Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 21
Текст из файла (страница 21)
функция / называется ди4ференцируемой в точке ла, если существует такая непрерывнан в точке ла функция уг: С С, Р = ВР что гтз Е Рг выполняется равенство 64 Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексяого переменного Поскольку функция д дифференцируема в точке «ь, то существует такая непрерывная в этой точке функция ф: С С, Ро — — Ря, что ч«6 Ря 9(«) - 9(«ь) = К вЂ” «ь)ф(г). Равенство (5) принимает вид (У од)К) — (У од)(«ь) = (« — «ь)ф(«)(угод)(«). Из равенства (6) следует дифференцируемость композиции У о д в точке «ь, причем (У 9) («о) = фКь)брод)(«ь) =9 («ьМ(гь) = У(гь)9'(«о) и (6) Теорема 5 (о линейности операции дифференцирования). Пустьфункции У:С-чС и д: С С диффереицируемы в точке гь, являюгцейся предельной ды множества РГ гз Р„Л 6 С, р б С.
Тогда функция ЛУ Ч рд дифференцируема в точке гь и справедливо равенство (ЛУ + р9) (гь) = ЛУ (гь) + рд (гь). (7) м Согласно определению дифференцнруемости функций У и д, найдугся такие непрерывные в точке гь функции уг и ф, что Ре = РР Ро — — Ря и У(г) У(гь) = (г — ьМ( ), 9(г) 9( ь) = (г — гь)ф(г). Следовательно, (лУ+ рд) (г) — (лУ т рд) (гь) = (г — гь) (луг + рф) (г). По определению, функция ЛУ + рд дифференцнруема в точке г, н (ЛУ + рд)'(гь) = (Льг + рф) (гь) = ЛУ (го) + рд (гь). и Теорема 4(о непрерывности диффсренцируемой функции). Еслифункция У С- С дифференцируема в точке гь, то оно непрерывна в этой точке. м Из определения дифференцируемости функции У в точке гь следует равенство У(г) = У(гь) + (г — гьМ(г).
По теореме о непрерывности в точке гь суммы и произведения непрерывных функций У является непрерывной при г = гь. в Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные недифференцируемые функции. Например, пусть У(г) = г, г 6 С. Функция У непрерывная. Согласно определению производной У(г -1- Ь) — У(г) У (г) = !пп ь- Ь В рассматриваемом случае У(г+ й) — У(г) г+ л — д Пусть г = е+ гу, й = Е+ !ц.
Тогда ~-'-'-+-ь! ~-'-' = Ц-. Если ц = О, ( О, то г(еььь):с(й 1; если ( = О, ц — О, то ь(гьььысц) — — 1. Функция У не имеет производной в каждой точке непрерывности. Теорема 5 (о дифференцируемости произведения бесконечно малой дифференцируемой функции и непрерывной функции).
Пусть функцич У: С вЂ” С дифференцируема в точке гь и У(гь) = О. Если д . "С -ь С непрерывна в точке гь и гь является предельной длн мнолсества Р! О Ре, то фУнкцип Уд диффеРенциРУема в этой точке и спРаведлива фоумУла (Уд) (гь) = У (гь)9(гь). (8) м Согласно определению дифференцируемости функции У, существует такая непрерывная в точке го функция (о, что Р„= Ру и У(г) = (г — га)гр(г) (принято во внимание, что У(гь) = О) Следовательно„ (Уд)(г) (Уд)(гь) = (г — го) р(г)д(г) что означает днфференцируемость функции Уд в точке гь. При этом (Уд)' (гь) = ~р(гь)д(го) = У'(гь)9(гь) > О4.
Дифференцируемые и аналитические функции. С- и 1йд-диффереицируемость 65 щ Доказательство следует из тождества У( )д( ) = <У( ) — У( о))д( )+ У( о)У(э) ул Е Ру П Р, и теорем 3, 5. в. Теорема б (о производной частного). Пусть У: С -л С, д: С С вЂ” ди44сренцируемые функции в точке до, являющейся нределылай для множества РГ П Рд.
