Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В частности, отображение в = созе есть композиция поворота на угол — и отображений, осуществляемых показательной функцией и функцией Жуковского: 1/ 1)щ,=(х; 2)мха - е '; 3)м= — зез+ 21 мз/ а) 6) В) Г) Используя этот факт, рассмотрим простейшие конформные отображения, осущеспциемые функцией и = соз л (рис. 36). % б. Трнганаметрнческяе н гиперболические функции 103 Из формулы .+--) .„- ( -М япа = 2 следует, что отображение в = 5!из является композицией отображений я 1/ 1) в1 — — з — —; 2) вг — — нон 3) юз — — е, 4) в = — ~во+ — ( .
2' ' ' 2~, юз( В качестве примера найдем образ паласы С = Тх Е С; — —, < Вез < — ) (см. рис. 37). г .зт Из рассмотренных конформных отображений следует, что вертикальные полосы, ширина которых равна э., являются областями одналистностн функций з ~-~ яп з и 2 ~-~ соз 2. Рассмотрим более дезвльно отображение полосы 23 = (з Е С: -я < Ке5 < 0), осуществляемое функцией в = сов з. С помощью теоремы сложения и формул (1)-(3) находим; в = и+ ге = сова =сов(х4 !у) = созхс)2у — ояпхзйу, или и = са5хс)гу, э = — 5!и хо)гу.
НайДем обРаз пРЯмой х = хо —— сапе! (-Я < хо < 0 Л хо Ф вЂ” Ц. Имеем и =созхос)2У, э = — 5!Пхоз)гр. (4) Отсюда находим Точки разветвления этой функции: х1, оа. Тангенс и котангенс в комплексной плоскости определяются формулами 51П Х сао а гйа = —, сгйх =— саз х япх (б) е" — е " е" +е '* 1на=-о 1 г . с!на=о ег*+ е '* ег* — е '* (7) 2 2 2 2 — = 1. СО5 хо 51п хо При — — ' < хо < 0 прямая х = хо переходит в правую ветвь этой гиперболы.
При -л < хо < —— она переходит в левую ветвь гиперболы. Прямая х = 0 (мннмая ась) переходит в разрез вдоль действительной оси от точки 1 до бсо, а прямая х = -ог переходит в разрез вдоль действительной оси от точки — ! до -со, прямая же х = — переходит в мнимую ось. Образом полосы )3 является 2 вся плоскость ю с выброшенным отрезком действительной оси и от — 1 до! через бесконечность. Разбивая всю плоскость з прямыми х = йя, й Е Е на вертикальные полосы — области однолистности функции ю = соз з и взяв для каждой из них свой экземпляр в-плоскости, путем нх склеивания можно получить поверхность Римана многозначной функции з = Агссозго, которая является обратной к функции в = сов г и имеет вид 1 х = Агссозв = — Сп(в+ 3/ю~ — 1).
(5) 104 Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости Эти функции диффере нцируе мы всюду в С, за исключением тех точек, в которых знаменатели дробей в (7) обращаются в нуль. найдем, например, нули знаменателя дроби, определяющей с!8 з; е'* — е '*=О, е"=е '*, (з=-(г+2йяг, а=ля, ЙеУ. Функции з ~-~ 18 г, з ~-~ с!8 з периодические, с действительным основным периодом з.. Для них сохраняются известные из анализа формулы дифференцирования и основные тригонометрические соотношения. Отображения, осуществляемые этими функциями, являются композицией уже изученных отображений. Так, отображение е" — 1 3 ю = 18 3 = -1 е'- + 1 есть композиция таких отображений: агз 3) юз =, 4) и = -низ.
югч. 1 1)в,=2(з; 2)мг=е Используя этот факт, рассмотрим простейшие конформные отображения, осуществляемые функцией ю = 18х (см. рис. 38). В Изучая отобрюкения и = !8 а и и = сгйз, приходим к выводу, что области однолистности этих функций — вертикальные полосы шириной т.
Разбивая всю плоскость а прямыми я = (гя (й Е Е) на области однолистности тангенса и взяв для каждой из них свой экземпляр 0 6. Тригонометрические и гиперболические функции !05 в-плоскости с разрезом по отрезку [ — 1, 1[, путем склеивания их мо:кно построить поверхность Римана многозначной функции ! 1+зв х = Ага!я в = — !.и 2! 1 — !в Функция Агсгби имеет две точки разветвлениЯ: хС Рассмотрим примеры. 31.
Найти образ прямоугольника Р = [ Е С: 0 < Кех < я, 0 < [шх < Ь) при отобралгении В = СОзт. м Пусть х = х + ту, тогда созе = созхсйу — 15!пхаб у, 1ши = — 5[ох ай у < О. Следовательно, образ прямоугольника Р принадлежит нижней полуплоскости плоскости в. При з=х в = созх, 0 < х < а"! при з = л -1-1у и= — сйу, 0<у<Ь; при "=гу в=сйу, 0<у<Ь; при т = х -'; 1Ь в = н+ !е =созхсйЬ вЂ” 1апхзЬЬ, 0 < х < я, т.е 2 1 и = созхсЬЬ, е = — 5[пхз[зЬ, — -Ь вЂ” = 1. сйтЬ 12! Таким образом, прямоугольник Р отображается на нижнюю половину э1пипса с полуосями сй Ь и 50Ь.
