Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 25
Текст из файла (страница 25)
2гг дхг - дуг дхг т дуг ~ дх ду (, ду дх ) Поскольку — = — ', то э а, а э„ 2!в ди Г' ди де г ьгхьгу (гзх+ (Зу)оЦЬл!) Ке — = — -ь ~ — -ь — ~ + туз дх 1, ду дх,/ 2тхг+ !туг гухг + тууг из сУществованиЯ пРедела ке ь", пРи ьзз О, котоРый Равен э,", следУет, что (~"„-ь э" ) = О, т. е. э— " = — э' — — 1пп 1гл ь . Поскольку для Функции )' выполнены условия Коши — Римана в точке з, то у дифференцнруема в этой ючке.
° аг -ьЬ 81. Найти множество точек Я плоскости С при отображении в =, с Ф О, длл сз + г(' которого: 1) коэффициент растяжении равен единице; 2) угол поворота равен нулю. м 1) Имеем а4 — Ьс 1в'(з)! = (се+ Л)г =1, откуда а „/!аг( — Ьс! !аг( — Ьс) = !сэ+г(!г, или э+в с !с~ Таким образом, ,/!«г-ь ! — множество точек окружности радиуса „с центром в точке з = --,. 2) По усдовию агу в'(э) = О, т.
е. агу(аг( — Ьс) — агу(са + г()~ = О. Отсюда получаем (сз + г()г = (аг( — Ьс)г, г > О. Таким образом г( егаа — Ьс 1, — <!<+ос. с с Мнолгество Я вЂ” это множество точек прямой, заданной уравнением (1), ° . Упражнения лля самостоятельной работм 82.
Пусть функция и = 1(г) аналитическая в точке ге, У'(ге) н О, а гладкие кривые (1 и ут имеют свойство: (ы(г)! = (ы(ге)), если г б уп агй ш(г) = агйы(ге), если г Е ты Доказать, что кривые т, и тг пересекаются в точке ге под прямым углом. и Из условия задачи следует, что образом кривой ~, при отобракении ) является дуга окружное~и Г = (ы б С; (ы! = ~ы(ге)!), а образом кривой Тч — отрезок луча, выходящего из начала координат под углом агй ы(ге). Отсюда следует, что образы т, и уг пересекаются в точке ы(ге) под прямым углом, следовательно, кривые у, и .(г также пересекаются в точке г, под прямым углом.
м 83. Потенциальные яинии заданы уравнением (г — а! = Ь, а = а, + ган Ь > О. Найти комплексный потенциюг 1(г) потока жидкости, а также скорость. и Имеем !п (г — а! = Ьг Ь = сопз1, или Ке1п(г — а) = сопи, Таким образом 1 1 1(г) = 1п(г — а), е = !'(г) =; е(2а) = —. м - — а а 84. Пусть функция 1: С С является аналитической в замыкании области Р, а С вЂ” образ области Р при отображении у. Доказать, что если отображение у в области Р однолистно, то для плошали л(С) области С справедлива формула р(С) = (У'( 8 беату. м Пусть г = х + гу, гс = 2(г) = и + (е, г е В, ы Е 6. Тогда функции ц = Ке у, е = !ш ! осуществляют с помощью уравнений и=и(х,у), с=с(х,у) (1) биективное отображение области В на С (см.
и. 4.4). Из курса математического анализа известно, что мера (плошаць) жорданова множества С вычисляется по формуле р(С) = цх бу, (2) и где ~,'" ", — якобиан преобразования (1). В и. 4.4 показано, что ! — „,'" „,'(х, у)( = (~'(г))'. Следо- вательно, р(6) = О ~У'(г)!'Охйу. и и 85. Найти плошадь р(С) образа С области В = 1г Е С: 1 < (г~ < 2, ! агйг! < -„~. м По доказанной в предыдущем примере формуле получаем: ° ю= Ц~з~т .~=9Ц(~ и и Полагая х = рсоа(г, у = рйп)г, имеем — —, <)г < —, 1 < р < 2, г Р(х, у) /' /', я 1 г~' 189я — =р, р(С)=18 4(г р г(р=18.—.