Если д(эо) ~ О, та функция ~~ диф4еренцируема в точке ло и справедлива 4армула < У ), У (до)У(эо) — д (эо)У(эа) — (эо) = д) дэ(да) (10) щ Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций и теоремой о производной композиции функций. Получим /1' ' -У) (до) = ~У - У) (.,) = У'(эо) — - У(;) Л (зо) = д,) (, у,) .() Я У'(эо) / У'(эо) л) У'(ла)д( а) — У'( а)У(до) 2 ) 2 д( о) (ч уз(до)э) у'( ) Теорема 7 (о п р о и з в о д н о й о б р а т н о й ф у н к ц и и ). Пусть функция У: С -л С обратима, эа Е Рг и является нредельнай точкой множества РР гдо — — У(эо). Если существует У'(ло) эо 0 и обратная 4ункция У ' ненрерывна в тачке юо, та ана дифференцирудма в этой точке. Еоги, дополнительно, юа — нределоная тачка множества Еу — — Рг-щ та <У-) (то)= У (эо)' щ По определению дифференцируемости функции У в точке ло, сугдествует такая непрерывная в этой точке функция (д, что Р„= Ру и оз б Рг У(з) — У(ло) = (э — эо)р(э).
(12) Поскольку из равенства (12) и взаимной однозначности функции У следует, что (д(д) и' 0 при д 4 до и ул(до) = У (ло) 4 О, то, глолагая и = У(д), илдеем 1 У ('") У (юа) = (ю ща) (13) р(У '(гд)) Так как функция элоУ ' непрерывна в точке гао, то по определению функция У ' дифференцируема в точке то. Если юо — предельная точка множества Е) = Р)-, то на основании определения производной получаем 1 1 р(У (оао)) м'(зо) У (эо) Заметим, что в случае, когда множество Рт явяяется компактом и функция У непрерывная, то непрерывность обратной функции следует из теоремы п.6.3, гл. 1.
В теории функций комплексного переменного дифференцируемые функции принято называть манагеннмми. Точнее, функция У: С С, определенная на множестве Я С С, называется манасеиной (относительно множества Е) в конечной неизолированной точке *о Е Е, если она имеет в этой точке конечнУю пРоизводнУю Уя(эо) по пеРеменной э Е Л: У(э) — У(эо) Ув(эо) = йга в э* *о е эо Следствие (правило дифференцирования произведения функций). Если функции У: С -л С, д: С С дифференцируемы в точке зо, явллющейся иределыюй для множества Р) П Рд, та фУнкциЯ Уд ди4феРснциРУема в этой точке и снРаведлина 4аРмУла (УУ) (со) = У (до)У(эо) + У (зо) У(до).
(9) бб Гл. 2. Комплексные числа и функции камплексиого переиеняого Функция, моногенная в кюкдой неизолированной точке множества Е, называется монагеннай на Е. Если Е = б — область комплексной плоскости С, то функция, моногенная на С, называется аналитической функцией в области С. 4.2. Дифференциал функции. Пуси функция Х: С -ч С дифференцируема в точке ло б РГ, предельной для множества РР Тогда по определению чз б Рг ее приращение в точке ло записывается в виде гьу(зо) = У(з) У(зо) = 'р(я)(з зо) (1) где р — непрерывная в точке зо функция и )з(зо) = Х'(го).
Записав равенство (1) в виде Гзу(зо, сьз) = )о(зо) схл 4 а(ло, сьз) схз, схл = з — го, где а(го, Хсе) = Зз(г) — |р(го) = )о(зо ч- схз) — чз(зо), делаем вывоп, что приращение днфференцируемой в точке го функции Х равно сумме двух слагаемых, одно из которых Г'(зо) Ьг, а второе— а( о, схз) (ьз, где а — непрерывная функция, обращающаяся в нуль при з = зо, т.
е. бесконечно малая при з зо. Обозначим а(го, схз) = о(1), а(з„схг)сзз = о(1)Ьз = а(!сзг(), Функция оЦЬз)) имеет высший порядок малости по сравнению с )Ьг) прн з ео, т.е. 1пп д = О. а оцп Таким образом, равенство (1) принимает вид 1ЛХ(кп сгз) = 1 (зо) сзз 1 о((йгз (). (2) Прежде чемднатизировать формулу (2), рассмотрим линейное отобрюкенне С С Определение 1. Функция С -ч С называется линейной, если ч(з~ б С, гз б С, Л б С) выполняются условия: 1) Х(з! + зз) = Х(г~) т Х(зз) (свойство аддитивнскти)1 2) Х(Лг,) = ЛХ(г~) (свойство однородности) Из условий 1) и 2) следует, что Х(0) = 0 и чз б С Х(з) = аг, а = Х(1) = сопя. Теорема.
Пусть Х: С С, зо б Рг — яредельная точка множества РГ. Если суигествует такое линейное отобразкение (линейная форма) С -ч С, Х(з) = аз, что чз б РГ вынсиняется равенство ЬХ(зо, гХз) = а Хтз + о()Ьт(), то Фуг'кция У дифференцнруема в точке зо и Х'(зо) = о м Прн выполнении условий теоремы существуег юз (зо, Сьз) 1пп ' = а = У'(зо).
