Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 36
Текст из файла (страница 36)
2) Отобразить кольцо К = (» Е С ! ! < )» — 2с~ < 2) на кольцо К, = (в Е С ~ 2 < !в-3+2с~ < 4) так, чтобы в(0) = — 1 — 2с. м Воспользуемся теоремой: для того чтобы существовало конформное отображение кольца К' = (» Е С ~ г, < !4 < гс) на кольцо К" = (в Е С ~ Яс < !ш) < Щ, необходимо и достаточно выполнения условия -„л = .'„з. При этом отображающая функция может быль только двух аидов: а в=а» или в=-, аЕС.
Отображение однозначно определяется заданием одной пары соответствующих друг другу гра- ничных точек. 1) Очевидно, что в данном случае отображающая функция имеет аид в = '-, так как по условию внутренняя окружность кольца К доюкна перейти во внешнюю окружность кольца К,. Из соответствия точек находим: -4 = -„а = -20.
Следовательно, 20 » 2) Полагаем в, = » — 2с, вс —— в — 3+ 2с. Тогда 1 < !шс! < 2 и 2 < )вз) < 4. Задача свелась к отображению одного концентрического кольца на другое, причем - = -,. При этом 4 с ш~ — — -2с ~-~ -4. Здесь внешняя окружность одного кольца переходит во внешнюю окружность другого кольца, поэтому вз —— ав,, т. е. в — 3+ 2с = а(» — 2с). Постоянную а находим из условия -4 = -2!а, откуда а = -2с.
Окончательно получаем: в = 3 — 2с — 2с(» — 2с) = 3 — 2с — 2с» — 4 = -2!» — 1 — 2с = -(2с» + 1 + 2с). ш 68. Полуплоскость Р = (» Е С: ке» > О) с выкинутым кругом К = (» Е С; !» — Л! < )2) (Л > )!) отобразить на кольцо К' = (ш Е С: р < )в/ < 1) так, чтобы мнимая ось перешла в окрулсность т = (ш Е С: )в/ = 1) . На()ти р. и Найдем точки ша, симметричные одновременно относительно окрулсности дК = (» Е С: !» — 61 = )2 и мнимой оси. Они удовлетворяют условию (Л вЂ” а)(Л+ а) = )с', т.е. Л' — а = )2, а,, = шт/Л' — Я». Отображение в ищем в виде и» вЂ” т/Лт — Ф шше, дб!й. »+ Я+)2~ 124 1л.
3. Элементарные функции в комплексной плоскости При» = гу имеем .в (у — х/йз — 22з,в (у — /йТ™ и = е' ,, ~зе~ = ~е' ) = 1. (у ч.;/Д вЂ” Яз (у 4.,Д2 222 Следовательно, мнимая ось отображается в окружность Т. Поскольку точка й 4 22 лежит на окружности ВК (см. рис.42), н эта окружность переходит в окружность радиуса р с центром в точке в = О, то й+К- цГ:Ку,йч-)2-,/~ ~ Р= й -Ь й-Ь/йз — 2(з % + Л(+ й:К Л х/аз Кз й Ь з Рае 47 69.
Полуплоскость Р = (» е С ~ Ке» > О) с выкинутым кругом К = (» е С: !» — Л~ < 1) (й > 1) отобразить на кольцо К' = (ге 6 С ~ ! < !в~ < 2). Найти й. м Воспользуемся решением предыдущего примера. Поскольку должно выполняться условие (ге( = 2, то ю = е' 2, В 6 !К. (1) »~Л2 — 1 Полагая в формуле для определения р в предыдущем примере р = 1, Л = 1, находим: 1 = 2 (й — ХГ/йз — 1), й =— 5 4 (предварительно умножив правую часть формулы на 2, принимая во внимание (!)). Подставив в (1) й = -,, окончательно получим; 2 *в 2» »+ 24 окружность радиуса р, то 2. 12 24 2 12+ 24 36 3 Так как точка » = 12 б у, отображается на р= е' 2) Точку а = О отображаем в и = со, перейдет в окружность Т'. Имеем »+ 24 м=й, 1 » а точку а* = -24 — в и = О. Тогда окружность Т~ е*е й= —, Вбйх.
3 ' 36 = !й) —, 12' 4» — 3 и.= е'е2 . ° . 4»-ь3 70. Эксцентрическое кольцо, ограниченное окружностями у, = (» 6 С: ~» — 3~ = 9), уз —— (» 6 С: ~» — 8~ =!6) отобразить на кольцо К' = (зе 6 С ~ р < !ге( < 1). Найти р, и Находим точки а и а", симметричные относительно у, и тз. (3 — а)(3 — а*) = 81, (8 — а)(8 — а*) = 256. Решив эту систему, получаем а = О, а* = -24. Дальше можно решать задачу лвумя способами. 1) Отображаем а = О ~-~ ге = О, а = — 24 ~-~ и = оо.
