Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Теорема 2. Пусть (л„) и ((„) — сходящиеся последовательности колггмекгных чисел. Тогда их сумма (л +(„), произведение (л„, („) и частное (в-) (при усговии, что зги Е 14 („и О и 1!в ф„а О) также являются сходящимися последовательности и и при этом б 2. Тополопи комплексной плоскости Теарема 5 (Больцано — Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное множества Я С С имеет хотя бы одну предельную точку а С.
м Пусть (х„) — произвольная последовательность точек множества Я, Она ограничена, поскольку мно:кество Я ограниченное. Тогда и последовательности (Ке х„), (1ш з„) ограничены. Согласно теореме Больцано — Вейерштрасса для последовательнее;ей действительных члсея, из последовательности (Ке г„) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (Ке г „). Пусть !цп Кех„, = х, х Е К.
Рассмотрим подпоследоаательность (1шг„ь). Она ограничена, поэтому низ нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (1ш г„ь ). Пусть !пп !шхьц = у, у Е К. В силу теоремы 4 Кех, х при гп — + оо. Рассмотрим подпоследовательность (г„, ) последовательности (г„). По теореме 1 !цп ггц = з = яд(у, ° Е С. Согласно определению 4, и. 3.5, гл. 1, г является предельной точкой мнохсества Я.
м Определеяие 3. Тачка х Е С (г Е С) называется частичным пределом паследааатеяьнасти (х„) ияи ег предельной таиной, если из нее манена аыдкгить падпагледааатеяьнаппь (гсц), предел катарин равен х. Из теоремы 4 получаем следствие: если последовательность (з„) сходится и точка г б С— ее частичный предел, то 1нп г„= .. Следует различать предельные точки множеств и последовательностей.
Например, последовательность (зн), где „= (-1)" имеет две предельные точки: г~ = -1 и, = 1, а конечное множество (-1, 1) предельных точек не имеет. 2.4. Свойства компакта К С С. Все необходимые определения и результаты, относящиеся к свойствам компактных множеств в метрических пространствах, излохсены в б 4, гл. 1, Рассмотрим свойства компакта в метрическом пространстве (С„р). Определение 1. Пусть К С С Множество К назыааетгя компактным а себе ияи компактам, если из любой паследаватгльнасти (з„) точек г„Е К милена выбрать падпасгедааатгюность (г„), стаднигуюся к ненагпарай тачке гг Е К (см.
определение 1, б 4, гл. 1). Теорема 1 (об ограниченности компакта). Каждый компакт К С С явяяетгя ограниченным мнажестаам. < Пусть, вопреки утверждению, компакт К не ограничен. Тогда существует такая по ледовательносзь (г„), что ) „( > и и Хсп Е сИ г„б К. Из (г„) нельзя выбрать ограниченную подпоследовательность и, тем более, сходящуюся. Получили противоречие, источник которого в предположении, что компакт К не осраннчен.м Заметим, что согласно теореме Хаусдорфа компакт К С С вполне ограничен в метрическом пространстве (С, р), т.е.
тг > 0 для него имеется в С конечная г-сеть, Поскольку метрическое пространство (С, р) полное, то по теореме срреше каждое вполне ограниченное в нем множество компактно. Следует также отметить, что не всякое ограниченное множество Я С С является компактом. Например, множество Я = (г Е С: (г~ ( 1) ограниченное, но не компактное а себе, поскольку любая подпоследовательность последовательности (х„= — ", ) его точек сходится к 1 б Я. Аналогично, если множество Я С С имеет предельную точку гр !( Я, то оно не является компактом.
Теорема 2 (критерий компактности в себе), Мналгестна Я С С яаяяетгя компактом тогда и только тогда, когда ана одновременно замкнуто и ограничена. < Необходимость. Пусть Я вЂ” компакт. Согласно теореме 1 множество Я ограничено. Допустим, чю оно не замкнуто. Тогда существуют такая точка зг б Я и такая последовательность (г„), что ссп Е (с( х„Е Я д 1пп г„= г,. Любая подпоследовательность (г,) сходится к га б Я, что противоречит определению компакта.
