Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть 2 = х+ оу, тогда Пусть у = х — О, тогда з -7 О и 1пп — '*' = 1цп З-*т — — -'. Если а = х — О, то 1!гп Оз = О. *-о о * г о следовательно, 1цп -" — ~*-1 не существует и функция в не дифференцируема в точке 2 = О. м =-о 72. доказать, чго функция в = хз -Зху'4 !(Зх у — у' — 1), 17 = С, является аналитической.
м действительно, функции и = хз — зхуг, е = зхгу — у — 1 дифференцируемы, и условия Коши — Римана выполняются: г — = Зх — Зу, дх д" 2 г ди — = Зх — Зу, — = -бху, ду ' ду ди де — -1-о' — = Зх — Зу + обху. М дх дх де — = бху, дх 73. Функция в = 5(з) = и(х, у)+ ос(х, у) имеет в точке з б )77 свойства: 1) и и е — дифференцируемые функции; дв 2) существует 1!ш а* о дг Доказать, 'по либо 5, либо 7 дифферснцируема в точке 2. М Поскольку дв = ди + 7 де, дз = дх Ч- 2 ду, то дв диг 4- дог дг дхг 4. дуг По условию сугцествует 1цп ~ о ~, Этот предел не зависит от способа стремления Дг к нулю.
ь*-а Взяв дг = дх, получим 1нп — = — + Если Дз = 7 Ду, то !лп — = — 4- Следовательно, 7 5 5 7 хзуз +хзуз х — — ( г+ 2)г у О О 4 4 О хзуз — хзуз +5, если з~О, (х2 ! у2)2 при а=О. яд. Дифференцируемые и аналитические функции. С- и 1К~-днфференцнруемосгь 75 Из дифференцнруемости функций и и о в точке г = (х, у) следует, чго их приращения в этой точке имеют вид ди г5и = Ж+ о( Ьхг+ гзуг) = — ггх+ дх д» Ло = гЫ- о( Ьхг+ гауз) = — гух -1- дх ди — а ь+.(,/д'Тгьр), ду де — ьь чотатЖ ду д„г, д„г Выражение — -т д "г записывается в виде Ьи' ч Ье' —,— г(г — — . — —.") даду га а а.а (а аг а ао о(ггх +гад ) г + Дхг.г Д г гг.г ч дуг Принимая во внимание равенство (1), имеем + о(1).
Ьхг+ гауз 1,дх) 1,дх) Ьхг+ гууг и и /в/=гг(ау+(;— .)', ди ди до до — — ч — — = О. дх ду дх ду Последнее возможно лишь в случаях: а) — = —, — = — — "; б) — = — —, — = — В а а а а . а а а а а = а, а, = а а = аз' а„ = а случае а) функция Т дифференцируема, так как для нее выполняются условия Коши — Римана.
В случае б) условиям Коши — Римана удовлетворяет функция У. Таким образом, либо (, либо Г" днфференпируема в точке г. р 74. Пусть ((з) = и(х, у) Ч- го(х, у) — аначитическая в области Р функция. Доказать, что если гуз б Р и + по+ о = а (и = сопзг), то Х = сопзг в Р. м Проднфференпнруем тождество из+ ив+ ог = а по х н по у. Получим ди до ди до (2и+ о) — ь (и ч-2о) — = О, (2и+ о) — -ь (и+ 2о) — = О. (1) дх дх ду ду Допустим, что существует точка за Е Р, в которой /'(за) ~ О. Тогда система уравнений (!) относительно 2и+ о, и+ 2» имеет лишь тривиальное решение Уг б 0„, т.е. и = о рз О, что противоречит предположению.
Следовательно, г7г б Р ('(з) = О, т, е, у(а) ы сопзг в Р. р 75. Пусть функция / является аналитической в области С, Доказать, что если !7(з) ~: — сопя в С, то функция г также постоянна в С, м Если ~Т(г)~ = О ддя всех г б С, то у(г) = О в каждой точке области С, т. е. ((г) = сопц. Пусть )2'(з)) ьв С гуз б С, С га О и Г(г) = и(х, у) + ге(х, у) гу(х, у) б С. Тогда в области С выполняется тождество и'(х, у) + о'(х, у) ьч Сг, которое с помощью функции у(а) = и(х, у) — го(х, у) запишется как произведение 7(е)г(з) = с' уг б С.