-р е Унрялшения длн самостоятельной работы 1. Упросппь выражение ы 2ы„ ,а а), (х б 81): б) * *.' ', если г = е'а. ы*г н 1л. 2. Комплекснме числа и функции комнаексного переменного 30 2. Доказать, что для произвольного комплексного числа г Ф 0 существует такое единственное число ш, что (м! = Ь(е( ((о ) 0) и агйм = — агйг. Найти это число. 3. Доказать, что ни при каких значениях т (гп Е К) комплексное число вила ! — » » — » >> -> не может быть чисто мнимым. 4. Доказать тождества: а) (х! + гг(г + (е! — хг(г м 2 (,(х>(г Ч-(зг(г) б) ~ 1 — е! хг! — >>х! — ег( = ( ! + ! ! ег!) — (1з>( + (ег~) ; в) ! е ч- -,' ) -ь г ! г ч- †,' ( — ( 1 ч- !)!г (~ — -„' ( ! ч- г) = е; г) ( ††г + хг( Ч- ( ~г — зг! = !з>! + !гг!, если х, зг = =,', л) ~ ~! + -, ~ + т2, !!1 — †. ~ = " , "о>, если !г'( = и, и б Я; ь=! ь=! > ",';.;,'." ) = .
ж) П ~е — 1) =(-1)" ' п(пб(>0. ь=! 5. Пусть хь (й = 1, и) и зо — произвольные комплексные числа и х = -' 2 , 'зь. Доказать ь=! равенство „2 (зо еь! = !зо — г( ч. — ~ !еь — г~ . ь=! ь=! б. Пусть при всех х, !з( ( 1, м(х) = г~ -Ь 2х+ 5. Доказать, что п>(е!) м(ег) «г г! гг. 7. Пусть ни одно из чисел го аг и х, не совпадает с е,. Доказать, что если из чисел -'":-*-г, -'-' — 'г, —,'--;г два — чисто мнимые, то таковым является и третье. Указание. Воспользоваться соотношением (гз — го!' Ке -„*": —,"--' + (х! — г '!г Ке -*г=-';г + (хг —: )~ Ке -*~: — *-! = О. > 8. Доказать, по а) если х Ф -1 и !г! = 1, то з = —,'+",,, где 1 — некоторое действительное число; б) всякое действительное число а представимо в виде а = г —,'+*, где з — некоторое комплексное число, причем !х~ = 1 и е й 1.
9. Представить в тригонометрической форме число е = (! — сова Ч- г япа)", где и — делос число, не равное нулю. 10. Найти суммы Указание. Вычислить а„ч- г(߄— 1). 11. Пусть Ь б К, а Е С и а зо О. Доказать, что а) расстоянис от начала координат до прямой ах + ар = 2Ь равно —,; г>о! Ьй ! б) расстояние от точки е Е С до прямой ах + ау = Ь равно ! — '--'-': — !. о ! ! 12.
Доказать, что точки ег, гг и зг лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда 1 1 =О. 1 х, г, хг гг хз з 13. Пусть е>, ем ез — соответственно вершины треугольника АВС, вписанного в елиничную окружность. 2~оказать, что АС = АВ (т. е. треугольник является равнобедренным) тогда и только тогда, когда х! = вгег. 81 Упражнения для самостоятельной работм 14. Доказать, что у(п Е (г(, ль . (ль( < 1) выполняется неравенство 15.
Доказать, что а) !1+ л'! > 2(Вел) Хгл ! — 1 ( йел ( 1; 16. Решить систему уравнений л -!-ю =0 ф =1. ! — 4 17. Показать, что корни квадратного уравнения ах!+ Ьл + с = 0 с действительными о, Ь, с и отрицательным дискриминантом образуют пару взаимно сопряженных комплексных чисел. 18. Доказать, что корни л! и л! уравнения л 4 2рл 4 д = 0 (р Е С, !) Е С, д ~ р ) лежат на прямой, проходящей через начало координат, в том и только в том случае, когда или р = О, или рФО,адгбйи дг<1. 19. Йайти множество точек л в комплексной плоскости С, удовлетворяющих следующим соотношениям. а) (л — а( = 22; б) Ке л + 1т л = 1; в) агв - = а, а Е ( — х, я); г) ) — ** ! = 1; д) Ке(л — л) = 0; е) (л — г( 4 !л + г~ = 4; ж) Ке(! 4 л) — ф = О.
20. Написать в комплексной форме уравнения следующих линий: а) ху = 1; б) х'+ (у+ 1)' = 1; в) х' — у' = -,; г) у' = 2х+ 1; д) р =,„' 21. Найти множества точек л на плоскости С, которые определяются условиями: а) г < !л — ла( < 22; б) ! — *, ( < 1; в) а < кел < Ь; г) -' < Ке у+1щ —,' < -,'; д) 0 < аг8 — '.' ( —,. 22. Среди комгпексных чисел л, удовлетворяющих условию ~ — 25г( < 15, найти то, главное значение аргумента которого наименьшее.
