Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Согласно теореме 1, функция 1 ь ы* непрерывная в этой точке. Поэтому йш (у ь !о) (() = йп! (у ь ы ) (() — (1 ь )ь*)(гь) = 1(вь)' с о с-сь 2,8. Свойства фупкппй, непрерывных на компаате. Теорема 1(о непрерывном образе компакта). Пусть 1: С вЂ” С вЂ” непрерывная функ- ция и Ру — компакт. Тогда многкество Ег компактное в себе, т. е, непрерывный образ компакта есть компакт. Ч Утверждение является частным случаем теоремы п. 6.1, гл. 1. И Определение.
Функция 1; С -ь С называется ограниченной на мноэсестве Рг„есеи существует такое число М б 1х, что Уг б Рг !1(с)~ ( М. уеарема 2 (Вейерштрасса). Пусть 1: С -ь С вЂ” непрерывная функция и Ру — компакт. Тогда функция 1 ограниченная, а ее модуль дктигает на мнонсестве Рг своих наибольшего и наи- меньшего значении. ч Согласно теореме 1, мнозкество Ег яющется компактом, т.е.
замкнутым ограниченным множеством. По определению 5 (см. п. 3.2, гл. 1) его диаметр д(Е1) = зцр р( п, сез) ~елг, генг есп конечное число, т. е. д(Е1) б В. Согласно следствию из теоремы и. 3.2, гл. 1, Уюь б С мнозке- СТВО Еу СОДЕРжИтСЯ В ЗаМКНУтОМ ШаРЕ 0„(шь), ГДЕ Г = ПК Р(твь, Ьв) Ьд(Е1). ВЗЯВ Шь = О, ПОЛУ- ее! чнм, по множество Ег содержится в некотором замю!)том шаре конечною радиуса 12 с центром в начале координат. Поэтому )гх б Вг !ю~ = !1(г)~ < Е, т. е.
функция 1 ограничена. Отожле- ствим комплексную плоскость С с плоскостью К'. Тогда непрерывная ограниченная функция Щ принимает на замкнутом ограниченном множестве Вг С К' свои наибольшее и наименьшее зна- чения, согласно теореме Вейерштрасса для непрерывной функции (о: К К. Следовательно, существуют такие точки з! б Ву, гз б Рг что '!у(х!)~ = '"1 11(хП, !1(гз)! = з"Р !1(хН " *епг епг Чг б Вг выполняются неРавенства )1(х!)( ч ~1(зИ ч )1(хзй, и Звмечавве.
при определении непрерывной функции у в точке хь предполагали, что у(гь) гь сс, при изучении отображений множеств с помощью аналитических функций целесообразно огкьзьться ог этого ограничения и считать функцию у непрерывной е точке хь, где у(хь) = сс, если !ип у(х) = со. В этом *ь — )в случае функцию У называют обобщенно-ненрерыеноа например, функция С С, где если г б Сг(0, сс), 1(х)= 0 лри х =со, со лрн с=О, обобщенно-непрерывная в плоскости С. дья нее йщ у(х) = 0 = у(сс), йщ у(г) = со = у(0). 9 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области В курсе математического анализа рассматривается понатие проитодной вектор вгуикции у: К-+В, Вг =(а, Ц, где 1=(уп уз, ", у ) — упорялоченный набор функций 11 (у = 1, пь).
53. Непрерывные н гладкие кривые. Односвязные и многосвюиые области 5( Вектор-функция у ди<6<йеренцируема на сегменте [а, Ь[ тогда и только тогда, когда на нем диффеРенциРУемы фУнкции У<, и пРи этом ч1 Е [а, Ь] У'(1) = (У'<(1), Уз~(1),, У~ (1)) (в точках а и Ь гчп<+Ьг< речь идет об односторонних производных). Отображение [а, Ь[ — + С можно рассматривать как вектор-Функцию )р = ()р<, урэ) С м~.
Тогда, если функции ур< и (оэ дифференцируемы на сегменте [а, Ь], фУнкциЯ (о также диффеРенциРУема и ч1 Е [а, Ь[ УР (1) = УР, < Ц Ч-(УР<(1) = (УР <(1), Уэз(1)). Определение Е Множеапео у С С (ияи т С м~) называется непрерывной кривой (т раенторией), если существует непрерывное отображение [а, Ц т. ]Три этом отображение ур на называется параметрическим представлением кривой у. Из курса математического анализа известно, что отобрюкение ур = (уч, урэ) непрерывно тогда и только тогда, когда функции р< и (рз непрерывны. Для каждой непрерывной кривой у фиксируется одно из двух взаимно противоположных направлений движения подвижной точки 1 Е [а, Ь], соответствуюшее возрастанию или убыванию параметра.
