Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Теорема и ивтеграл Коши 173 Поскольку аналитическая функция У является непрерывной, то сгг > О Зб > О: Ьз») < б =: !У(»+ бь») — У(»)~ < е. Взяв р < б, получим оценку 2 г с й/ (У(Ре +») — У(»)) д! < г/ (У(Рес +») — У(») ( д! < 2нг. о о В силу произвольности г > О / '' о У ( — » вк, Окончательно имеем — д( =!пп / — д( = 2ггсУ(»), У(() . Т И) (-. ва откуда следует формула (1). м Следствие (теорема о среднем). Пусть У вЂ” анаситическол функция в жикнутом круге Кн —— (» б С: !» — »4 < )с), Тогда снраведлило равенство г г сс У( о) = — / У( + Лес ) д(, (3) 2сг / а т.
е. значение функции У в цгннсре круга ровно среднему арифметическому ее значений на окружности. м Согласно формуле (1) имеем У(»о) = —. / У У(() 2кс / ( — » вкн Произведя замену переменной по формуле б = »о + )! ес', О < ! < 2к, получим 2 1 У с Не*со сЫ 1 У У(»а)= —.
/ У(го+Ве"), = — / У(»о-ьВен)д!. и 2кс / Де*с 2сг / У(( -1Н" +П) ' д»+ »4-1 / »+1 г г, + ((» — П(» — с)) д»+ »+с Г( +!)( 211)) д»+ » — 1 г, ((» — 1)(» -Ь с)) / 1 1 1 1 чг д = 2кс ~ — -+ -+ — — —,~ = О. М » — с 4 4 4с 4с) г, гс Интеграл в правой части равенства (1) называется интегралом Касаи. Считаем полезным напомнить читателю, по пояохсительная ориентация контура при его обходе соответствует направлению движения против хода часовой стрелки. При положительной ориентации границы области, состоящей из нескольких контуров, внешний контур обходится в направлении против хода часовой стрелки, а внугренние обходятся в направлении по ходу часовой стрелки.
Это принято во внимание при доказательстве теоремы 4, гс.5.3, и теоремы Коши этого пункта. Рассмотрим задачи. У д» 1. Доказать, что / = О, где Г = (7, 7„), 7 = (» б С: (»( = 2). / »4 1 г м пУсп, Г; = (Ом ~~) — положительно оРиентиРованные гРаницы окРУжностей РадиУса р с центрами в точках ' — 1, 1, — с, с, не пересекающиеся друг с другом. Применив формулу (1), получим: Гл. 4. Ивтегрироваияе в комплексной плоскости. 174 2. Пусть 7 = (х О С: ~х( = г) и )а! и' г. Доказать равенство ~ Поскольку на окружности у выполняется равенство х = гег", О < р < 2а, то ( г(х (гйг йх = ( е '"4)г, — — = д)г, Щ = гг()г = — —, е х то интеграл 1 сводится к интегралу второго рода по ориентированному в положительном напра- аленин (протнв хода часовой стрелки) контуру Г = (7, .(.,): 1= — и =- ' — ==- l дх /' йх / г(х = — и' = — (г х/х — а)з 1 х(х — а)(~ — о) ( з(г — о)(х — о) Так как у= г'г ', то (г / с(х 1=— д ./ (е — а)(х — — ') г Если контур Г окружает точку о, то по формуле Коши (1) получим: г )-' 2гг г" г ') 2 з ~ з 3 1 = — — а — — = -2яг(~а~ — г ) = 2яг(г — /а! ) а ~, б) Если ~о~ > г, то контур Г окружает точку —" и в силу формулы (!) имеем: г г 2яг г' г 1 = — ~ — — а) = 2яг((о~ — г ) а 1 о Обьединив обе формуды в одну, получаем; 1 = 2яг !Па) — г ! 3.
Вычислить интеграл 1 = / х йп з Аг, Г = (7, )ър), 7 = (х б С: |4 = —, )ш х > О). г М Поскольку 1 б А(С), где 1'(х) = е йп х, то в любой односвязной области, содержашей кривую 7, функция 1 имеет первообразную Р(х) = -хсоз х+ йп х. Применив формулу Ньютона— Лейбница, получим: 1(х)ех = О (Ь = 1, пз — 1), Г» = (7», 'у» ). м Необходимость. Пусть функция 1 имеет в области Р первообразную. Тогда Т(а) х=о, Г=(7,~,), г где у С Р вЂ” любая замкнутая кусочно-глаакая кривая. (2) Р 1=(-хсоз х+з!и х)) =2 Параметрическое представление кривой имеет вид )г = — е*~, -я < ( < О.