Заметим, что в угловых точках з = О, 5 = гг нарушается конформность отобралсения, а именно, прлмые углы перешли в углы, равные я, в фокусах эллипса х1. В этих точках (созе! = 5[п =О. ~ Зл. Доказать, что функция в = 10': отображает полосу Р = (г Е С: 0 < Кех < —,) на круг !( = [в Е С: [в[ < 1) с разрезом вдаль отрезка [ — 1, О[.
М Заданное отображение является композицией отображений 2 И1=5 Ит= ВЗ вЂ” твз> В=ИЗ. 101+ 1 Рас. 39 При последовательном выполнении этих отображений заданная полоса преобразовывается в области, указанные на рис. 39. М 33. ДОКаЗатЬ, ЧтО На СтОрОНак КаадратОВ С ВЕрШИНаМИ В тОЧКаХ я(П+ -!)(~! ж 1), и Е Уе, выполняется неравенство [созес 5[ < 1. 106 Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости м Из определения функции з ~ созесг =,—,.„получаем: 1 1 1 1 1созесз~ = 'Р,— ' Я, цч' На горизонтальных сторонах прямоугольников х = х х ( (и+ !) х имеем к / ./ 1 ! зЛ и+-! х>аЛ вЂ” > 1, совес тях~! ~п+- ( х) = < — < 1. ь'( 1) ° *='( +д" ь1х 1 1 1 созес х н + — х+ !у из которого следует очевгщное неравенство ~ созес (х (и + —,) а.
+ !у) ~ < 1. м Рассмотрим теперь разные примеры, относящиеся ко всем разделам этой главы. 34. Найти общую форму целого линейного преобразования, переводящего. 1) верхнюю полуплоскость на себя; 2) верхнюю полуплоскость на нижнюю полуплоскость; 3) верхнюю полуплоскость на правую цолуплоскостья 4) правую полуплоскость на себя.
Показать, что во всех случаях преобразование однозначно определяется заданием одной пары соответственных внутренних точек илн двух пар граничных. м 1) Рассмотрим функцию в( = ах + Ь, яаляющу(ося целым линейным отображением. Для того, чтобы она переводила верхнюю полуплоскость на себя, требуется, во-первых, чтобы действительная ось перешла в действительную, т.е.
м(з) Е Ж, если з Е К. Поэтому а и Ь должны быть действительными числами. Во-вторых, для выполнения поставленного требования должно выполняться также условие ю'(з) = а > О. Таким образом, функция и = аз + Ь, а Е К, Ь Е К и а > О, отобрюкает верхнюю полуплоскость на себя. 2) Очевидно, что таким отображением является зв = — ах+ Ь, а Е Ж, Ь Е Ж л а > О. 3) Для решения поставленной задачи отобразим верхнюю полуплоскость на себя, а затем применим преобразование поворота на угол — —,. В итоге получаем: м = -((аз + Ь), а б К, Ьбйла>0. 4) Здесь чисто мнимым значениям г должны соответствовать чисто мнимые значения ю, где гл = аг+4Ь, а 6 Я, Ь Е К. Для того чтобы правая полуплоскость переходила в себя, требуется выполнение условия ш'(г) = а > О.
Поставленному требованию удовлетворяет функция ге = аз+(Ь, або, ЬЕКла>0. Для однозначного определения преобразования требуется задать соответствие двух пар точек: либо двух пар граничных точек, либо пары внутренних точек, поскольку другая пара определится по свойству симметричных точек. М 35. Найти общую форму целого линейного преобразования, переводящего: 1) полосу 23 = (з Е С: 0 < Ке г < Ц на себя; 2) полосу С = (х Е С: -2 < 1ш * < Ц на себя; 3) полосу, ограниченную прямыми у = х н у = х — 1, на себя. Выяснить, какие пары точек могут при этих отображениях соответствовать друг другу и в каком случае это соответствие будет однозначно определять отображение.
м 1) Искомое преобразование имеет вид я( = аз + Ь. Поскольку оно должно перевести полосу )3 в себя, то прямые х = 0 и х = 1 должны перейти в прямые а = 0 и а = 1. Возмо:кны два случая; 1') х = О к = О, х = 1 - и = 1; 2') х = 0 - и = 1, х = 1 -+ и = О. Рассмотрим их в отдельности. 1') При з =.зу ю = (е, зв = (ау+ Ь, в частности, при у = 0 !е = Ь, следовательно, Ь = !Ь(, Ь( Е (й, а Е (й. При х = 1 + !у ю = 1 + !е, 1 + зе = а(1 + (у) + !Ь. Отсюда находим а = ! . Таким образом, искомое преобразование имеет вил м = х + !Ь, Ь Е (й $б. Тригонометрические и гиперболические функции 107 2 ) При а = зу в = 1+ нн !+ за = зау+ Ь, в частности, при у = 0 1-Ь зя = Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