В первом слГ<ае ур(а) есть начало, у<(6) — конец кривой, а во втором случае зти точки меняются местами. Кривая, начальная и конечная точки которой совпадают, называется замкнутой. Если у С В С С (у С Я С С), то говорят, что кривая у лежит в множестве Я или содержится в нем. Если одна и та же точка кривой т соответствует двум или более различным значениям параметра, из которых по крайней мере одно отлично от а и от Ь, то такая точка называется кратной. Непрерывная кривая, не имеюшая кратных точек, называется жорданоеой нли простой.
Другими словами, кривая т С С называется жорда«ооой, если ее параметрическое представление ур является биектнвным отображением. Если ур(а) = ур(6), то жорданова кривая ниывается замкнутой. Пусть у< и <]< — параметрические представления непрерывной кривой т, Рр = [а, 6], Рр — — [а<, Ь<[. Они называются эквивалентным, если существует такая непрерывная возрастаюшая функция [а, Ь] [а„Ь,], что ур = <(< р ц, В этом случае записываем (р - <]<.
Определение 2. Множество т С С (или т С ы~) называется простой гладкой при еой (траенторией), если сущестоует непрерывно дилл]<еренцируел<ое отображение [а, 6] — < у с отличной от нуяя проиэеодиой Рйи этом отображение у< называется параметрическим предстоелениел< сходной кривой у. Если <6 — лругое параметрическое представление гладкой кривой у, Р„= [ан Ь<], и сушествует такая непрерывно дифференцируемая функция [а, Ь] [а„Ь,], что <у1 Е [а, Ь] П'(1) > О на и <]< о <у = ур, то наралмтрическ<ш представления ур и <6 называются эквиеилгнтными.
Определение 3. Множество -у„р всех эквивалентных параметрических представлений простой жадной криной 3 назыеается ее ориентацией. Упорядоченная пара Г = (т, те<) называется ориентированной гладкой кривой Г. Очевидно, что ориентация простой гладкой кривой однозначно определяется указанием ее начальной точки. Ориентацию простой гладкой кривой у с параметрическим представлением у< апрелю<лют также выбором одного из двух возможных направлений единичного касательного вектора г(М) = ~,<'„'~, где М = у<(1) Е у. Все параметрические представления ур Е у эквивалентны между собой. Их совокуг<ность называется протиеополохсной ориентацией у,„.
Ориентированную кривую Г = (у, у„,) назовем противоположно ориентироеаннои по отношению к Г(у, у,р). Среди всех параметрических представлений ур ориентированной гладкой кривой Г = (у, ур) существует такое, что <рЕ у,р, Р =[0<1] и ч(Е[а,Ь] ](о(1)[=1< ь где! = д' [)р'(1)[д( — длина кривой у. Это представление единственное. Оно называется нормальным (естественным, натураяьныи). Нормальное параметрическое представление ур получаем в < виде композиции <гору, где <у< Е у, Ре = [а, Ц, [О, 1] " [а, Ь[ и Ф1 Е [а, Ц <1 '(1) = ] ]<6'(т) [дт. 52 Гл.
2. Комплексные числа и фувкцин комплексного перемелиого Известен следующий результат. Теорема 1 (Жордана). Простоя замкнутая кривая у разбивает всю плоскость С на две различные области С, и Сз, общей границей которых она являетсл. При этом одна из областей, называемая внутренностью т, ограничена, а другая, называемая в не шност ью т и содержащая бесконечно удаленную точку, не ограничена. Например, множества С, = (л Е С [ р(зь, ) < г) и Сз — — [з Е С [ р(гь, з) > г) являются соответственно внутренностью и внешностью окружности у = (з Е С: р(з„з) = г) . Определение 4. Пусть С С С вЂ” произвольная обзасть.
Если для любой замкнутой жордановой кривой у, принадлежащей С, внутренность у также принадлежит С, то область С называетсл односвязной (относительно плоскости С). Примером односвязной области является внутренность окружности. Внешность окру:ююсти, а также круговое кольцо — не односвязны относительно плоскости С, так как для каждой из этих областей можно указать такую окружность, принадлежащую области, внугренность которой не вся прнналлежнт области, Для нужд теории конформных отображений понятме односвязной области обобщается.
Определение 5. Область С С С называется односвязной относительно расширенной комплексной плоскости, если для любой замкнутой жордановой кривой у, принадяежащей С, внутренность у или внешность т также принадлежагп С. Области, не являющиеся односвязнымн, цазьпюются мпоеосвязпыми. Например, внешность окружности, которой в расширенной плоскости С приналлежит также н бесконечно удаленная точка, является односвязной относи~ельно плоскости С, хотя она не односвязна относительно плоскости С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
