Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Отобразить круг К = (з б С: ~4 < 1) на себя так, чтобы заданные точки гп вз внутри хрущ перешли в точки жа (О < а < 1). 24. Отобразить круг К = (з б С: !4 < 1) на себя так, чтобы отрезок действительной оси 7 = (г Е С: 0 < Кег < а (а < 1), 1шя = 0) перешел в отрезок действительной оси, симметричный относительно начала координат. Найти длину преобразованного отрезка. Упражнения для самостоятельвой работы 25. Доказать, что при отображении круга на круг линейное преобразование однозначно определяется заданием образов одной внутренней и одной граничной точек. 26. Доказать, что если линейное преобразование имеет две неподвижные точки, то произведение производных в этих точках равно единице.
27. 1) Выяснить, для каких значений т функция м = Л(з + шг"), где и Е И, осуществляет конформное отображение круга К = (з Е С: [х[ < 1) на некоторую область, и найти эту область. 2) Выяснить зти же вопросы для отображения внешности круга К при помощи функции м = )2 [з Ч-,— „) и внутренности того же круга прн помощи функции м = В (-,' + пзл"). 28.
Полуплоскость Р = [з Е С: 1ш з > О) с разрезом по луге окрухсности 7 = (з Е С: [з[ = 1) от точки з = 1 до точки з = е', где 0 < а < г, отобразить на верхнюю полуплоскость. 29. Отобразить на верхнюю полуплоскость внутренность угла 0 < агдз < я)3, где 0 <,3 < 2, с разрезом по луге окружности 7 = (х Е С: [х[ = 1) от точки з = 1 до точки з = е' , где 0 < а < (3.
30. Отобразить на верхнюю полуплоскосзь внешность единичного верхнего полукруга с разрезом по отрезку [О, -1) (внешность лопатки). 31. Найти преобразование полярной сетки с помощью функций: 1) м = - [з — -); 2) м = -,' [ х -~- — ') (а > О); 3) м = 1' (л Ч- '— ), с = [с[е*т (О < 7 < к). 32. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного круга с разрезами по отрезку [-а, — 1) и лучу [1, Чсо), где а > 1. ЗЗ. Круг К = [л Е С: [з[ < 1) с разрезом по отрезку [а, 1), 0 < а < 1, отобразить на круг К' = (м Е С; [м[ < !) так, чтобы м(0) = О, в'(О) > О. Найти м'(О) и длину дуги, соответствующей разрезу.
При каком значении а разрез перейдет в полуокружность? 34. Круг К = (з Е С: [з[ < 1) с разрезами по отрезкам [а, 1), [ — 1, — Ь! (О < а < 1, 0 < Ь < 1) отобразить на круг К' = [м Е С: [м[ < 1) так, чтобы в(0) = О, м'(О) > О, Определить и'(О) и длины дуг, соответствующих разрезам. 35. Отобразить внешность единичного круга С = (х Е С: [з[ > 1) на м-плоскость с разрезом по дуге агд Я = () (О < [()[ < л) так, чтобы м(оо) = оо, агд м (со) = а. 36. Выяснить, во что преобразуются при отображении м = е*: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) прямые у = )ел+ Ь; 3) полоса а < у < (3 (О < а < () < 2л); 4) полоса между прямыми у = х, у =х+ 2к; 5) полуполоса х < О, 0 < у < а < 2к; 6) полуполоса х > О, 0 < у < а < 2л; 7) прямоугольник (а, 11) х (7, Ь) (б — 7 < 2а). 37.
Выяснить, во что преобразуются при отображении м = 1и г: 1) полярная сетка [г[ = )2, агдл = Р; 2) логарифмические спирали г = Аеьг (А > 0); 3) угол 0 < агд з < а < 2я; 4) сектор Я = (з Е С: [з[ < 1, 0 < агд х < а < 2к); 5) кольцо К = [з Е С: г, < [з[ < гз) с разрезом по отрезкУ [гп гз). Зй.
Выяснить, во что преобразуются при отображении и = агсз!и з: 1) верхняя полуплоскость; 2) гшоскость с разрезом по действительной оси вдоль лучей (-оо, -1), [1, +со); 3) первый квадрант; 4) полуплоскость Р = (е Е С: Вез < 0) с разрезом по действительной оси вдоль луча (-со, -1). 39. Выяснить, во что преобразуются при отображении и = 16 з: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полуполоса Р = (з Е С: 0 < Вез < я, 1ш з > 0); 3) полоса С = (а Е С: О. < Вез < я); !48 Гл.
