Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Круговое кольцо не односвязно как относительно плоскости С, так и относительно плоскости С Если у — непрерывная кривая, то она является замки)чым ограниченным множеством. Действительно, поскольку параметрическое представление уз кривой у — непрерывная функция, заданная на компакте (а, Ь[, то по теореме 1, п. 2.8, множество Е» = т является компактным в себе, т. е замкнутым и ограниченным. Опредемиве 6. Упорядоченный набор Г = (Гн Гз, ..., Г„) гладких ориентированных кривых Г„= (у, т~ ) (Ь = 1, и) называется кусочно-гладкой кривой, если УЬ = 1, п — 1 конечная (й ип точка гладкой ориентированной кривой Гь совпадает с начальной точкой аналогичной кривой Гью.
Множество у = [ [ т'Ы пазываетсл следоль кусочно-гладкой кривой Г или множеством ее точек. Следующее утверждение имеет важное значение в приложениях. Теорема (о биективных н непрерывных отображениях). Пусть С С С вЂ” область и С»- .0 — обобщенно-непрерывгюя функция. Тогда множество 22 также являетсл областью и функция ( обобщенно-непрерывна в 2). Если, сверк того, функция Т определена ча границе дС, прав ! чем является обобщенно-непрерывной на залгыкании С, то / отображает дС но дуэ, т.е. граница образо области С совпадает с образом границы тои же области.
Обобщим понятие непрерывной кривой Пусть [а, Ь) С вЂ” обобщенно-непрерывная функция, причем сегмент [а, Ь) мохсет быть бесконечным в одну или в обе стороны. Функция (о называется параметрическим представлением обобщенной непрерывной кривой т в расширенной комплексной плоскости. Если тг( Е [а, Ь[ (о(1) ф оо, то обобщенная кривая не проходит через бесконечно удаленную точку. Понятия началъной н конечной точек крлвой, замкнутой кривой, кратной точки, жордановой кривой распространяются на случай обобщенной непрерывной кривой. Замкнугое связное множество называется континуумом.
Континуум, не имеющий внутренних точек, называется линейньип, или канторовой кривой, например, отрезок, окружность. Это другой подход к понятию кривой на плоскости. Существует и другой полхол к понятию олносвязной области. Пусть М вЂ” несвязное множество, А — его связное подмнолсество. Назовем А максимально связньип, если не существует никакого другого связного полмножества В С М такого, что А С В Максимально связные полмножества М называются его связными компонентами, В те р множеств доказано, что любое множество есть обьелинение его связных компонегп в конечном йд. Неирерьаиые и гладкие кривые. Одиосвязиые и миопювязиые области 53 Е С С «ь Е С С.
Пусть т — топология расширенной комплексной плоскости С, М С С вЂ” связное подмножество, » б М, О, — окрестность точки» в топологическом пространстве (С, т). Определение 7. Окрестностью точки» в множестве М называется множество О', = О„. г) М. Совокупность всех окрестностей О', и» б М будем называть относительной топологией т' множества М. В дальнейшем окажется полезным следующее утверждение. Теорема. Пусть М С С вЂ” связное множество и А — его иепустое подмножество. Если А одновременно замкнуто и открыто в топологии т', то М = А.
< Применим метод доказательства от противного. Пусть А' = М)А Фв. Рассмотрим замыкание А в топологии т. Очевидно, что оно состоит из точек его замыкания Л„в топологии г' и некоторого множества, не принадлежащего М. Поэтому АпА =А ° гзА. Поскольку множество А замкнуто в юпологии г', то А, = А. Итак, А гз Л' = Л гз Л' =сз . Если Л вЂ” открытое множество в топологии т', то его дополнение А' — залзкнугое в той же топологии (предельные точки множества Л' не могут принадлежать А вследствие его открытости, следовательно, они принадлежат А'). Поэтому к пересечению А' гз А можно применить те же рассуждения, по и к А П А', в силу чего А' Г! А =!д. Соотношения М = А и А', А г) А' =в, Л' гз А =й!, Л Фа, Л' Фа противоречат связности множества М. Источник противоречия — в предположении, что МФА.
м Рассмотрим примеры. 48 Доказать: » 1) если»„0 при и со, то (1+ — З! 1; 2) если»„1 при и со, то (! -1- — ) е. < 1) Оценим разность (1+ — *" ) — 1. Поскольку (1+ — *) = 1+ д,'С„ф, то ь ылв. 1,„1+ог-) 1~1 =е ( ") — 1=е" Х"з — 1 0 прим»со. Следовательно, (1+ гк) — 1. 2) Полагая зи„= »„— 1, получаем, на основании 1), что (!+-.) м(!+='+=.) =(!+-.') (!+а) .-(! 11 + — „" ) — 1 при и — со. Так как + -*'") е. !» или бесконечном количестве. Область С С С называется односвлзной, если ее граница дС является связным множеством. Поскольку дС вЂ” замкнутое множество, не имеющее внутренних точек, то граница односвязной области есть линейный континуум, Область, граница которой не являетсн связным множеством, г!азывается иеодносвлзной.