Из последнего равенства следует, что у(з) ~ О для всех з б С, вследствие чего функция У(г) = о,г является аналитической в области С. Условия Коши — Римана для функций 7 н 7 приводят к равенствам ди ди до де дх ду д ду в каждой точке области С. Значит, функции и и е постоянны в области С, следовательно у также постоянна в С, м 7б Гл.
2. Комплексные числа и функции комплексного пеуемяоиого Ду"(»о, Д») 1цп ' — А, = 1В1~, ь*-о Д» т. е. все частичные пределы частного ~ ь" о принадлежат окружности 1 = (» Е С1(» — А,) = ~В1(). ° . 77. Записать уравнении Коши — Римана для функции У = и+ зс в 1юлярных координатах х = 1' сов 11, у = г 5!п (о, г = Х/ х м Применяя правило дифференцирования сложных функций, имеем ди ди дх ди ду ди ди СО5Х+ 51П1Р, дг дх дг ду дг дх ду ди ди дх ди ду ди ди — — — — — = — — г яп (а + — г соз х.
дх дх др ду др = д ду Решив этУ системУ относительно а" и а", находим: ди ди ди яп(о ди ди, ди соыр соз(о ~ = 51пх+ дх дг дх г ' ду дг дх Аналогично дс ди ди сов оо — = — 5!ПЯ+ ду д. др ди ди ди япх — = — СО5 Х вЂ” — —, дх дг дуг г Теперь запишем условия Коши — Римана: ди ди япуз — соз уа — — — = д. дя г ди, ди со51р — яп(о + — — = дг дуа 1 ди, де соз(о дг др — япоо+ — —, ди ди япя — — созя+ —— дг ду г (2) 76.
Пусть 7' 1 С вЂ” 1 С, 22) — — 6, 6 — область, 7(») = и(х, у) + ос(х, у) и функции и, и дифференцируемы в точке»о — — (хо, уо) б 6. Доказать, что множество всех предельных значений Д» (»о~ Д») частного ' при Д» -а О есть либо точка, либо окружность. Д» ° Ф если у дифференцируема в точке»о, то 1пц -ь(ь — "* —" = 7'(»о) и 7'(»о) — единственное ь*-о предельное значение указанного частного при Д» -а О, Пусть 7 не дифференцируема в точке»а. Поскольку в этой точке дифференцируемы функции и и о, то ДТ(»а Д») Ди(хо1 уа) -Г(До(хо, уо) Д» Д» 1 /ди(хо, Уо) ди(*о Уо), Х 1 /да(хо, Уо) да(хо, Уо) — — ДУ вЂ” о()Д»1)) 1- — ( ' Д»-1- ' ДУ~-ойь»О) = Д» '5 дх ду ,) Д» (, дх ду 1 о()Д»1) = — (АД» ч-ВДУ) + Д» Д» оо после несложных преобразований получим: Ду(»о, Д») ДУ 0(!Д»)) =А,+В,— + (1) Д» Д» Д» где А, и В, — некотоРые комплексные числа.
Так как ~ ь, =~ = 1, то ь', = е ьг, (а Е Агу Д». Запишем соотношение (!) в виде ДТ(»„Д») .1. о(~Д»~) — А,=В1е * ч- (2) Д» Д» Поскольку 11т -'Оьо "1 = О, то прн каждом фиксированном 1р (О ~ ((о ~ (2л) получим ь -о 04. Дифференцируемые и аналитические функции. С- и К -диффереипируемость 77 Умножив (1) на соз)о, (2) — на з!и 72 и складывая полученное, имеем ди 1 да дг ад' (3) Умножая (1) на — з1п то, (2) — на соя)в, сложим полученные 1ди ди г дуо дг Таким образом, уравнения Коши — Римана для функции 7 имеют вид результаты.