Тогда а = —,е ' = — —, — начальная точка кривой Г, Ь= -;е" = —, — ее конечная точка, ° . 4. Пусть функция 1 аналитическая в конечной ш-связной области Р, ограниченной замкнутыми кусочно-гладкими кривыми 7„1„..., 7 . Локазать, что для сушествования первообразной функции 1 в области Р необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства б 6. Ивтеграл тапа Коши Для данного 1 < а < пг — 1 выберем кусочно-гладкую замкнутую кривую Г так, чтобы функция 1 была аналитической в двусвязной области с положительно ориентированной границей Г гз Г» (или Г»з Г). Тогда по теореме Коши для неодносвязной области имеем 1(з)дг = О. Достаточность.
Равенство (2) для любой замкнутой ориентированной кривой Г = (7, 7.,), 7 С Р следует из равенств (1) и применения теоремы Коши шш односвязной или неодносвязной области. В. 5. Пусть 1 6 А(Р), Р = (г б С: ~1з~ < Л) и 1 непрерывна в замыкании Р. Вычислить интеграл 1 = 1(з) дк ду. свми м Применив теорему о среднем, получим и з 11» „з 1 = / рбр / 1(реги) др = 2яу(0) = лу(0)(Я вЂ” г ). о 2 ь ф 6. Интеграл типа Коши В теории функций комплексного переменного значительное место занимает интеграл типа Коши, являющийся обобщением интеграла Коши.
6.1. Определение н основное свойство интеграла типа Коан. Интегралои типа Коши называют интеграл вида ~ ж)д( 2яз,г' ( — г ' г где Г = (7 7 р) — ориентированная гладкая или кусочно-гладкая кривая, 1 — непрерывная функция чг б 7. Если 7 — спрямляемая кривая, то требуем, чтобы 1 была суммируемой на 7 (кривая Г называется спрямляемой, если ее параметрическое представление Гз является функцией ограниченной вариации на отрезке Р = [а, Ь)). В случае, когда путь .Г замкнут, а à — аналитическая функция в замкнутой области, ограниченной контуром .г, то интеграл типа Коши совпадает с интегралом Коши, т.е. Р(г) = У(з).
Ф" ( ) = — ' у о( 1 1(ГЩ (и б Щ 2 (,/ (à — ) + ' г (2) (т, е, ик получают формоаьиьгм дифференцированием под знаком интеграла (1)). Следовательно, интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши. Основное свойство интеграла типа Коши сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Интеграл типа Коши ииеет производную любого порядка в любой точке з Е С, ие принадлезкащей кривой 7, и эти производные определяютсв следующими равенопвами 176 Гл. 4, Интегрирование в комплексной плоскости. М Применим метод математической индукции. Пусть з б С вЂ” произвольная точка и е К 7. Покажем, что Р'(з) существует и вычисляется по формуле (2) при и = 1.
Рассмотрим выражение Р(+Д)-Р() ! 1 / ( — — У(() — — 4( = Дз 2ага Да,( ), à — з — Дз ( — з/ г .У(()Д 4( 1 / И>4С 2ла Дз / (( — л — Дз)(( — а) 2ага / (( — л)(( — з — Дз) Оценим модуль разности Р( +Д )-Р() 1 //(()4( Дз 2л» / (ь' — л)! !' /' ( 1 а~ Да /' 7'(() а(( — У(() ,~4( = — / 2ла' 7 ~(( — з~(С вЂ” а — дз) (( — г)! ! 2ла 7 (à — з)а(( — з — дз) Выберем /Д4 настолько малым, чтобы (а + Да) К 7. Очевидно, существуют такие числа ро > О и М > О, что апГ !( ! «> Ра Р(7, + Дз) = ап( /( — з — Да/ > ре )~(()( < М )а( б ге'! ге! Тогда ауе > О справедлива оценка Е(з+ Да) - Г(з) ! Г У(Г) М(Да~В а(( « е, Да г.а./ (Г- )' 2лр! г а,' если !Да) < мсз, где Ь вЂ” длина кРивой У.