Источник противоречия — в предположении, что множество Я не замкнуто. Следовательно, Я вЂ” замкнутое множество. Достаточность. Пусть множество Я С С замкнутое н ограниченное, В силу замкнутости оно содержит все свои точки прикосновения (см. пюк5, гл. 1). Рассмотрим любую последовательность (х ) его то'ек. Поскольку она ограничена, то, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса 48 Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного (см.
теорему 5, п. 2.3), существует подпоследовательность (х„ь), сходящаяся к некоторой точке х Е С. Так как множество Я замкнутое и Чп Е )Ч г„Е Я, то х Е В. Согласно определению 1, множество Я компактное в себе. М Теорема 3 (Бореля — Лебега). 1(з любого покрытия компакта К С С бесконечным семейством (С )„е„аткрытыл подмножеств 6 С С можно выделить конечное покрытое. М Утверждение является частным случаем теоремы 6, 5 4, гл. 1.
М 2.5. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Понятие отобраэкення из одного множества в другое дано в п. 1.8, гл. 1. Предел, непрерывность, а также свойства непрерывных отображений из одного мезрического пространства в другое рассмотрены в 6 6, гл. 1. Будем изучать отображения 1': С ь С и (: В С. При этом результаты, изложенные в 6 6, автоматически имеют силу в рассматриваемых случаях. Задание комплексной функции комплексного переменного ш = у(х), х Е РР равносильно заданию двух функций и: В~ - В и и: Ж~ -ы В с областью определения Рг С Ж'.
При этом функция и называется дгигтаительнай частью функции 1', а функция в — ее мнимой частью, т.е. и = Ке у, п = 1гп 1', у(г) = и(х, р) Е (н(х, у). Таким образом, изучение функций 1': С -ь С сводится к рассмотрению свойств двух числовых функций и и и двух независимых переменных х и у. В теории функций комплексного переменного биективное отображение области 6 С С на область Р С С С Р г принято называть одночастной функцией.
Зго означает, что (г~ Е С, гг Е б д г~ Ф зг) ю ~(х~) Ф У(хг). Определение 1. Пусть э': С С и хь — пргдгльнал точка множества Рг. Число а Е С называется частичным пределам функции 1' а точке гь, если существует такал паглгдааательнасть (х„) точек множества РР чта (х„зо) гь (ьуп Е М г ф хо) Л ( Йп Г(х„) = о). (1) Множество всех частичных пределов функции У в точке, обозначим через Ег(хь). Определение 2. Если множества ЕГ(хь) содержит лишь числа о, та ана называется пределам функции У в точке хь и обозначается сильаалам бга У( ). 'и Определение 3.
Функция У называетсл непрерывной в точке зь Е Рю если !нп у(г„) = Э(зь) всякий раз, нак только х„ха д гн Е гч х„Е Р1. Если гр Е Р) и ЯвляетсЯ предельной точкой множества Рг, то 1 непрерыВна в точке х, тогда и только тогда, когда 1цп У(х) = э'(го). -ь В изолированной точке зь Е Рг каждая функция ( непрерывна. Функция У, не являющаяся непрерывной в точке хь С Рг, называется разрывной в ней. Пусть зь Е Рг — предеяьная точка множества Р,. Она называется точкой устранимога разрыва щья функции У, если существует 1цп У(з) = о, о Е С и о х Г(зь). В этом случае ь функция (ь, определенная условиями Э(х), если "Е РГ)(га), )ь(х) = а при з= ь, непрерывна в точке хь. Иногда говорят: "функция э называется непрерывной в точке хю Е Рг, если ее приращение в этой точке бесконечно мало всякий раз, как только бесконечно мало приращение аргумента" В этой формулировке под бесконечно малым приращением аргумента понимают бесконечно малуиз последовательность (Ьз„) = ( „— хь), хь Е РР х„Е Рг тгп Е Ы, а под приращением функции г подразумевают последовательность (гху(х„ д .)) = (Т(х + г1..) — И ь)) = (Их.) — Т( )).