Находим: (4) = и + !и в полярных координатах ди ! ди ° а~' 1ди дх ° др д.' (5) 78. доказать, что функция ы = г = О. Найти 7~(0). ° й Поскольку у(г) = и -ь (и = х + Следоватеяьно, — = — ео х = О, —" в а в„ в в„во лишь в точке г = О. По определению 7(г) = г Кег, Юг = С дифференцируема только в точке оху„то и = х, и = ху, — = 2х, †" = х, — = О, — = у. 2 в а в а ао в, в в; = — а— '„оо у = О, т.е. условия Коши — Римана выполнены г(г) (хз + !ху)(х — !у! хз г оху хз — охту -1- охзу+ хуз 1(0).= !пп — = йо2 2 2 — — !вл = !2ю г = О. М о г -а хз -1- уз * о х + оу -о хз-1- у2 -о о-о о-о о-а ди(0, 0) и(х, 0) — и(0, 0) ди(0, 0) и(О, у) — и(0, О) = !пп =О, ' =1'пп = О.
дх -о х ' ду „, у Так как и гл О, то в— " — — а— " — — О. Следовательно, в точке г = 0 выполняются условия в Коши — Римана. Рассмотрим отношение -~й — '.=' = о,, т. к. 2!У(0 23г) = 7(г) — 7(0) = З/)ху( 23г=г — О=х-ь(у.Еслиг=(х,О), х-~О,тогзг-оОи !цп хг)й =2 —— О.Пустьх-~О, х>0 й -о и у = х. Тогда гзг — О, если х -+ 0 и -й(д *-! — — —,„*,, — — ','. Таким образом, 1)т -г(й; — '-2 не сушествует и функция 7" не имеет производной в точке г = О.
Здесь нет противоречия с теоремой о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции 7: С о С в фиксированной точке. Поскольку функция и(х, у) = о,/!ху) не дифференцируема в точке (О, О), то не выполнено одно из условий упомянутой теоремы. м 80. Доказать следующие утверждения: 25ю 1 1) если у функции ю = 7(г) в точке г существует предел 1пп Ке — ~, то частные проз -оо Ьг,~ ди ди изводные — и — существуют и равны межлу собой; дх ду дою т ди ди 2) если существует предел !цп 1ш — 71, то существуют частные производные — и —, й о) Ьг ду дх ди ди причем — = — — ; ду дх) 3) если заранее предположить, что функции и и и днфференцируемы, то существование любого из пределов, указанных в п.п. 1) и 2), обеспечивает существование другого н, следовательно, дифференцируемость функции у.
79. Доказать, что лля функции ((г) = „/)ху), 7)à —— С в точке г = О выполняются условия Коши — Римана, но производная не сушествует. м Если рассматривать функцию 7: С С в виде У(г) = и(х, у) + !и(х, у), то в данном случае и = „4ху(, е = О. По определению частных производных функции двух независимых переменных имеем Гл.
2. Комплексные числа и функции комплексного переменного М 1) Пусть 2(з) = и(х, у) -Ь ге(х, у), х = х -Ь гу. Тогда гэу(з) ггв 2ги+ ! гзе (гги + ( гье) (бх — ( гзу) гзи ба + т!ге тзу 2зе гзх — гзи гЬу ьэ Ьа дх езду гтхг -ь дуг дхг+ дуг 2зхг -ь дуг гзв 2!и гзх -ь гЬе гЬу 2ьв 2ге гзх — гЬи бу Ке — = 1щ — = гзз !Ьхг+ !зуг ' туз гухг+ дуг Поскольку !пп Ке ь, существует, то он не зависит от способа стремления 2гг к нулю. Взяв ь,-э гзз = ггх и гзэ = г гьу, соответственно получим гЬв гьи ди гзе де ди де !пп Ке — = 1цц — = — = 1!т — = —, т.е. гм о гЬз ь -о гзх дх ьэ-э сну ду' дх ду 2) Рассужлал анщюгично, имеем гЬв гзе де -гуи ди ди де 1пп 1т — = 1!т — = — = 1цп — = — —, т.е.
ь -ь тьз ь -е гьх дх ье-ь гзу ду' ду дх 3) Пусть функции и и е дифференцируемы и существует !нп Ке ь . Тогда, по доказанному, ь*-о э э — ' = э— ". Приращения гзи и Ле днфференцируемых функций и и е имеют вид ди ди де де гзи = — гЬх -!- — гзу-Ь о(!гза!)> бе = — Лх + — "у -Ь с((гЬз!). дх ду дх ду Тогла дх деде-~-гтеду ! /де г де г /де де'г Ке — д* -' — гзу + ( — + — дхдуе(дхтдуЮ(!гьг!)) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