Тогда окружность уз перейдет в окружность тз = (в Е С: !ге! = 1). Следовательно, » зе=й —. » ф 24 Поскольку точка» = 24 б уз отображается на окружность у'„то 1 = ~й~ф, ~й~ = 2, !с = 2е', В = Рх. Функция гл = зи(») принимает вид 123 бб. Тригонометрические н гиперболические функции Окончательно имеем в»124 24+24 2 ш=е", р= 3» ' 3 24 3 (точка « = 24 Е уз отображается на окружность радиуса р с центром ш = О).
)ь Прн решении некоторых задач, связанных с применением дробно-линейных функций, целесообразно пользоваться так называемой нормальной формой дробно-линейного отображения с двумя неподвижными точками. Всякая дробно-линейная функция Ь .: -"=-хч, отяичная от тожлестаенного отображения и = «, *гг имеет не более двух неподввкных точек, т.е. точек, которые при отображении Ь переходят саьти а себя. Действительно. уравнение -4Ь «=— с«4т) имеет корни .— *гт -с 'м »т,з 2с Они совпалают неллу собой, если (и — 4] + 4ьс = О, а в противном случае имеем две неподвюкные 2 точки.
Если неподвюкной точкой будет со, то зто возможна лишь в сяучае, когда с = О, т.е. когда Ь— целая линейная функция. Если жс обе неподвижные точки сливаются с бесконечна удаленной точкой, то с = О и 4 = а, что соответствует параллельному переносу. Пусть Ь вЂ” дробно-линейная функция с двумя различными неподвижными точками», н «з.
Для удобства будем изображать - и ш = А(«) точками водной плоскости. Рассмотрим также вспомогательную плоскость, в которой будем изображать переменные с и (. Полагаем ю — «т « "«т с = — = 3(ш) С = — „= 3(»). ит — »т -" — «г В случае «з = оо с = тл — »т = В(ти), ( = « — «т = Я(«) Из формул в = Я(ш), ти = Ь(»), » = 5 т(О получаем: и = (5 о б о Я )(О. Для дробно-линейной функции Всбсб ', устанавливающей зависимость между с н О неподвижными точками являются О и со, в силу чего зта зависимость имеет вид в = ОО где й — некоторая комплексная постоянная. Следовательно, данное линейное преобразование Ь можно задать в виле ш — «, » — »т — й ш — «т» — »г или, в случае »» = со, и — «т = й(» — »т).
Формулу (1) нюывают иормильлои формой дробно-линеиного отображения с двумя неподвижными точками. Поскольку я=в ш — »т» 2 (2) и — «т « — »т не зависит от «, то, полагал» = О, ш = и, получим: ь (3) й= - +йт-с' ° * Если» = оо, то й = -'„.
Различают три случая: 1) й > О; 2) й = егя (й ф О); 3) й = тети (д ф О, т и 1). В случае 1) отображение (1) называется гилерболическии, в случае 2) — элтиптитеским, в случае 3) — ликсодромическии. 71. 1) Отобразить внутренность угла 0 < агб» < тг а (О < а < 2) на верхнюю полуплоскость. 2) Отобразить угол — — < агй«< — на верхнюю полуплоскость так, чтобы ш(1 — т) = 2, 4 2 ш(з) = -1, ш(0) = О. т и 1) Очевидно, что ш = » 2) Отображение шт = («ет «) = «з ет 3 переводит внутренность угла на верхнюю полуплоскость.
Рассмотрим условия нормировки, которые удобно записать в виде таблицы 126 Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости Отображение ю = ю(ю,) имеет две неподвижные точки: -1 и О. Применим формулу (1), полученную выше: ю+! ю,+! юс — = й, откуда ю = ю се с (1с — 1)юс+ й Осталось найти й. Воспользуемся тем, что ю, = ъг4 к ю = 2.
Имеем 2+ 1 ъУ4+ 1 3~/4 Зъ 4 — 2 — =й 4, т.е. й=,, 14-1= 2 ч'4 2(ъ'4 + 1) 2(ъ'4 + 1) Подставив ю, = сзе'з в формулу для ю, получим: 2(ъ 4+ 1)е з х 3 ю= к 4 (ъс(4 4— 2)е' з зу + ЗъГ4 72. Найти функцию ю, отображающую полукруг К = (з Е С: ф < 1 л йпз > О) на верхнюю полуплоскость прн условиях: 1) ю( — 1) =О, ю(0) = 1, ю(1) = со; 2) ю(л1) = И1, ю(0) = со; 3) ю (2) = с, агам (1) < Из свойств функции Жуковского следует, что функция юс — — --' (х + -') отображает полукруг К на верхнюю полуплоскость. В каждом случае будем находить требуемое отображение ю по условиям нормировки.
1) Запишем условия нормировки в виде таблицы Ясно, что функция ю = ю(з) имеет вид 2) Условия нормировки имеют вил Отобрюкение си = ю(ю,) имеет две неподвижные точки: ю, = 1 и ю, = сс. Как показано выше, в этом случае ю = 1+ й(юс — 1). Коэффициент й находим из условия -1 = 1+ й( — 1 — 1), откуда й = 1. Окончательно имеем ю=1 — 1+ — х+- =- — х+- 3) Поскольку х — -1 ю, — -с ю = с, то, согласно решению задачи 60, с.щ--',1 Л (Зз() С+ 4 б б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
