Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Элемевтариые фувкцви в комплексной плоскости 90 Из условия !ш(!у)~ = 1 находим, что !Ь~ = 1. Принимая во внимание, что образ точки з = Ь вЂ” В лежит на окружности ! = (ш Е С: ~ш/ = р), имеем ~Ь 22 ьуЬУ ' 2( ~ (Ь п)з 2()г Д)/Д Яг+Ьз Р (Ь Д)2 Ьз ! 2(2 (Ь вЂ” 22)(Ь вЂ” ьтЬЬт -7!т) Л -22 — Ь Ь вЂ” Л2-)?т , ш Д(К вЂ” Ь) 10. Найти общий вид дробно-линейной функции, имеющей две неподвижные точки з, и тш М !) х, = О, зт — — со, тогда ш = Аз, А Е С. 2) Полагая Иг = —,„:--~, 2' = ='.: —;-'- и принимая во внимание 1), находим: ' — -г' *2 ш — з~ з — 7~ — =А ш — аз з — зз 11. При каких значениях А дробно-линейное отображение с двумя неподвижными точками а~ и зз (см.
пример 10) переводит саму в себя люб)ю окрулгность, проходяпбчо через неподвижные точки, с сохранением направления обхода? Показать, что при этом любая окружность, ортогональная к окружности, проходящей через неподвижные точки, переходит в окружность также с сохранением направления обхода. м Для того чтобы отображение ш = Аз переводило прямые у = Ьв сами в себя с сохранением обхода, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство А > О. Это же условие сохраняется и для общего случая, о чем свидетельствует общий случай 2) в примере 10.
Второе угвержление задачи непосредственно следует из конфорлгиости дробно-линейных отображений, а именно, свойства сохранения углов по величине и направлению отсчета. ш (а -Ь 2 12. Доказать, что прямая, проходящая через неподвижные точки отображения ш = переходит в себя. м Неподвижные точки отображения ш являются решениями уравнения а — 2еа — 2 = О, 7 з,, = Ы -Ь 1, Точка С которая указанным отображением переводится в со, лежит на прямой, проходящей через неподвижные точки ап еп ° 13.
Последовательность (з„) определена так: зе — известное, а„.,~ —— ((т„), и Е Бш где у'— дробно-линейная функция с двумя неподвижными точками. Иссдедовать ее на сходимость. м Пусть а Е С, )) б С вЂ” неподвижные точки отображения !. Принимая во внимание формулу, полученную в примере 1О, имеем 焄— а з„— а,з„~ — а ыхо о „ы . „. паза — о =А =А = ... =А" =~А~" ен" —, ршагяА.
зы — )) г„— Д х„~ — 13 ' зо Д за Д Следовательно, з ы а / О, если !А~<1, )9 ~ со, если !А( > 1, !1т или а, если ~А~ < 1, '( 19, если 1А! >!. При ~А! = 1 бт а„ не существует. ш а~ 14. Найти центр ша и радиус 22 окружности, на которую функция ш =, !таз зь О, х — гз отобрюкает действительную ось.
м из того, по ш(а,) = со, следуют равенства ше — — ш(аз) = ух=-*-". поскольку ш(со) = 1, то 2 *2 точка ш = 1 принаалежит окружности и. следовательно, 21 = !ше — 1! = )т!з:-Я. !ь б2. Степенявя фушгция ш = л" (и Е г(, и Ъ 2). Миогозиачиая функция и = ~/л 91 15. Единичный крут отображается на себя так, что точка ае Ф 0 переходит в центр круга. Доказать, что при этом единичная полуокружность отображается на полуокружность тогда и только тогла, когда ее концы лежат на диаметре, проходящем через точку аа.
м Отображение единичного круга на себя имеет внд в а — ао ю = е'— 1 Диаметр окружности з = (а е с: ф = 1), проходящий через точку аю переходит в диаметр окружности Т' = (ю Е С: 1гс~ = 1) согласно тому, что м(аа) = О, ге( — ' ! = оо. Итак, елиничная полуокружность, концы которой лежат на диаметре, проходящем через точку ап перейдет в полуокружность, поскольку ее концы также лежат на диаметре, Любой другой диаметр, не проходящий через точку ам будет отображаться на дугу окрухпчости конечного радиуса.
Таким образом, полуокружности с концами на этом диаметре уже не будут отображаться на полуокружностн. ° 16. Найти симметричный образ опюсительно окружности Т = (а Е С: ~а — 1~ = 1) линии Т' = (а Е С: ~г — 21 = 2) (окружности з'). < Преобразование симметрии относительно окружности з полностью определяется функцией ге = 1+ ' (см, формулу (3), и. 1.2), откуда г = 1+ =', . Поэтому нужно охарактеризовать те и только те точки, для которых ~1 Ч- =' — 2 = 2, или )ге-2! = 2(ы-1!.
Это множество точек, отношение расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная. Оно является окружностью Апозшония относительно точек 1 и 2. М 5 2. Степенная функция ю=л" (иЕИ, и>2). Многозначная функция ю = Ф: и ее поверхность Римана 2.1. Степенная функция. Функция ю = з", а Е С (1) аналитическая в плоскости С, Поскольку "—, = пз" ' ~ 0 жа ~ О, то отображение, осуществляемое степенной функцией, конформное в каждой точке з Е С1(0).