Таким обРазом, Р (а) = — / 1 / У(0 2ла / (( — а)' г Предположим, что утверждение справедливо для и = й и покюкем, что из этого предположения следует справедливость утверждения для и = й + 1, Имеем Р!"а( + Де) — Г!'а( ) й! / /' 1 Дз 2агаДз,/ ( (( — з — Дз)а ы (( — г)ьы / — / У(() ~ — 4( г )а! / (à — а) +' — (( — з — дз)вы = — /У(() 4(= 2агадз 7 (ь — л — да)"+'(( — з)! ы г (à — з)~~' — ~ (-1)аС~ь,а(à — з)ь+а 'Дзз й! /' !=а 2ладз 7 У(0 (( з Дз) ч (( — л) г ьа! Е( — 1)а+'С„ы(à — л)ь+! адгз ' Е(-1)аса+,'(à — а) здза й1 /' а=! )а! / ус — '., У(0, кГ= —,, Ы) 2ла' у (à — з — дз)"+'(( — л)»ы 2ла,у (à — з)ьаа(à — е — дл)ь+! Оценим выражение еб.
Интеграл типа Коши 177 Р!й'(гц-ГЗ ) — Р!й!(г) (а+1)! р Г(Г)б( йбг 2кю / (б — г)й+' г 2 (-1)2С'„",,(( — )й-'Д вЂ”. '1 т) 2юп' ( (б — г)йб!(( — г — Ьг)йб! 1 а+1 ((- )"' бб 2.(-1)'С'„,",(( — )""-'Л ' — (а+1)(б — г — Ьг)"! 2212 / У© (( г)йбг(( г Дг)йю! г (Ь + П ((( — .)"" — (С - г — Ьг)"" ) + ~-(- 1) С',",',(( — .)"'- 21г — У(() 2лю / (( — г)й~г(б — г — ййг)йб! бб г йб! й ()г+ 1) ~(-1)б+!С'„ю(( — г)й ю 22)бг! + ~( — 1)2С'"!(( — г)йы 2Дгб ! — У(() 2яю',/ (( — г)йбг(( — г — бйг)йб! бб г йХ ~бйг1М)У Е < ' = В)бл4 < г, ЕСЛИ !йй4 < —.
2яр2"" В а В полученном неравенстве )ю — постоянная, зависящая лишь от й и р,. Таким образом, формула (2) справедлива при и = й + 1, а значит и чи Е (б(. Ь Следствие. Аналитическая в области Р С С функцию 2 имеет производную любого норядка 7!"2(г) бтг Е Р. М ПУсть гю ŠР— любаЯ точка. РассмотРим ее б-окРестность Кб = (г Е Р: 1г-гю) < б) 4 Р. Согласно интегральной формуле Коши, имеем у(г) = —. / Т у(() 2лю / ( — г 'з кб Рассмотрим некоторые факпл, непосредственно следующие из свойства бесконечной дифференцируемости аналитической функции. 6.3. Гармоничность действительной и мнимой частей авалитвческой Фуиавви.
Восстановление аввдитвчесаой фувацви по ее действительной (мнимой) части. Оирепелеиие. бтвамсды диффвренцируемоя функция и: мй -! Ж, Р = б, называется гармонической в области б, если она удовлетворяет в В дифференциальному уравнению Ланласа Поскольку интеграл Коши является истным случаем интеграла типа Коши, то функция у имеет производные всех порядков в точке г,.
Поскольку г, б Р— произвольная точка, то 27(г Е Р, и Е Щ ЗУ!"!(г). > Полученное следствие можно кратко записать в виде Г Е А(Р) =О йб(г Е Р, и Е Щ зг "!(2) Л 2'"'(г) б А(Р). Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. 178 аги 8)и ази = — + — = О (1) ах' ау' в' е' Дифференциальный оператор го = е -т + — т называется операторам Лапласа. Пусть р = и+ ае, у б А(Р), Р С С вЂ” односвязная область. Из бесконечной днфферен- цируемости функции Р следует, по функции и и ч имеют в каждой точке области Р частные производные любых порядков.
Запишем условия Коши — Римана аи ая аи де ах ау' ау а*' Продифференцируем первое равенство в (2) по х, второе — по у и сложим полученное, в'. в' приняв во внимание,что а,а = а„+„-. Имеем 8)и 8)и Ьи= — + — =О. дх' ду) Аналогично получаем равенство Ьч = О. Следовательно, действительная часть и и мнимая часть ч аналитической в области Р функции У являются гармоническими функцнямн. Функцию я принято называть гарманыческн саярлзкеннай с функцией и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