> о*-о схз Принимая во внимание равенство (2) и доказанную теорему, видим, что условие (3) может быть принято в качестве определения дифференцируемой функции Х в точке зо. Определение 2. Если функция Х: С -ч С дифференцируема в точке го б Хгю яредельной для множества ХЛР толияеиная форма С С, удовлетворяюсция условию (3), называется дифференциалом функции У в точке зо и обозначается символам дХ(зо),(ля люоого Ь б С имеем Х(Ь) = йу(зо) (Ь) = У (зо)(г.
(4) Таким образом, приращение функции Х: С -ч С, дифференцнруемой в точке го б РР предезсьной для множества Рг, состоит из суммы двух слагаемых, первое из которых есть значе- ние дифференциала йХ(зо) при Ь = схз, а второе является функцией вцда а(зо, с1з) = о(1)Ьз, Р = РР где а(!) — непрерывная бесконечно малая при г ч зо функция, значение которой в точке з, равно нулю. Пусть чз б С д(з) = е. Тогда чЬ б С имеем йд(з) (Ь) = де(Ь) = г'Ь = Л, (5) т,е, значения дифференциалов йл функции л ч з в любой точке комплексной плоскости С равны друг другу при выборе фиксированного Ь б С. Поскольку Ф(а ) (Ь) = Х'(зо)Л = У (яо) дя(Л), (б) 04.
Дифференцируемые и амалмтмческие фумкцми. С- и Кг-дифферемцируемость бг Формула (7) определяет дифференциал функции У в точке г, как линейную форму (8) Принимая во внимюше, что производную функции У: С вЂ” ( С можно рассматривать как частное дифференциалов функции и независимого переменного, принято обозначение АТ, ду(га) у = —, у(га)= —. де' дг Для приближенного вычисления значений дифференцируемой функции У в точках из некоторой б-окрестности точки га б РГ прн достаточно малом б > 0 пользукггся приближенной формулой ЛТ(га, Ьг) = дТ(га)(Ьг) = У (га) й г, Т(г) = У(га) + Т'(га) дг, (9) т, е.
(10) 4.3. л(ритернй диффсреппируемости функции комплексного переменного. Если функция Т ( С -( С дифференцируема в точке га б Рг в смысле определения п.4.1, то будем называть ее С-дифференцируемой в этой точке. Функцию д: Кг -( К, днфференцируемую в точке (ха, уа), булем называть Кг-дифференцируемой (напомним, что ее приращение в , „,....,'...',„.„„(= °: *.,~~„...„,,=,сь.т,ьл,. при р — ( 0). Поскольку функцию комплексного переменного можно записать в виле у(г) = и(х, у) + ги(х, у), г = (х, у), ди(ха, уа) ди(ха, уа) ди(ха, уа) да(ха, уа) дх ду ' ду дх Соотношения (1) принято называть условиями Коши — Римина. ч Необходимость. Пусть функция У С-дифференцируема в точке га — — (ха, уа). Тогда ее приращение в этой точке имеет вид й(У(га, гьг) = ('(га) ггг + а(га, й(г) гьг, а -( 0 при гьг -( О.
(2) Отделяя в этом равенстве действительную и мнимую части и обозначив У'(га) = а + гЬ, получим при х ха, У-'Уа Ьйу+ гьх Ь)у((1(у а( 0 гз( О пви П У й,„(~м ~,) =Ьбзя+агЗУ+агг~а+)Угйу Из Кг-диффеРенциРУемости фУнкций и и е в точке (ха, Уа) следУет, что ди(ха, уа) де(ха, уа) ди(ха, уа) ди(ха, уа) дх ду ' ду дх Достаточность. Пусть функции и и е Кг-дифференцируемы в точке (ха, у,) и выполняются условия (1).
Обозначим — "-(о'лк~ = А, — "-(окля) = В. Запишем прирашемия функций и и е в точке (ха, уа), приняв во внимание условия (1). Имеем шь,ч(-ль — Вм+ чь ГЕ, - - „-ь, (- ь*+ль,+ела.' ьл,л-, ° - ° ..,- (3) (4) то естественно возникает вопрос о связи С-дифференцируемости функции У с К -лифференциг руемостью функций и и е в точке га — — (ха, уа). Эту связь устанавливает следующее утвержление. Теорема (критерий дифференцируе мости функции з г С вЂ” ( С). Пусть функция у ( С С, где )" (г) = и(х, у) + (и(х, у), определена в некоторой окрестности точки га — — ха + гуа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