23. Доказать, что отличные от О и !У точки А(л,) и А(л,) сферы Римана диаметрально противопшгожны тогда и только тогда, когда гочки л, и л, плоскости С связаны условием л,у, = — 1. 24. При каких значениях параметра а следующие окружности комплексной плоскости С отвечают большим кругам на сфере Римана: а) !л — а(=а(а>0); б) (л — г( =а(а)0); в) !л — г(=а(а>0); г) (л — 2аг(=а(а>0). 25. Найти: а) !пц (и (! — соз -) 4 г(чгп! + ! — „гй) з!и -„); б) !!т (1-Ь 2л+ 3лг+ ...
9 пл" '), если !л! < !. 26. Доказать, что предельные точки последовательности (с„), где с„= П (! ч- —,') лежат на ь=! окружности у = ( л Е С:!л~ = г/ , 27. Пусть а н г5 (а ф )уг !а! < 1, !г5( < !) — заданные комплексные числа, а последовательность (л„) определена рекуррентными соотношениями л„= (а+)))л„! — аг5л„! гуп ) 2.
Доказать, что !пп л„= О, 28. пусть л, = а, л, = ь(а ~ О, ь~О, аФь) и,г = —,' 4- — '.Доказать, что Бш л„= О. 29. Доказать, что если области Р, и Р, плоскости С имеют общую пгчку, то Р, ГЗ Р, также является областью. ,г 30. Дана функция / ! С вЂ” С, гле 7(л) = — *,,*..* ', л = езг и гр — произвольное действительное число; а) доказать, что 7 — действительйая функция от уг; б) найти образ отрезка у = ( зг б и ! 0 < (в ( 4 2 при отображении у.
31. для отображения и = —, (ш = и+ гх, л = х + гу) найти: Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного а) образы линий: 1) х = С; 2) у = С; 3) х+ у = 1; 4) агд х = а; 5) (х -ь !! = 1; 6) у = (х(! б) образы множеств: 7) полосы, заключенной между прямыми х = 0 и х = 1; 8) полосы, заключенной между прямыми у = 0 н у = 1; в) прообразы линий: 9) и = С; 10) е = С. 32. Для отобрюкения ю = —* ,г найти прообразы множеств: а) 1У=(игбС:(ю! <2); б) (У=(юбС:!ге(>1). ЗЗ. Доказать, что функция ю = а~ -ь 2х+ 3 однолистна в круге 76 = (х б С: (х! < 1).
34. Определить кривые и построить их графики: 1) х=хе+ае*'ч-)уе *'(0<1<в"! абК, ДОИ); 2) к=о!е*',0<!<э.ж, абЖ; 3) х = !' 9 —,',, 0 < ! < +ос; 4) з = (а 6 )3)е* — г5е д, где 0 < ! < ч-сс, а, )3 — положительные постоянные. 35. Найти (если существуют) пределы: г г г 1) 1пп — *; 2) 1пп — *г'; 3) !пп — '+,'; 4) !пп ","',; 5) 1пп ( Д вЂ” ~ 6 2г); О зк к г 6) 1пп х; 7) !пп агйа; 8) !1ш -*; 9) йп Зг' — ',г-. *-.г- — г =-О *-о 36.Исследовать на непрерывность в областях существования следующие функции: ( х 9 гу, если х или у рациональные, О, если х и у иррациональные.
4) ш = —,',; 5) ю = !8(аг8 в). 37. Пусть функции и = и(х, у), е = е(х, у) дифференцируемы в области 27 и 7(х+ гу) = и(х, у) 9 ге(х, у) для всех (х, у) б В. Доказать, что для лифференцируемости функции 7 в точке зе = хо -ь гуе б Р необходимо и достаточно, чтобы вырюкение г(и(хо, уо) -1- г Фг(хш уе) было пропорционально дх = дх -ь г 4у. 38. Пусть функции и = и(х, у), в = е(х, у) дифференцируемы в области Р, 7(х -1- гу) = и(х, у) + ге(х, у) для всех к =. х ч- гу Е П и '7и = (~", в ), те = (в', д") — градиегпы соответственно функций и и е. Доказать, что условия дифференцируемости функции 7 как функции комплексного переменного х б С вырюкаются равенствами (р., ъ) = о, !р.! = (р (, где (37и, 37е) — скалярное произведение градиентов, а ! си), (туе! — нх длины. 39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