в 2. Топология комплексной плоскости 49 2.б. Арифметические операции нвд пределамн и непрерывными функциями. Теорема В Пусть функции У и д непрерывны в точке го б Ву и Во = ВГ. Тогда непрерывны в этой точке функции у 4 д, )' — д, Уд. Если дополнительно д(го) ф О, то функция г непрерывна а тачке го. т Пусть г„-о го и )гп б М г„б ВГ = Во. Тогда 1(г„) -+ у(го), д(г„) ч д(го) и, согласно теоремам о пределах последоватеяьностей, имеем йгп (г'(г„) кд(г„)) = г(го) ~ д(го), 1!пз !(г„)д(г„) = г (го)д(го) !нп 1(г ) г (го) д(г ) ' д(го) Согласно определению 3, и.
2.5, функции у т д, уд, с непрерывны в точке г,. > Теорема 2. Пусть г, — предельная тачка множества РГ Гз Во. Есои 1пп У(г) = а, )пп д(г) = )), та 1пп(у~д)(г) =атД !пп(!'д)(г) = а)). Если !) Ф О, та Ощ — (г) = —. ° Ф пусть (г„) — такая произвольная последовательность комплексных чисел, что г„- г, гч г, б Рг г! Р, ((го). тогда, согласно теоРемам о пРеделах последоватеаьностей, имеем Г' 1'Ч! а 1пп (Т( „) ад( „)) = ат 15, 1!гп (Уд)( „) = аД 11щ — (г„) = —.
!) Согласно определению 2, п. 2.5, указанные свойства равносильны утверждению, содержащемуся в теореме. и 2.7. Предел и непрерывность композиции функций. Теорема 2 (о непрерывности композиции функций). Пусть функция ! непрерывна в точке го б Ву, а фУнкЦил Зо непРеРывна а тачке (о б Р . Если Зо((о) = го, та кампазиаиа У о Уо непрерывно в точке (о. и Утверждение является частным случаем теоремы 1, и.6.1, гл. 1.
1ь Справедливо ли аналогичное утверждение для композиции функций ) о уо, имеющих пределы в точках го и (о? Приводимый ниже пример лает отрицательный ответ на этот вопрос. Теоремы о пределе композиции, которые будут доказаны, требуют дополнительных ограничений, накладываемых на функции / и чо. Пример. Пусть у; С вЂ” + С, (о: С С, где ~ ~ г ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ и ! ~ ~ ~ ~ и ! и~ ! ~~ ! 1, если а=О, 2 если (= — '(пбЩ з'(г) = ' , ' (а(() = О, есяи г б Сч(0), ( О, если ( (2 ( „-') и б (ц) . ( О, если (=-(пбЩ Тогда (лп Т(г) = О, )пп зо© = О. Вместе с тем (1 о зо) (() = 1 и о с о ) 1, если Ь'к(-'(нб(ц), Е,.
ч (О) = (О, 1), т. е. Ощ (Т о уо) (() не существует. с-о Теорема 2 (о пределе композиции функций). Пусть (о — предельная точка множе- ства ВВ . Если 11ш у(г) = а, Ищ р(й) = го и суи(естаует такая окрестность ОП тачки (о, *о с и чта У( б (Ог П РВ Й(~о) Зо(() ф го, та Игп (у о)о)(() = а. м пУсть ((„) — такая последовательность, что („(о и кп б и („б Вг, '1((о).
тогла = )о(Й) го Л г б ВГ'ч(го) Поэтому у(г„) = (у о р) К„) ч а при и оо. Согласно определению, !!щ (у о зо) (С) = а с со Гл. 2. комплексные числа н фуивзваи комплексного переменного 50 Теорема 3. Пусть (ь — предельная тачка мнозкества Вг, . Есеи йш (о(б) = хь и Функция 1 с са непрерывна в точке зь, то Вш (1 о (о) (О = 1(зь). с-с. ч Полагаем / )о((), если Г б Ве'!(ьь), "© 1 зь при С=Се. Функция уз* непрерывна в точке бь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
