Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Композиция отображений ю, =е*ьз, Рае. 63 ы=е '=е л л юз = -гдг г( решает поставленную задачу. Ы и' и' и = сокусЬС, е = япукЬС, —, +, = 1. сь' С кйг С Получили семейство софокусных эллипсов с фокусами в точках Ке х = х! . Если у = С, то и е и = сокСсьх, в = к!пСкьх, — — —, = 1.
сь' С кй' С Прямые у = С преобразуются в семейство софокуспых гипербол с фокусами в точках Ке е = х) 2) При у = 0 и = сЛ х, е = О, а при у = л и = — сь х, е = О. Фуггкция м = сЛ к отображает полосу С на всю плоскость с разрезами по лучам ( — оо, — 1], ]1, +со). 3) Поскольку ге(0) = 1, ш(лл) = — 1, то отрезок ]О, ггг] переходит в отрезок ]-1, 1] и направлению движения от точки 0 к точке гл соответствует движение по направлению от точки 1 к точке — 1.
При этом точки плоскости ш по правилу обхода находятся слева, т. е. приналлежат нижней полуплоскости. При к = х, х ь — гю луч ( — оо, 0] переходит в луч ]1, +ос), а при з = х+ (л, х ь -оо функция ы(з) = — сьх имеет предел -оо и луч у = (е б С: Кех < О, !шх = гл] перейдет. в луч ( — оо, — 1]. В соответствии с правилом обхода полуполоса Р отображается функцией ге = сь х на нижнюю полуплоскость.
я 104. Отобразить на верхнюю иолуплоскость полуполосу С = (х б С: Ке - < 1, 0 <!гпе < Ь]. м Композиция отобрюкений ич = е — 1, ы, = -гег переводит полосу С на полосу Р из прилгера 103, 3). ](оэтому функция мз = сь гез отображает заданную область на нижнюю полуплоскость. Следовательно, Гл. 3. Элементарные фувкции в комплексной плоскости 142 106. Отобразить на верхнюю полуплоскость круговую луночку, ограниченную окружностями Г = (х Е С: )з) = 2) и Т = (з Е С:)з — Ц = 1), и Функция ю, = —,*, отображает круговую луночку на вертикальную полосу С = (цч Е С: 0 < Кем, < -,'), а функция зез — — 2кни, отображает полосу С на горизонтальную полосу Р =- (мз б Г: 0 < 1гпиз < а) (см. рис.
64) Тогда функция зе = е ' = ез"' ' = е *-' отображает луночку на верхнюю полуплоскость (см. свойства показательной функ- ции). и 107. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, огра- ниченную окружностями Г = (з Е С: )з~ = 2), у = (з 6 С: ~з — 3) = 1) (плоскость с выброшенными кругами). м Искомое отобрюкение ю является композицией ю = е* ', где ю, = -'ти„ю, = '~ (см. рнс.б5) Таким образом, В .44 ез зе=е Т' — з Рее. 65 108. 1)тобразить на верхнюю цолуплоскость область, определенную неравенствами 1з — 1) > 1, )з Ч- 1) > 1, !гпз > О (верхняя нолуплоскость с выкинутыми полукругами).
и Функция и, = — ',+' отображает заданную область на полуполосу С = (ю, б С: 0< Кем, <2, 1тм~ < 0), а функций мз = з и, переводит С в полунолосу Р = (мз б С: О < Кемь < к, 56. Тригонометрические и пюерболические функции !43 !юшз < О). Из свойств функции 6 ~ соз6 следует, что функция ш = созш, = соз-Щ)— искомая. (см. рис. 66) ш 109. Отобразить на верхнюю полуплоскость полуполосу С = (г б С: О < Ке з < +со, — ! < !ю а < Ц с разрезами по отрезку (О, Ц и лучу (2, +со).
и Требуемое отображение ш определим с помешаю композиции элементарных преобразований; ш, = лз, ш, = е"', ш, = (шз+ „— '), ш, = -"-' —,,„-; —, ш = lш,. Послеловательные преобразования отражены на рис.67. ш Рве. 67 110. Найти функцию ш(л), отображаюшую область, ограниченную окружностью Г = (з 6 С; (з! = Ц и прямой 7 = (з Е С: !те = Ц (полугпюскость ш = (з Е С: !пз !з! < Ц с выброзпеыным кругом К = (а б С: (з! < Ц) на круг К = (ш Е С: (ш! < Ц с нормировкой ш( — 31) = О, агам~(-3!) = з. м Функция ш, = *+', отображает множество С на вертикальную полосу 27 = (ш~ Е С: О < Кем~ < Ц, а функция шз = зщ — †, переводит .Р на полосу 27' = (шз Е С; — к < Кеша < к З . Гл.
