Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поэтому упорядоченная пара (С, р), где у(аг Е С, зг Е С) я(вп хг) = !аг — а,! = (хг — х,)г+ (уг — у,)', есть метрическое пространство. В множестве С введем в рассмотрение так называемую сферическую метрику р. Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного перемемиого ПУсть Яг((г г)г, ьг), Вг(сг, бы ьг) — сфеРические изобРажениЯ точек х, б С, хг б С.
ХРР- дальным Расстояние,и к(Я„В,) между точками Яг и Яг называется евклидова норма вектора (сг сг г)г г)г (г (г), т. е. Й(дг, Яг) = ((г — (г) + (г)г — г)г) + ((г — Сг) . Полагаем »гг(хг Е С, хг Е С) р(хг, гг) т й(Я», Яг). Согласно основным формулам стереографической проекции имеем 1 +М" 1+! гР' ' 1-~И2' 1+И" ' 1-У~хгР' ' 1Ч-~ гР' Слеловагельно, если хг б С» хг 6 С, то г г г +~ Гг 1+~ Г,) "(, ч~"~г +~ Гг) '), +~ ~г - ~.Г )х»1~ И~ 2(хгхг -Ь угуг + ~хг~~~ г1~) 1+ /хг/г 1+ ~хф (1+ !хг!г) (1Ь !хг!г) (1Ч- /хг/г) (1-Ь )хг!г)' ! г — хг! Р(хг» хг) »гг( + /хг~г»,Л Ч- (хг(г ы Если х Е С, то р(х, со) = ='==. Таким образом, )хг — хг/ „(, „,,—,) „,,)"г у)'Й,у +~~.~ уг) + ~х~Р' если х»ЕС» хгЕС, если гг Е С, хг = оо. Упорядоченная пара (С, р) является метрическим пространством. Заметим.
что в множестве С можно пользоваться сферической метрикой. Пусть А С С— ограниченное множество (напомним, что согласно определению 5, п.3.2, гл.1, применительно к мегрическому пространству (С, р), множество А называется ограниченным, если его диаметр г((А) = щр р(хг, хг) = зор ггг — х,~ конечный). Пусть О < гг < +оо и»гх е А ф < л. *ЫА, » ел »пе н гел Тогда Ч(гг б А, г, б А) имеем р( г, г) гхг — хг! г ~ ~Р(хг хг) ~ ~Р(т хг). (2) 1 + )(' ' ,/1 + !х,/г,/ 1 + ~х,/г В рассмотренном случае метрики р и р зквивалентны.
уолологией в метрическом пространстве (Х, р) называется семейство открытых множеств в нем (см. п.б.б, гл. 1). Топология в пространствах (С, Р) и (С, р) осуществляется путем введения в рассмотренные семейства окрестностей. Пусть е > О и ха Е С. Согласно определению 1, п. 3.2„гл. 1, множество 0,(ха) = (х Е С: 1х — ха( < е) 0,(со)=(хбС:р(х,со)<е)= хбС: <е = хбС:(х~> ~ — — 1, (3) ф-~-~Да ~ — ~ ~/ ~ ег т. е.
множество всех точек комплексной плоскости С, лежащих вне окружности радиуса называется е-окрестностью точки хь в метрическом пространстве (С, р). В метрическом про- странстве (С, р) е-окрестностью точки х = оо является множество в 2. Топология комплексной плоскости 45 Согласно определению 2, и.
3.4, гл. 1, точка» Е А С С (» Е А С С) называется внутренней, если с)чцествует ее е-окрестность О,(») С А. По определению 1, п.3.3 гл. 1, множество О С С (О С С) называется открытым в метрическом пространстве (С, р) ((С, р)), если оно состоит лишь из внутренних точек. Согласно теореме 1, п. 3.3, гл. 1, каждая е-окрестность в метрическом пространстве (С, р) ((С, р)) является открытым множеством. Определеиие 1.
Совокупность всех открытых множеств в комплексной плоскости С (С) называется топологией г этой плоскости, а упорядоченная пара (С, т) ЦС,т)) — таповогическим пространством. Топологическое пространство (С, т) ((С,т)) обладает свойствами: 1) обьединение любого семейства (Ов)„ел аткрытьтмнажеств О„С С (О„С С) и пересечение конечнага семейства их являются открытыми множествами (см. теорему 2, п. З.З, гл.
1); 2) пустое множества о и множество С (С) являются атнрьнпылт множествами. Согласно определению 3, п. 3.5, гл. 1, точка»в Е С (», Е С) называется тачкой прикосновения ллножесчва А С С (А С С), если любая ее б-окрестность Ог(хв) имеет с А непустое пересечение. Точка»в б С (»в Е С) называется предел~ной лля множества А С С (А С С), если она является точкой прикосновения множества А)[»в).
Из определения прелельной точки множества А следует, что любая ее б-окрестность содержит бесконечное множество точек из А (см. теорему 4, п. 3.5, гл. 1). Из неравенств (2) следует, что если» Ф со — предельная точка множества А в топологическом пространстве (С, г), то она имеет такое же свойство в пространстве (С, г) и наоборот.
Поэтому прн определении конечным предельных точек можно пользоваться как евклидовой, так и сферической метрикой. В этом смысле метрики р и р эквивалентные. Очевидно, что конечное множество А С С не имеет предельных точек. 2.2. Замкнутые множества, отрезок н ломааяя. Связные множества. Согласно определению 1, и.3.5, гл. 1, множество Г С С (Г С С) называется замкиутым, если его пополнение СГ является открьпым множеством. Замкнутое множество Г содержит все свои точки прикосновения. Множество всех точек прикосновения множества А С С (А С С) называется его замыканием и обозначается А (см. определение 2, п. 3.5, гл.
