Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для дифференцируемости функции З в точке га необходимо и достаточно, чтобы фу(кции и и и были Кг-дифферепцируемы в точке (ха, уа) и чтобы их часпи(ые производные в этой точке быаи связаны соотношениями 68 Гл. 2. Комплексные чисиа н функции комплексного переменного Умножив обе части равенства (4) на» и складывая полученное с равенством (3), находим: *»С*„*)=* ( „ы мшм, )=Ч* ш~е Вчьа — * )+\»)чье * '. (П Поскольку йхх+ ( йгу = йглг г сгх — йгу = » сгл, то равенство (5) принимает вид 2уУ(ло, йгл) = (А+ »В) йгл ф о()гул)), (6) Слелаем несколько замечаний.
1. В процессе доказательства теоремы уст»натела связь ме:елу производной У'(») и частными произ- водныьги действительной и мнимой частей функции У в виде дн ,де ди ди де ди де де У (л) = — 1-г — = — — г — = — — г — = — +г —. дх дх дх ду ду ду ду дх 2. Из курса математического анализа известно, что лля Н -лифференцируемости функций и н е достаточно существования и непрерывности частных производных —, —, —,, —.' в некоторой окрестности а а а а . а аэ а« оэ точки Поэтому для дифференцируемости функции У = и ф ге в точке л =- (х, у) достаточно, чтобы частные производные †"-, Г ' , — Г-'-а'-, †à †'"1 сушествоыли в некоторой окрестности точки (х, у), были непрерывны в ней и удовлетворяли условияи Коши †Рима, 3.
Введем в рассмотрение дифференциальные операторы — и —, полагая а а а. иг (7) Тогда условия Коши — Римана »ложно записать как олно коьгштексное равенство дУ вЂ” = О. д» Если и и е — й -дифференцируемые в точке (хо, уо), то 2 С»У(»о, йл) = гз» х Льл -1- о()»Ъ»)). дУ(»о) дУ(»о) дл дл (10) полагая в (10) гхг = )гул(с', получим »»У(»о, га») дУ(ло) дУ(»о),зе Ь» дл д» е -1- о(!Ьл/). Из соотношения (11) слелует, что предел отношения — при гхл — 0 существует тогда н только тогла, су с* когда ."" =О. а ц,.г 4.4.
Анпднтпчеснне функцнн. Определенме 1. Функция и = У(л), определенная в некоторой области С С С, называется аналитической в С или голоморфной, если Чл Е С она дифференцируема. Определеиме 2. Функция ш = У(л) называется аналитической в точке л Е С, если она аналитическая в некоторой окрестности этой точки. Определение 3. Функция ш = У(л) называется аналитической на кривой Т С С если она аналитическая в некоторой области, содержащей эту кривую. Определенме 4. Функция ш = У(л) называется аналитической на открытом мнохсестве Е С С, если они аналитическая в каждой точке л Е В. Определение 5.
Функция ш = У(л) называется аналитическои" на произвольном но ж естес М С С, если она аналитическая на некотором открытом мнозкестве В Э йл т. е. функция У С-дифференцируема в точке ло. н Соотношения (1) впервые изучались еще в ХЧ1П столетии Д'Аламбером и Эйлером, поэтому их следовало бы называть условиями Эйлера — Д'Аламбера — Коши — Римана. в4. Дифференцируемые и аналитические функции. С- и К -дифферевцируемость бр Р„(г) = аоз" В а,з" ' + ... + о„ |з -)-о„. Рациональная функция Р„(з) аоз" + а,з" '-1- ... -1- о„ ,з + а„ Х(г)— (ь) (з) Ьоз -)- Ь,з ' -1- ...
+ Ь,„ )л -1- Ь,„ аналитическая в каждой области С, не содержащей нулей знаменателя. 3) Если / б А(0) и )гх б С )у'(з)( ~ О, то на множестве Ет —— /(С) определено функция У явллю|цаяся анагитической. При этом, если юо = Т(зо), то (у ) (гео) = —, у оо) м Обратимость отображения ю = и+ ге означает„что уравнения и = и(х, у), е = е(х, у) можно разрешить относительно х, у в обласгн С. Поскольку функция У аналитическая в области С, то ))го = (хо, уо) б С выполняются условия Коши — Римана (1), п.4.3, вследствие которых якобиан ди(хо, Уо) дх де(хо, уо) ди(хо, уо) ди(хо уо) ) ( де(хо уо) Р(и, е) (хо Уо) = ду де(хо, уо) ди(хо, Уо) .де(хо, Уо) | г = ~У (хо)( дх дх о чный от нуля в точке со, поскольку Чз б С 1/ (з)(,с О.
По теореме о неявной функции и| то)ки ге (ио ео) с)чцестьует Т '(ге) Сушестжшанне н непрерь'в ность производной (Т ')' доказываются так же, как в теореме 7, п.4.1. > 4) Пусть и — денствительная часть функции У б А(С). Тогда мнимая часть е этой функции определяется с точностью оо аддитивной постоянной. Действительно, в силу условий Коши — Римана, по известной функции и однозначно определяется полный дифференциал неизвесгной функции е: де де ди да йе = — бх+ — йу = — — йх+ — йу. дх ду ду де Это позволяет восстановить функцию е по известной формуле х е) «(х, у) = ~ — ' йб + ' |Ь) + С.