3. Элемевтариые функции в комплексной плоскости 144 Полагая получим отображение полосы 2)' иа единичный круг с центром в начале координат (см. рис. 6В). Рес. 68 Подставив в юз г = -Зз, получим юз(-Зз) = О, Дифференцируя вз(з), находим: 3;г л к юз(а) = —,, ю,(-3з) = з —, ащюз(-Зз) = —.
(а-з)зсозз 4 (-~~ ) 16 2 Далее полагаем ю = ю(вз) и требуем выполнения условия нормировки агйю (-Зз) = -. Дифференцируя ю по переменной з,имеем йзи лю люз г(ю(а) Ию(юз) ) дюз(а) — — — агй— =ащ — ~ +ага— з(вз йа йа з лзиз или л, л л я — = ащю'(0) -з- —, откуда ащю'(0) = — — — = — —.
3 2' 3 2 6 Функция ю = ю(юз) долхгна удовлетворять условиям ю(0) = О, агй ю'(0) = — —. Слеловательно, ю=е 'тюз=е ззщ — = щ— принимая во внимание равенство щи = -з 1)з зз, можно представить ш(х) в виде 1+ зи3 згз(а+ 3!) ш = — — з)з 2 4(а — з) 111. Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу 6 = (а б С: 0 < Ке а < 1) с разрезом вдоль отрезка у = (л Е С; 0 < Кеи < Л, !газ = 0) ()з < 1).
м Функция ю, = ла отобрюкает полосу О на полосу 2) = (ю, Е С: 0 < Кею, < к), а функция ш, = сов за, отображает полосу В на всю плоскость с разрезами по лучам ( — со, — 1] и (совий, 4.со). Тогда шз — соакй совки — спаяй зиз+ 1 1+ соила — требуемое отображение.
и 112. Отобразить на верхнюю полуплоскость полуполосу С = (з б С: 0 < Кеа < л, !пза ) 0) с разрезом вдоль луча т = (а Е С: Кеа = — ",, й < !та < +со) (Л > 0). и Полагая ю, = сов 2а, получим отображение множества 6 на всю плоскость с разрезами по лучам (-оо, — ей 26! и (-1, +ос). Функция в, = лзгЯ- отобрюкает плоскость с указанными Упражнения для самостоятельной работы 145 разрезами на всю плоскость с разрезом по лучу )О, +ос).
Слеловательно, со525 + сп 26 с0525+ 1 — искомое отображение. М 113, Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную мнимой осью и окружностью Г = )5 Е С: !з — 1~ = 1), с разрезами вдоль отрезка Ъ = 15 Е С: 2 ( Ке5 ( а, !пэ 5 = 0) и вдоль луча 72 — — 15 е с: ь < кез < +ж, 1205 = О) (а < ь). М Полагая в2 — — -', получим отображение указанной области на вертикальную полосу Р = )в2 Е С: 0 < Кеэи2 < 1) с разрезами по отрезкам !О, -'1 и 1-', -,'1. функция вэ — — 2лэи, 2 г отображает множество О на вертикальную полосу Р = (вэ Е С: 0 < Кевэ < л) с разрезами по отрезкам )О, 2 ) и ~ — ', и], а функция в2 — — сох вэ отобразит полосу Р на всю плоскость с разрезами по лучам (- ю, со52, 1 и )005 2в ', +со) Полагая 2 С05 В2 — С05— ь в4 2 С05 Вэ — С05— получим всю плоскость с разрезом по положительной действительной полуоси.
Таким образом, 2 2 СО5 — — С05— = 2ГВ4 = С05 — — С05— — требуемое отображение. в Упражнения для самостоятельной работы 1. С помощью отображения эи = 52 Найти образ круга К = 15 Е С; !5 — 1, '< 2). 2. Доказать, что если точка г описывает окружность 7 = 15 Е С: !4 = 2), то точка эи = 5 — 22'+— описывает эллипс с главными осями, равными 5 и 3. 3. Найти образ первого квадранта 5-плоскости прн отображении 4. Доказать, что функция в = ( —,* ) взаимно однозначно и конформно отображает область г О = 15 Е С: !4 < 1, 1гп г > О) на область Р = 1в Е С: 120 в > 0).