3. Элементарные функции в комплексной плоскости 4) полоса 2) = (» б С: О < Ке» < 4 ); 5) полоса 2У = (» Е С: — 4 < Ке» < —, ); 40. Выяснить, во что преобразуются при отображении аг = с!6% Ц полоса Р = (» Е С: 0 < 1гп» < 'г); 2) полуполоса Р' = (» Е С: Ке» > О, 0 < 1т» < з'). 41. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, заключеннукг между софокусными параболами у' = 4(х+ 1), д = 8[х+ 2). 42. Найти функцию аг = аг(»), отображаюшую область, ограниченную окружностью у = (» б С: ~»( = Ц и прямой, уравнение которой !т» = 1 (полуплоскость Р = (» Е С: (т» < Ц с выкинутым кругом); Ц на круг !з = (ег б С; (ег~ < Ц с нормировкой аг(-3() = =',+', аг8 ю'( — Зг) = —,. 2) на верхнюю полуплоскость с нормировкой х( — Зг) = 1+ г,агйаг'(-Зг) = л. 43.
Отобразить на верхнюго полуплоскость гюлосу 6 = (» Е С; 0 < Ке» < Ц с разрезами вдоль отрезков (О < х < 6н у = 0) и (1 — 6, < х < 1, у = 0) (6, + 6, < 1). 44. Отобразить на верхнюю полуплоскость полуполосу 2) = (» Е С: 0 < Ке» < л, (гп» > О) с разрезами вдоль отрезка уг — — (» Е С: Ке» = —,, 0 < 1пг» < 6г ) и вдоль луча уг = (» б С: Ке» = ф, 6г ~ ((т» < +.огу (6г > 6 ). 45. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную окружностями уг — (» Я С: (» — 1( = Ц, 7г = (» б С:!» + 1! = Ц с разрезом по лучу уг = (» Е С: 2 (~ Ке» < +со, 1гп» = О). 4б.
Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную окружностями у, = (» Е С Ц» — 1( = Ц, уг —— (» Е С Ц» — 2~ = 2) с разрезом вдоль отрезка уг = (» Е С: 2 < Ке» < а, 1гп» = 0) (а < 4). 47. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную окружностями 'уг = (» Е С: (» — 1( = Ц, 'уг = (» Е С: (» — 2~ = 2) с разрезами вдоль отрезков 7г=(»ЕС:2<Ке»<а, 1пг»=О) и 7» —— (»ЕС:Ь<Ке»<4, 1пг»=0) (а<Ь). 48. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную округкностями у, = (» Е С: ~» — Ц = Ц, уг — — (» Е С: 1» -Ь 1( = Ц с разрезом по отрезку 'уг = (» Е С: Ке» = О, -а < 1т» < )З) (а > О, гЗ > 0). Глава 4 Интегрирование в комплексной плоскости.
Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши Главное внимание в этой главе уделяется интегральной теореме Коши, одной из основных теорем всей теории анатитических функций. С ее помощью устанавливаются глобатьные свойства аиатитических функций. Вместо неопределенного интеграла рассматривается интеграт Ньютона — Лейбница, облалаюший многями достоинствами, Операция интегрирования в смысле Ньютона — Лейбница является обратной по отношению к операции дифференцирования. 4 1. Интеграл Ньютона — Лейбница 1.1. Первообразная.
Определение 1. Пуст~ У: С С и множесн~во Рг не имеет изолировонных точек. Функция Р: С С называется пер вообразной функции у, если Рн = Рг и )зг В Рг с ( ) = у( ) Пусть с — первообразная функции у. Так как гг(г б РР С 6 С) (Р+С)'(г) = с'(г), то У+С также является первообразной функции У. Поэтому первообразная определена неоднозначно и специального обозначения не имеет. Исследуем характер неолнозначности первообразной. Нам понадобятся понятие кусочно- гладкого пути (см. определение 6, и. 2.9, гл. 2) и неравенство Лагранжа (см. и. 4Л, гл.
2). Определение 2. Множество У С С называется линейно-связным, если дт любых точек г~ Е Я, гз Е Я существует кусочно-гладкий путь, соедиьтющий их и лежаьций в множестве о. Теорема 1. Пусть У С ь С и Рг — линейно-связное множество, содерзкащее более чем одну точку. Если чг Е РГ У'(л) = О, то функция У постоянная. щ Пуси г, Е Рг, сз В Рг. По определению линейно-связного множества существует кусочно-гладкий путгч соединяющий точки хн лз и лежащий в множестве Рг.