дц дб г о оо) 5) Пусть Т б А(С), г = и+ ге, и(х, у) = С, е(х, у) = С вЂ” линии уровней функций и н е. Вычислим Уе = (х, у) б С йгаби и ухабе: втаб и = <в„, в„"), Киде = <е", в„") . Считая пространство )й евклндовым, получим, принимав во внимание условия Коши — Римана: г ди де ди де ди ди ди ди (втаб и, ухаб е) — — — +— + О. дх дх ду ду дх ду ду дх В частности, функция ю = У(з) называется аналитической в замкнутой ой|асти гл, если она аналитическая в некоторой области Р З С.
Понятие аналитической функции можно распространить и на области из С, если дать соответствующее определение аналитичности в бесконечно удаленной точке. Определение б. Функция Т', определенная в рис|варенной компл|ксной плоскости С, называется анилитической на бесконечности, если функция |у: з | г <-) аналитическаяв точке з = О. l |) Отметим некоторые свойства аналитических функций. 1) Сумии, разность, произведение и частное (при условии, что делитель ф О) двух аналитических функций также являются аналитическими функциями. Отсюда следует, по множество функций (Т), иналитических в области С, образует кольцо.
Обозначим его символом А(0). 2) Композиция ( о у аналитических функций есть аналитическая функция. Свойства 1) н 2) следуют из теорем о днфференцируемых функциях, рассмотренных в и.4.1. Примером функции, аналитической в любой области 0 С С, служит произвольный много- член Гл. 2. Комплексные числа и фупкцпм комплексного переменного Так как вектор-градиент функции ортогонален ее линии уровня, то семейства кривых п(х, у) = С и «(х, у) = С взвиыло ортогоивлолы. 4.5.
Геометричесвмй смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформиого отображения. Пусть у Е А(С) и за Е С вЂ” произвольная точка. Проведем через нее гладкую жорданову кривую 7 С С. Функция у отображает область С комплексной плоскости з на некоторую область Р комплексной плоскости в.
Пусть во —— у(за), 7' — образ кривой 7 при отображении / н ва Е '7 (рнс. 28). гва. 28 Если подвижная точка г стремится к зо по кривой 7, то ее образ в стремится к ва = у(за) по кривой 7*. Предполомсим, чзо Т'(хо) Р О. )огла У'(за) = [У'(за)[е', а = ага У'(зо). Полагая 2гг = з — зо = 7зге'«, сьв = 2ьре'о, имеем з~р [У'(зо)[ = )пп — , агя У (зо) = 1!гп ( — уа) (1) ь.-а сьг ь.-о ПуетЬ ор — ПараМЕтрИЧЕСКОЕ ПрЕЛСГаВЛЕННЕ ГЛааКОй КрИВОй 7. ТОГда КОМПОЗИцИя рай яВЛяЕтсл параметрическим представлением гладкой кривой 7'. По теореме о производной композиции лифференцнруемых функций в точке !а, в которой р((о) = за„получаем (у ° у))'(!а) = Т (зо)р'(!о) ~ 0.
(2) Следовательно, (о~(!а) ~ О. Обозначим через Зоо и Во углы наклона к осям Ох н О'и касательных к кривым 7 и Г" соответственно в точках зо и во — — У(за). Тогда Зоо —— 1пп уо, Во — — !цп В и ь,-а ь* а второе соотношение в (1) примет вид агя з (зо) = Во — ~Ро (3) Таким образом, угол, на который поворачивается кривая у в точке зо Е С прн отображении в = У, не зависит от вида и направления 7. Считаем, что направления осей Ох и О'и, Оу и О «совпадают, и под углом поворота понимаем угол межлу первоначальным н отображенным направлениями. Из равенства (3) следует, что а = агя у (зо) равен углу поворота в точке зо при отображении в = у(з).
Итак, отобрюкение у имеет свойство сохранения углов; угол между двумя произвольными гладкими кривыми в точке зо равен углу межлу их образами в точке в, = у(з ), ПУсть а = аР(!) Е 7. Вследствие глашсости кРивых 7 и 7' величины [2ьз[ и [зов[ пРи ! - !а бЕСКОНЕЧНО МаЛЫЕ И ЭКВИВатЕНтНЫЕ СООтВЕтСтВЕННО ЛпииаМ оьо И хьо" Лут 7 Н 7*, ОтВЕЧаЮщИХ сегменту [й !а). Позтому соотношение бш — = [У (ао)[ [2!в[ ь -о [оьз[ б 4. Дифференцируемые и аналитические функции. С- и е(з -днфференцируемость 7 ( можно записать в виде 2хв' йв" Ч (го)( = 1)гп (4) л-лл лЗв йэ Следовательно, с геометрической точки зрения (У'(ге)( есть коэффициент растяжения дуги у в точке ге при отображении >'. Поскольку у — произвольная гладкая кривая, то все дуги растягиваются одинаково в точке ге. Поэтому отображение г имеет в точке ге так называемое круговое свойство: оно отображае.г малые окружности с центром в точке ге в кривые с центром в точке ве —— >'(ге), которые отличаются от окружностей на бесконечно малые высшего порядка.
Заметим также, что круговое свойство остается в силе и в случае, когда у'(гь) = О, однако принимает вырожденную форму: тогда коэффициент растяжения равен нулю. Определение 1. Отображение > называется каа4ормиым а тачке г, 6 С, еюи аиалокальио юмгомор4нас е этой точке и имеет а вей геайгтао сохранения углов. Из геометрической интерпретации аргумента производной >' следует, что отображение, осушествляемое аналитической функцией, конформное в каждой точке г 6 С, в которой > (з) 4 О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
