Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Доказать,что функция 7(х) = 'зкг непрерывна в окрестности 0 при к=О точки х = О, пределы 1пп ~-'-г ~-З существуют, если х стремится к нулю вдоль произвольной -е прямой, и равны между собой, однако 7 не дифференцируема в точке х = О. 40. Исследовать на аналитичность в областях определения функции: 1) 7(х ч- гу) = х -1- —,, -ь г (у — --+~); 2) 7(г) = )х !' -> 2х; 3) 7(з) = -'(ю .

41. Пусть все корни многочлена Р(х) лежат в некотором круге. Доказать, что в этом же круге лежат и все корни его производной Р'(х). 42. Доказать, чзо если функции 7 и д являются аналитическими в точке хе и 7(хе) = д(хе) = О, но д'(ае) Ф О, то 1!ш ~Я = 2гг;з). Найти !пп —,'тзп. *о 43. Пусть функции 7 — аналитическая в области 27, и = Ке 7, е = 1ш 7, Доказать, что линии и = сонат всегда пересекают линии в = сопят перпендикулярно в тех точках, где 7'(х) = 0 44. Определить аналитические функции 7, если а) и = х — у 9 2х, у(г) = -1 -ь 2г; б) е = е з!и у -1- 2ху 6 5у, 7(0) = 10.

Глава 3 Элементарные функции в комплексной плоскости В этой гяаве рассматриваются элементарные функции комплексного переменного„их основные свойства н конформные отображения, осушествляемые ими. 51. Дробно-линейные функции и их свойства 1.1. Определение дробно-линейной функции. Конформность отображения. Дробно-линейными называются функции вида аз О Ь ю(з) = (1) сз Е с( где а Е С, Ь Е С, с Е С, И Е С н выполняется условие ад — Ьс ~ О, Это условие исключает случай вырождения функпии (1) в постоянную величину, При с = О, д Ф О функция (!) становится линейной: а ю(со) = —, с ю(в,) = сс, Тогда дробно-линейная функция станет непрерывной в С, осушествляя непрерывное отображение С на С. Рассматривая (1) как уравнение и решив его относительно з, получим дю+Ь в =— (2) сю — а Получили опять дробно-линейную функцию, определенную в ~поскости С, поскольку в = сс при ю = —, и з = — в при ю = оо согласно с принятым выше условием.

Таким образом, получили теорему. Теорема 1. Всякая дробно-линейная сйункйин (1) осуществляет гомеоморфное (т.е. взаимно однозначное и непрерывное) отображение С на С. Производная дробно-линейной функции бю ад — Ьс дх (св + д) не равна нулю и конечна для всех з Е С((вн зз). Поэтому отображение, осушествляемоелробнолинейной фунютией ю, является конформным лля всех в Е СЦзн зз). Чтобы установить свойство конформности такхге в точках з1 и з,, введем в рассмотрение понятие угла в бесконечно удаленной точке. а Ь ю=-з+ — =Аз+В. д Дробно-линейная функция ю определена для всех г Е С, за исключением двух точек: з, =--- и гз — — оо. При с = О эти точки совпадают.

Продолжим функцию ю на всю расширенную плоскость С, полагая ю(з,) и ю(гс) равными предельным значениям ю в этих точках: Гл. 3. Элементарные функцшг в комплексной плоскости 84 сг ей И' = ах 4Ь (3) то пути Г, и Гз можно рассматривать как образы т, и т, при отображении (3). Это отображение является дробно-линейным с производной бйг Ьс — аЫ бг (ах я-Ь)г' отличной от нуля в точке г = --,, о х т.

е. отображение (3) конформное в точке г = -"-, и угол между Г, и Гз г .тз в точке %' = 0 равен а. Отсюда имеем, что угол между Г; н Г," на бесконечности равен и. Конформность отображения (1) в точке г = — -" доказана. Для доказательства конформности отображения (1) в точке г = сс применим приведенные выше рассуждения к обратной функции (2) в точке и = -',. В результате получим следующую теорему. Теорема 2. Дробно-линейное отображение конбюрмиог везде на С. Непосредственной проверкой можно убелиться в том, что композиция дробно-линейных отображений опять есть дробно-линейное отображение.

Поэтому справедливо следующее утверждение. Теорема 3. Совокупность Л всех драбно-линейных атабрижгний образует группу, если эа групповую операцию принять композицию отображений. Доказательство состоит в непосредственной проверке групповых аксиом (ассоциативность, существование единицы н существование обратного элемента), 1.2.

Геометрические свойства дробно-линейных отображений. Рассмотрим следующие четыре частных случая дробно-линейных отобрюкеннй: 1) параллельный перенос на вектор Ь т=геб; 2) поворот вокруг начала координат на угол б 3) подобие с коэффициентом подобия г (г > 0) и центром подобия в точке г = 0 4) обратное отображение Определение. Под углом в точке г = со между двумя путями т~ и тг, проходящими через бвсканвчнасть и имеющими в своик с4ерических изображениях касательные в пвлнкг У, понимаем угол между образами Г~ и Гз этих путей при отображении г ~-ч —. = г в точке Я = О (при условии, 1 что Г~ и Гг имеют касательные в точке Я = 0) (рис.