При этом, если число связных компонент границы дС конечное, то оно называется порядком связности области С. Если же множество таких компонент бесконечное, то С называется бесионечносалзной областью. Область С назовем компактной и обозначим С ~~ С, если существует круг Кл — — 1» б С: ~»~ ( Е < +со), содержащий в себе С. Считаем, что множество Е компактно принадлежит области С и записываем Е с С, если замыкание Е приналлежит С, т.
е. Гл. 2. Комплексные числа н функции комплексного переменного 54 где (а„= з~ з! Тогда х !пв з„= О, !пп рзь = —, ь-, 4' т. е. последовательность (у!„) Расходящаяся. М гг !пп рзь Ь гч В 50. Пусть ~~! 'Рь +ос при и — оо, где р„> О. Доказать, что если последоватеяьность ь=! Р!з!+Рзаз+ . +Р з (а„) комплексных чисел сходится к з, то и последовательность Я„= Р!+Рз+ +Р сходится к з.
М Оценим !߄— з!. Имеем !߄— з! = < Р!(з! — з)+Рз(а! — з)+" +Р (х — з) Р!!г! — з!+р!)з! — 4+ ... +Р„)г„— з! Р|+Рз+ Р!+Рг+ +Р т. е. Рьр ) г=! р(Я„, л) < 2 Р. ь=! Так как 2 Р„+со, то по теореме Штольца лля последовательностей действительных чисел ь=! Е Ргй(з ь=! !и! л) = 1пп Р„ч!Р(г„ч!, ?) = О. Р ы Следовательно, р(Я„, з) = о(1), т.
е. 1пп Я„= а. и ч-~ (я!) 51. Найти предел последовательности (л„), где з ь=о м Докажем, что последовательность (а„) фундаментальная. Пусть е > О, и Е И, р Е М Тогда +г .ь~ +г (л!) 1 зг !як~я — а„! = ~~! — ( (~ — < е (ь= ы ' ь=+! !ч при всех достаточно больших и и УР Е р(, поскольку числовой ряд ~ — „, сходи но признаку Д'Аламбера, и сумма его остатка г„стремится к нулю при возрастании н р 4зль. Доказать, что последовательность (ага з„) может расходиться, если последовательность (з„) сходящаяся и 1пп а„ Ф О.
м Рассмотрим последовательность (з„), где „= -1+!(=-О-. Она сходится„и !!ш х„= — !. Поскольку ззь — — -1 + — *,, зм ! — — — 1 — — ' — т, то агяззь — — !г — агсгд — г а!вязь-! = -!г + ! 4ь ' !зг-!! гь агсга;;„--лт. Так как !пв агдам — — зг, (пп а!аз!а ! — — -х-, то гюследовательность (агля„) имеет ь- ь две предельные точки, в силу чего является расходяшейся.
Заметим, что и в случае 1пп з„= О последовательность (ага з„) мохсет расходиться. Пусть, например, е !ям если и = 2(г, и если га = 2й — 1. вЗ. Непрерывные н гладкве кривые. Одиосвязные н многосвязные областв 1нп Кех„= сося = — 1, 1)ш ! гп х„= з)п х = О. Следовательно, 1!ш х„= -1. ° . ах 52. Найти 1пв з„, если х„= 11+ — ), а = и в!)3.
и Н Записывая х„= х„+ гу„= г„(соз р„+ ! Вп р„), имеем "="= ° -' =((" )'"®')'+'-:" ' ')' а У)3 а ю„= агах„= нага (1+ -) = пагсгд ( — (1+ — ) так как при больших значениях и точка х„находится в правой полуплоскости Я = (х Е С ! Кех > О). При и со 1-Ь ~ + — )тд- 1 Ь вЂ” ' -('-( .-) )--( .-) -"Р( -.) )- (-) Следовательно, 1!ш г = ехр ~ йт — .
-1 = с, йш р„= У), йш х„= с" (соз)3+ Уз!п)3) = е ь Е. !ь з) 53. Пусть последовательность (х„) комплексных чисел такая, что последовательность (ю„), где ю„= з„— (у „н ~д! < 1, сходится. Доказать, что последовательность (х„) сходится, и найти ее предел. Н Поскольку последовательность (ю„) сходится, то она ограничена (см, п.2.3), т.е.
ЗС > О: тгп Е Ут' )ю ( < С. Пусть М = шах((хз), С). Докажем, что тгп Е О( М )х ((~ (1) 1 ! я Оценим хо Из условия примера получаем х~ = ю1+ сам /х1' < /ю1/+)юу)/ха! < С -~- )д/)ха! < М(1+/у)). Пусть ус б уч', й > 1, и справедливо неравенство !хь ~ < М(! + !д!+ ... + ~д!"). В силу высказанного предположения имеем ! ь,1! < !юь!+ !р! !хь! < М+ !р!М(1+ !р!+ " + !р! ) = МП + 1р!+ ". + 1р! ' ) Методом математической инаукнии доказано, что )гп б 1Ч выполняется оценка ) ! „!(М~ ~~!" =и <, ь=о (2) (3) Неравенство (1) установлено.
Из соотношений 2 2 з + Ч» ~ = ю„+ ею„г+ д х„з = ю +гую„~ + Е ю„, + р х„, = было показано (см. теорему 1, п. 2.3), что сходимость последовательности комплексных чисел равносильна сходимости последовательностей ее действительной и мнимой частей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