Пусть а = ге"', м = рею. Тогда (2) р = г", уэ = пр (уз = агд а). Из (2) видно, что отобрюкение (1) увеличивает в и раз углы с вершиной в точке а = О. Итак, отображение (1) не является конформным в точке а = О. Отображение (1) однозначное, но не взаимно однозначное, поскольку любые две точки а, Е С1(0), а, Е Сг(0) с одинаковыми модулями |а,) = |а,) и аргументами, отличающимися на целое кратное — '„ 2я агах~ — — агдхз+й —, й Е У, и переходят в одну точку м.
Следовательно, отображение (1) не является однолистным в С. Другими словами, вершины каждого правильного и-угольника с центром в начале координат переходят при отобрюкении в олпу точку на плоскости га. Область плоскости а, не содержащая никаких лвух разных вершин пРавильного и-угольннка с центром в точке х = О, является областью однолистности функции а '-' а". Очевидно, что областью одиолистности будет любая область, целиком 92 Гл. 3. Элементарные фушщвн в комплексной плоскости лежащая внутри угла величиной — ' с центром в начале координат. В частности, внутренность любого угла 2я а<ы <а+ —, оей (3) является областью однолистности степенной функции и будет отображаться на всю плоскость вв с выброшенным лучом па б Агам.
2.2. Многозначная функция зд = ~Ук н ее поверхность Римана. С помощью лучей )в = а + й~„всю плоскость з можно разбить на и областей однолнстности степенной функции ((в = О, и — 1). Пусть а = О. Тогда такими областями будут внутренности углов 2кя 2(а Е 1)к — < Зв < я = О, и — 1, (1) и и т. е. бесконечные секторы. Попьпаемся теперь построить такой геометрический образ, чтобы степенная функция (1), и.2.1, устанавливала взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между точками всей плоскости г и точками этого образа.
Рассмотрим первый угол О < Р < — ',"'. Он отображается на всю плоскость и с выброшенной положительной полуосью. В нее переходят два луча: )в = О и )в = — '„. Чтобы сберечь взаимную однозначность множества 2) = (в б С: О < )4 <+со, О < агах < — ') и плоскости ы, проведем на плоскости ы вдоль действительной положительной полуоси разрез и в соответствии с правилом обхода считаем, что луч Р = О переходит в верхний берег разреза, а луч )в = ~„— в нижний. Изготовляем и экземпляров плоскости ы с рюрезами вдоль положительной части действительной оси, являющихся образами бесконечных секторов, определяемых условиями (1), подкладываем их друг под друга и склеиваем так, чтобы сохранить непрерывность и взаимную однозначность соответствия.
Для этого нижний берег разреза первого листа склеиваем с верхним берегом второго (находящегося под ним) листа, нижний берег разреза второго листа с верхним берегом разреза третьего листа и т.д. и, наконец, нижний берег разреза и-го листа с верхним берегом разреза первого листа (рис. 32). Полученный геометрический образ называется поверхностью Римана функции з = (/и. Поверхность Римана наглядно помогает лучше понять природу отображения, совершаемого степенной функцией Выше отмечалось, что область плоскости х является областью однолистности функции х г" тогда и только тогда, когда она не содержит двух разных вершин правильного и-угольника с центром в точке в = О.
Ясно, что область, содержащая точку з = О или х = ж, этому условию не удовлетворяет. Заметим также, что эти точки являются неподвижными, т. к. О'* = О, (оо)" = оо. Пусть теперь 2)* — любая односвязная область плоскости ы, не содержащая точек О и со. В такой области можно определить и разных функций (однозначных), ддя каждой из которых функция гв = х" является обратной.
Эти функции называются одлозлачныма ветвями многозначной функции х = 7/й. Пусть в = ге'г, и = де*~. Тогда г = 'ур, )в = —. Угол В определяется однозначно для каждой ветки и каждой точки из области 2)*, а именно, берем любую точку ыр б Р', фиксируем в ней какое-нибудь определенное значение В = Вв и в далы<ейшем считаем, что при непрерывном перемещении точек ы в Р" угол В изменяется непрерывно. Поскольку область Т)* не содержит точки О и оо, то значение В для каждой точки множества 2)* „,—,. в будет однозначно определено и равенство з = ~у(вв(е' будет определять однозначную функцию в области 2)*. Если теперь положить для гвр б Р* В = Вв + 2гг, то получим другую ветвь, при В = В, + вк — третью ветвь и т.д.
Таким об~атом, фиксируя значение В в точке гвв разными способами, полагая В = Вв + 2ая (й = О, и — 1), получаем и функций, для кюкдой из которых 02. Степенная функция ю = х" (и Е И, и > 2). Многозначияя фувквяя ю = .ъух 93 стеленная функция ю = г" является обратной, Объединение этих функций (однозначных ветвей) назовем многозначной функцией г = 7/и.
Точка, при обходе которой в достаточно малой ее окрестности совершается переход от одной ветви многозначной функции к другой ее ветви, называется точкой разветвления этой многозначной функции, Причем, если после и-кратного обхода в одном и том же направлении опять возвращаемся на начальную ветвь, то говорят, что это точка разветвления (и — 1)-го норядка, в противном случае — бесконечного норлдка. Точки разветвления конечного порядка называются алгебраическинн точками разоетеленил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