29). Пусть т, и тг — два пути, проходящие через точку г = — — и пересекающиеся в ней под г углом а (счнтая, что пути имеют касательные в этой точке). Их образы Г; и Г; при отображении (1) будут проходить через бесконечно удаленную точку. Угол между ними в бесконечности по определению равен углу между их образами Г ~ н Гз при отобрюхении И' = —. Поскольку 1 б 1.

Дробно-линейные фуикпин и их свойства 85 Покажем, что любое дробно-линейное отображение мохсно получить в результате композинии нескольких отображений, каждое из которых является одним из четырех рассмотренных: азчЬ и Ь вЂ” —, и Ю = Ю4 (параллельный перенос); сл+д с ел 4-д с ю4= Ь вЂ” — = Ь вЂ” — юз (полобие и поворот); 1 1 (обратное отображение); гоз = сл -ьд юз (параллельный перенос); (подобие и поворот). и, = сл 4- д = ю~ 4- с! ю,=се А 4- В, ю + С, ю -(- Ри ю = О. Это уравнение вида (2) и, следовательно, является уравнением окружности на плоскости С. ы Чтобы сформулировать второе геометрическое свойство дробно-линейных отображений, авелем в рассмотрение понятие симметричных точек относительно окружности.

Определение 1. Точки х ил называются симметричными относительно окружности (конечиого радиуса) на С, если они лежат на одном и том же луче, выходящем из центра окружности ль, а произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса В' данной окружности (рис. 30), Имеем агб(з — зь) = агб(г — еь) (в — ль((з — зь! = В, з Вз Вз Вз х ел= е !з — ла( (л зв!е * и< -*4! л — яь Отсюда дз з" = зв+ (3) х — хь В частности, при ль = О, В = ! получаем л' = -'. Определение 2. Точки я и л' назовем симметричными относительно прямой (т.е. окружности бесконечною радиуса), если оии лежат на одном и том же перпендикуляре к этой прямой, на одинаковом Расстоянии от иее, ио с разных сторон.

Докажем основы~~ свойство симметричных точек, полностью характеризующее их. Итак, свойства, справедливые ши указанных четырех отображений, можно в ряде случаев перенести на общее дробно-линейное отображение. Таким образом получается, например, круговое свойство дробно-линейных огображеиий. Теорема 1 ( к р у г о в о е с в о й от в о ) . Любое дробно линейное отображение преобразует каждую окружность иа С в окружность на С, где под окружностью на С понимаем всякую окружность или прямую на комплексной плоскости ° Для отображений поворота, подобия, паратлель- у ного переноса круговое свойство очевидное.

Докажем его справедливость для обратного отображения. 2' Каждую окружность на плоскости С можно задать уравнением Я А(х'+ у') + Вх М Су+ Р = О (1) дс Полагая л = х+ щ р = х — ьу, перепишем (!) в виде А ел + В, з + С л .4- Р = О, (2) где В~ —— 1~( — ьС), С| — — !(В -!-4С). Чтобы получить уравнение образа окружности (2) при обрагном отображении, полагаем в (2) " = —. По- лучим 86 Гл. 3. Элементарные фувкции в комплексной плоскости Теорема 2. Дая того чтобы точки г и г* были симметричными относительна округкности Г, необходимо и достаточно, чтобы любая окрузкность у на С, проходящая через ниг, была ортагональна Г.

м Необходимость. Пусть точки г и з* симметричны относительно окружности Г н у — произвольная окружность, проходящая через з и з* (рис.31). д' Проведем через точку я, касательную к окружности у. По известной теореме квадрат длины отрезка этой касательной ~( — з, ~ равен произведению длины отрезка г Я секущей )л — за~ на длину его внешней части 1з — за), т.

е. l г л ~à — га~ = ~г — лайз' — габ Так как г и г" симметричны относительно Г, то ~à — га~ = В. Таким образом, отрезок уо касательной к Т является ралиусом окружности Г, т. е. Т ортогональна Г. Достаточность. Пусть точки г и л* имеют свойство: любая окружность Т, проходящая через них, орта- О Х гональна Г. Тогда. 1) точки з и х' лежат на одном луче с вершиной х,— а а.зг центром окружности Г.

Это следует из того, что в качестве у можно взять прямую, которая долхсна быть ортогональной Г и, следовательно, проходит через центр за окружности Г. 2) |г — га~|з* — га~ = 1й — за~~ = )1', т. е. точки г и г* симметричны относительно Г. ° Из доказанного свойства симметричных точек вытекает, что в случае, когда окружность Г вырождается в прямую линию, симметрия относительно окружности превращается в обычную симметрию. Доказанная теорема предоставляет возможность дать другое определение симметричных точек. Определение 3. Точки г и г" называются симметричными относительно ахрухспости Г на плоскости С, если любая окружность ~, щюходящая чв-их, ортогональна Г.

Отображение в ьа з* называется инверсией. Теорема 3 (об ин вар нанти ости симметричных точек при дробно-линейном от обра же н ин ), Произвалагюв дробно линейное атобрагкелие переводит каждую пару точек г и з*, симметричных относительно некоторой окружности Г С С, в точки в и в", симметричные относительно окружности Г, являющейся образом окруанности Г при данном атибрагквнии. щ Проведем через точки в и в* произвольную окружность Т*. Ее прообраз.у в плоскости г, согласно теореме 2, оргогонален окружности Г. В связи с конформностью дробно-линейного отобрюкения окружности Т* и Г* ортогональные.

Характеристики

Список файлов книги