1). По определению 5, п.3.5, гл. 1, точка» б С (» Е С) называется граничной точнов множества А С С (А С С), если она является точкой прикосновения как А, так и СА. Множество дА всех граничных точек множества А называется его границей Оно замкнуто и может быть пустым. Пусть», б С>»г Е С. Множество (» б С: - = 1», 4 (1 — О»», 1 б [О, 1]) называется отрвжом на плоскости С, саединпюи(им точки»п»з, и обозначается [»и»,[.
Точки», и», называются его концами. Отображение 1 ~ »(1), где»(1) = 1», + (! — 1)»» !у( б [О, ц, называется парпиев тричесним представлениелл отрезка [»п»г[. Непрерывная функция [о, Ь[ К называется ломаной (кусочно-линейной), если ее график на плоскости К, отождествленной с плоскостью С, состоит из конечного числа отрезков. Определение 1.Открытое множества О С С (О С С) называется связным, если любые две вга точки можно саединтпь ломаной, все точки которой принадлежат этому множеству.
Определевие 2. Замкнутое множество Г С С называетсл связным, если ега нельзя разбипм на две части, расстояние между которыми положительно. Понятия связности открытых и замкнутых множеств существенно отличаются. Определение 3. Связное открытое множество называетса обдаст ью. Определение 4. Замыкание обласлпи называетсв замкнутой областью. 2.3. Последовательность комплексных чисел я ее предел.
Пклвдовательностью (»„) точек метрического пространства (С, р) называется отобрюкение [л[ -" С (см. общее определение последовательности точек в и. 1,8, гл. 1). Рассмотрим некоторые вопросы теории последовательностей точек метрического пространства, изложенные в З 3, гл. 1, применительно к последовательностям комплексных чисел. Определение 1. Точка» б С «азьлвавтся пределом последовательности (»„) (при этом записываем» = 1пп»„иви»„»), если Яе ) 0)(Эп, Е 1Ч) (Уп ~ и,): р(»„, ») = [»„— »[ < е. 46 Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного В этом случае послеловательность называется сходящейся.
Из определения следует, что начиная с некоторого номера и, Е (ч( все члены последовательности (л„) содержатся в г-окрестности точки л Е С. Вне окрестности 0,(л) могут находиться лишь точки л„»з, ..., л„, „множество 2 которых ограниченное. Согласно теореме п. 3.2, гл. 1, объединение 0,(л) гз Е двух ограниченных множеств является ограниченным множеством.
Следовательно, сходяшаяся последоватеяьность ограниченная (ОМ Е К: Чп Е М |л,! < М). Для обозначения ограниченных последовательностей (л„) комплексных чисел будем пользоваться символом Ландау л„= 0(1). Определение 2. Последовательность (л„) имеет пределом со (лри этом записываеи 1ип л„= оо или л„сс), если (чуг > 0) (Зп, б чй (зги > и,): р(л„, оо) ( г. (2) Из определения 2 следует, что, начиная с некоторого номера и, Е !(, все члены иоследовательогости (л„) удовлетворяют неравенству ~л„! > ()Я вЂ” ! ~ (см. п. 2.1), т. е. находятся вне круга радиуса Кй = .Я-1(. Условие !ип лй тес равносильно тому, что Бгп !л„! и+со. Для несобственного комплексного числа со понятия действительной и мнимой частей, а также аргумента не вводятся. Согласно теореме 1, и.3.!. гл.!, сходящаяся в метрическом пространстве (С, р) последовательность (л„) имеет единственный предел.
Теорема П (л„л) сь (Ке»„йел) л (1в »„1в л). < Необходимость. Пусть»„л, тогда р(л„, ») = ~»„— »! О, и из неравенств ! Ке л„— Ке л! ч !л„— л(, ! (т л„— 1в л ! < !л„— л!, вьшолняюшихся тгп Е гч, следуют требуемые свойства Кел„Ке», !тл„1тл. Огл "„ 1ии — =— --С. й !ип (л„+(„) = йт л„+ !ип Г„, Иги (»„Г„) = )ип л„1ип С„, Теорема 3 (критерий Коши). Посчедоватечьность (л ) сходится тогда и тол~ко тогда, когда она фундаментальная, т. е. (чге > 0) (Би, Е (чО ('в(п > п„р Е Щ) г р(л„ьр, л ) = !л„чн — »„! < г (3) (см.
определение фундаментальной последовательности в п. 3.1, гл. 1). Поскольку метрическое пространство (И, р), где р(*, у) = !я — у! тг(я Е К, у Е К), полное, то в сиду теоремы 1 полным является и метрическое пространство (С р), где р(л„лт) = !лт — л,! У(лг Е С, лг Е С) Теорема 4. Пусть последовательность (л„) сходится и л = йт л„. Тогда любая ее нодпоследовательность (л„„) также сходится и Ит л„„= л. ь- Достаточность.
Пусть Кел„йел, !в»„!в». Тогда !»„— л!т = (К廄— Кел) + 2 1(вл„— )тл) 0 при и со, т.е. л„-чл. и Таким образом, сходимость последовательности (»„) комплексных чисел равносильна сходимости двух последовательностей действительных чисел (Ке »„) и (1гл »„). Это позволяет перенести всю теорию пределов последовательностей действительных чисел на последовательности комплексных чисея. В частности, из ограниченности последовательностей (Ке л„) и (1тл„) немедленно следует ограниченность последовательности (л„). Сформулируем теоремы для последовательностей комплексных чисел, которые следуют из теорем для последовательностей действительных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
