Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тригонометрические в гиперболические функции !27 Дифференцируя ю как сложнукз функцию, получим: ~ (1) б (- ) 4 (1) з(и йи~ з(х з(ш зйи зйиз з(и йи! а'з откуда з(ю (Гз), з зг зг ага = агбш (з) — агдш, (!) = — — я х = —. 2 2 2 Таким образом з ш — з звз — зз' 3 ° з ш-~-з шз+ -'з 73.
Найти функцию ю(з), отображающую полукруг К = (з Е С; 1з ~ < 1 л (т з > О) на круг К = (ю Е С: ~ш~ < 1) при условиях: 2) зи (-') = О, агбю (-',) =' —. 1) ю(ж1) = ж1, ю(О) = -з; Искомая функция ю имеет стандартный вил: ,в юз зз ю=е* —, ВЕН. ю,— а Из условий нормировки получаем: 1-з а;в 1 — а !=е* —, — 1=е —, — з=е'. 1аа 1 — а Постоянную а находим из системы уравнений , 1+а 1 = -з —, 1+а 1 — а — 1=-з —, 1 — а с 1+ а = -з(!+ а) 1 — а = з(1 — а). Ее решения: а = з, а = — з. Искомая функция ю имеет вид — з (и + †,' ) — з з + †' + 2з а' + 2зх + 1 и' + 2зх + ! — 3 — — '(и+ 2)+з -и — з +2! -хз+2зи — 1 зиз+2и+з 3( .) 2) Поскольку и = -', з-з ю, = 1з з-з ю = О, то ю '"' гз зв 4шз — Зз' ш = е* — = е юз+ зз 4юз+ Зз Дифференцируя функцию ш по переменной ю„получим: з(ю 24(ез Йи (з() 24зе 2, зв = — = -- зе', з(шз (4юз + Зз)з ', з(ю, — Зб 3 бш (зз) агб = --+д з(шз 2 М Сначала отобразим полукруг К посредством функции юз — — -- (и+ — „) на верхнюю по! l Зз лупвоскость плоскости юз, а затем построим отображение верхней полуйлоскости на единичный круг при выполнении условий нормировки.
1) Составим таблицу нормировки. Она имеет вид Гл. 3. Элемеитарвме функции в комплексной плоскости С другой стороны, как показано в предыдущей задаче, а)в (-а) агй ' = агав' (-',) — агав', (г) . а)в ~ Подставив а это равенство а)в (-',а) л, аг агй ' = --+д, агав (з) = —, агав (з) = жя, и выбирая агав', (-',) = -я !так как -я < агав' (-,') — агав', (з) < я), имеем — - + д = - -, аз = О. 2 2' Таким образом 4в) — 3а — 2 (х+ -„') — За 2зт+ 3ах+ 2 ае = . Ь 4в, +За -2(х+ 2) +3а 2з' — 3аз+ 2 74.
Найти функцию в(з), отображающую область О = (х б С: !з! > 1 л !гпз > О) на верхнюю полуплоскость. м Такое отобрюкение осуществляет функция Жуковского в = -,' (х+ -'). Можно также воспользоваться дробно-линейной функцией, отображающей область С на первый квадрант, а затем возвести в квадрат полученное. Полагаем в, = — *,', Тогда х = 1 в, = О, з = — 1 ° в = со.
При з = а получаем в,(х) = Я = ', ' = й Убедились в том, что функция в, -а -и' отображает 6 на первый квадрант. Следовательно, в=ада = Ь 75. Отобразить на верхнюю подуплоскость: 1) сектор 5=(х ЕС:!з!< В,О< агах <яо) (0<а < 2); 2) область Р = (з Е С: !з! > А, 0 < ага з < яа) !О < а ~< 2). й я 1) Функция в, = хы отображает, очевидно, сектор 5 на верхний полукруг радиуса Я с центром в точке в, = О. Рассмотрим функцию в +)!ы 1 яы Тогда в, = — йнау а ва = О, в, = ВЫ" а ва = со, ва (Вы а) = -'(1+ а)' = 1. Следовательно, функция в, отображает указанный полукруг на первый квадрант плоскости в,.
Поэтому искомое отображение имеет вид а х +)! в — ва — Ы )г ) в в в т т ~ ~ ! а ~ ! о ~ ~ 1 2) Функция в, = *, „", „отобрюкает область Р на область Р' = (в, б С: !в,~ > Вм" л )ш в, > 0). Согласно решению задачи 74, имеем в= в Г ~ ~ ~ ~ 2 2 зм" +Ваг / . Ь 76. Отобразить на верхнюю полуплоскость следующие круговые луночки (двуугольники); 1) Р, = (х б С: )х! < 1) О (х б С: !х — а! < 1]; 2) Рт — — (х Е С; !х! < 1) Га (з б С: !х — а! > 1); 3) Рз = (а Е С: !х! > 1) Га (л Е С: )з — а! < 1); 4) Р„= (х б С: (х! > 1) Га (х Е С: )х — а! > 1); 5) Р, = (а б С: !х! > 2) га (з Е С: )х — а/2) < аг2). 129 бб.