5. Найти образ области С = (5 Е С: !5( < -') при отобрюкении =( — ':)' б. Найти образ области О = (э Е С; 15( ( 2, 0 < агйе < —,) при отображении в = (*т-+25) 7. Найти образ множества Р = 15 Е С: Ке 5 > 0,120 5 > 0) при отображении 2 8. Множество Р = !5 Е С: 15! ( 1, Кеэ )~ 0) отобразить с помощью функции 9. Доказатгь ЧтО фуикциЯ 22 42 22 224 2422- 2 однолистно и конформно отобрюкает область Р = (з Е С: !з! < 1, 0 < агаи < —,) на область Р = 1в Е С: ~в! < 1). 146 1 л. 3. Элементарвме фувкции в комплексной плоскости 10. Найти образы указанных областей при заданных отображениях: ъ 3 а) й = (з б С . ф < 2, 1ш з > 1), в = — (-* — +Я:-'-) ъх б) ъг = (г Е С: )я! > 2) гз (з Е С: |з — ъ'2~ < ъ'2), в = (-'= — д~-';:о ); ъз в) С = (с Е С: )4 < 1) и (с Е С: ~я + 1~ > 1), и = — (-; — "7з — ":) 11.
Найти степенную функцию, отображающую взаимно-однозначно и конформно внутренность угла 0 < агй з < -„на всю комплексную плоскость и с разрезом по лучу агйв = -", . 12. Найти функцию, отображающую однолистно и конформно внутренность угла О < агб(я — г — 1) <— на область й = (в б С: Ке ю > О). 13. Найти функцию, отображающую взаимно однозначно и конформно внутренность угла --", < агй(г — г) < -„ на верхнюю полуплоскость. 14. Найти функцию, осуществляющую взаимно однозначное и конформное отображение внутренности угла — — < агя(з — а) < — ', на область 6 = (в б С: 1ш и > 0). 15.
Найти функцию, отображающую однолистно и конформно область 6 = (г б С: Ке з > О, 1ш г > 0) на область 2) = (в Е С: Рею > 1). 16. Найти целую линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами в ~очках О, 1, г на подобный ему треугольник с вершинами О, 2, 1+ г. 17. Найти целое линейное преобразование с неподвижной точкой 1+ 21, переводящее точку г в точку -г. 18.
Для указанных преобразований найти конечную неподвижную точку зь (если она сушествует), угол поворота вокруг нее а и коэффициент растяжения к. Привести эти преобразования к каноническому виду в — яе = Л(з — зе). !) в = 2з 4 1 — Зг; 2) и =(з-~4; 3)вг я+1 — 2г; 4) и — ю, = а(з — з,) (а гь О); 5) в = аз + Ь (а и' О). 19. Дана функция в = -';:-*г. !) Доказать, что прообразом семейства а = (ю Е С: ~в! = Л (О < Л < +ос)) является семейство окружностей (окружности Аполлония) Для данного Л найти радиус и положение центра соответствующей окружности в я -плоскости. 2) Найти прообразы лучей ахи = К 3) Построить сетку в з-плоскости, соответствующую полярной сетке в и-плоскости. 4) Найти область я-плоскости, соответствующую полукругу К = (ю б С; |в( < 1, 1гп ю > 0), 20.
Найти общий вид дробно-линейной функции ю = в(г), отображающей круг К = (з б С: ф < 1) на правую полуплоскость Р = (в Е С: Ке ю > О) так, чтобы в(з,) = О, в(я,) = со, где з, и я, — заданные точки на окружности дК и такие, что асяс, < агкз,. 21. Найти центр ие и радиус В окружности, на которую функция в = -': —,*-~ отображает действительную ось (1т я, ~ 0). 22. Найти общий вид дробно-линейной функции и = в(з), отображающей круг К = (з б С: ~4 < В) на себя при следующих условиях: 1) в(а) = 0 ()а) < Я); 2) в(а) = Ь ()а~ < В, /Ь~ < В); 3) и(~В) = ~В. 23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