Следовательно, найдется такая непрерывная функция [а, Ь[ - Рг, что )ь(а) = г,, ы(Ь) = г, и уз'(() существует всюду, кроме конечного множества точек. Занумеруем их в порядке возрастания Гь = а < 1, « ... Г„= Ь. Согласно неравенству Лагранжа, имеем [(Уь Р)(1„) — (У Р)((ь,)[<[[У' уг'[[(Гь-(ь,)=О (Ь=), .) Таким образом, (У о Зз)(вь) — У(л~) = (У ь уз)(1 ) У(сз), т Теорема 2. Пусть сг и лз — нервообразные функции У: С С, определенной на линейносвнзном множестве.
содержащем более одной точки. Тогда существуепз такая постоянная С Е С, что ьул Е РГ ез(л) = Р~(а)+С. Ь 150 Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. < Рассмшрим функцию Р = Ег - ры Так как тгх б Рт Е'(х) = Ет(х) — Е,'(х) = О, то„согласно теореме 1, функция Н постоянная. м Предлагаем читателю составить таблипу пераообразных основных элементарных функций. 1.2. Интеграл Ньютона — Лейбница. Определение.
Пусть 1: С ч С и Рг — линейно-связ«ое множество„содержащее более одной точки. Функции ( называется интегрируе ной в смысле Ньютона — Лейбници, если оно имеет первообразную. При этом Уа б Рт Функция Е в (1) называется иитегролои Ньютона — Лейбница с фиксированныи нижним пределом интегрирования а и переменныи верхним пределом. Ее значение Е(Ь) называется определенным ь интегралом Ньютона — Лейбница и обозначается 1 1'(() йЬ, где Ь" — переменная интегрирования, от выбора которой величина интеграла не зависит, т. е. Запись ) 1(х) дх не имеет смысла, поскольку буква х используется лля обозначения верхнего предела интегрирования.
Теорема 1 (формула Ньютона — Лейбница). Пусть ); С С, Рт — линейно-связное лгножество, содержащее более одной точки. Если функция ( интегрируемо в смысле Ньютона— ь Лейбница и Ф вЂ” ее первообразная, то ьх(а б Рт, Ь б Рт) интеграл ~,1'(Ь) дй существует, определен однозначно и справедлива формули Ньютона — Лейбница Т(~) йь = Ф(ь) — Ф(а) = ФЯ/ (2) щ Полагаем рх б Рт Е(х) = Ф(х) — Ф(о). Тогда Е(а) = 0 Лтгх б Рт Е'( ) = Ф (х) = У(х). Согласно определению, имеем ь И) б( т Е(Ь) = Ф(Ь) — Ф(а).
Убедимся в том, цо интеграл определен однозначно. Пусть ,((()бС = ф(Ь), ф(а) = Олух б Рт ф (х) = 1(х). По теореме 2, п.1,1, существует постоянная С: Ух б Рт ф(х) = Р(х) + С. Полагая х = а, получим, по С = О. Следовательно, ф(Ь) = Р(Ь), т. е. интеграл определен однозначно. щ Ф 1. Интеграл Ньютона — Лейбница 15! Теорема л.
Пусть у ) С -) С и Рг — линеино-связное мпозкество, состоящее белее чем из одной точки Если функция У интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница, то справедливы равенства: ь у(я) йг = — з~ у(х) йя ч(о б РР Ь б РГ), ь ь ь )'(я) йя = / г'(х) йл+ / г'(г) йз М(а б ВР Ь б ВР с б РГ), )(((О~() =П*) г(.
яг ь ь,), < ь /')(О(() = -л ) ч(. я„ь,). (3) (4) (5) (6) Ы Пусть Ф вЂ” первообразиая функции /, Согласно формуле Ньютона — Лейбница (2), имеем у(я) йз = Ф(Ь) — Ф(а) = -(Ф(а) — Ф(Ь)) = — / У(л)йя, ь ь ь гг(г) йе = Ф(Ь) — Ф(а) = Ф(Ь) — Ф(с) + Ф(с) — Ф(о) = / у(г) йг+ / у(г) йг, с ) )(()(() =(Ф() — ь\))'=Ф()=((*), < ь ) у(() й( = (Ф(Ь) — Ф[я))' = -Ф'(г) = -У(з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
