ло формуле уоо(го) а„= — (в Е Рб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