Трвпшометрические и гиперболические функции М 1) Находим граничные угловые точки, являющиеся точками пересечения окружностей, заданных уравнениями 16( = ! и 16-6( = 1. Полагая л = езс, получим: 1 = 1е' — ц, или .и => 6 Зсм-~З>-„%Г- сг61. ,5 Отсюда находим: 6(пд = -,', д = —, гч = е'6, 62 = е' 6 (рис.45). Строим пробно-линейное отображение, переводящее точку и, в нуль, а точку 6,— в оо: 2+ — — -* 2 + 6ГЗ вЂ” 6 6ГЗ 66 2 2 'Гз 2 2» — 663 — 6 2 Рис, 45 Принимая во внимание, что изз(0) = — 2 + —,', шз(з) =— строим образ луночки Рз в плоскости зиз (рис.
49). Дзьтьнейшие пре- 2 образования очевидны: мз = е * з зи, — поворот на угол — —, и 3 и = мз'. Окончательно получаем; гиЧ '3-6 2) Граничные угловые точки луночки Р, те же, что и у луночз 2 662-6 ки Р,: лз — — е'6, 62 = е' 6 . ВзЯв ФУнкцию изз = — 5 — уГ='-, снова получим на плоскости изз внутренность угла, образованного лучами, выходящими нз начала координат, с углом прн вершине —, (рнс. 50).
Рис. 49 Рис. 52 Рис, 56 Рис. 52 Полагаем далее шз — — е ' з мз, 26+ и'3 — 6 3) Функция зи, = '*+ ' ', ОтОбрвкает луночку Р, на внутренность угла (рис. 51). Очевидно, что искомая функция и имеет вид (зи )' (6+ з-~) 4) Клк и в прелыдуших случаях, граничными угловыми точками луночки Р, (см. рис.52) являются 5 62 = Е' 6 62 = Е'6, Гл. 3. Элементарные фуиацви в комплексной плоскости 130 Вспомогательная функция ма — прежняя, Поскольку 1 а /3, 1 аъ/3 аса(2а) = — — —, аса(-а) = -+ —, 2 2 2 2 то функция ма отображает луночку ))а на внутренность угла, изображенно- го на рис.
53. Применив преобразование поворота на угол —, ааа = са а ма, окончательно получим: з /2а Ч- ъ'3 — а 'са ~, 2з — ъа3 — а 5) Найдем граничные угловые точки луночки 2)а (рис. 54). Для этого полагаем з = 2е' и рассматриваем уравнение относительно 0 (2е' — ъ'2! = 2, Рис. 5Э откуда после несложных выкладок получаем: 1 я а / 1 а соаб = —, д = —, за = 2е*с = 21 — + — /( = а/2(!+а).
ъ'2 4 аъ ъ'2 ъ'2) Очевидно, аа —— Уа — — ъ'2(1 — а). Полагаем по аиалогиаа с предыдущим — /г(1- ') юа = а — у'2(1+ а) Установим образы точек з = 2 и а = 2ъ'2 на плоскости ма. Имеем 2 — ъ 2(1 — а) ъ/2 — 1+ а (ъ'2 — 1 4 а)' ма(2)— 2 — ъ'2(1+ а) ъ'2 — 1 — а (ъа2 — 1)а+ 1 2 — 2ъ2~-2а(ь2 — 1) а — 1 1 а 4 — 2ъа2 / ъ2 ъ/2 Точка з = 2 переводится в точку, лежащую на биссектрисе второго коор- динатного угла. Далее, 2ъ/2 — ъ'2(1 — а) 2 — (! — а) 1 + а ва, (2ъа2) — — — — — а, 2ъ'2 — ъ'2(1+ а) 2 — (1+ а) 1 — а т. е.
образ точки г = 2ъ'2 принадлежит мнимой оси плоскости ма. Луноч- ка Ра отображается на внутренность угла, образованного положительной мнимой поап осью и биссекгрисой второго координатного угла (рис. 55). Функция ваа = мае * а отобрюкает указанное множество на внутрен- ность угла, образованного положительной действительной полуосью и биссектрисой первого координатного угла в плоскости ааа. Очевидно, что искомая функция имеет вил ! 4 4 4 .а-,Гг(1 а)~ ('а .2(1-;)) а — ъ/2(1 + а) ) 1 а — ъа2(! + а),/ Рас.
55 ~а+ 1 ='/"" = Ч Ч1-а. 77. Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с размером по отрезку [-1, Ц. М Рассмотрим функцию ма — — —,' а. Тогда а = -1 а-а ша — — О, а = 1 а ааа = со, Поскольку ма(0) = — 1, то становится ясным, что функция ма отображает плоскость с разрезом по отрезку (-1, Ц на плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси. Функция ма = -ма отобрюкает плоскость с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси на плоскость с разрезом вдоль полохсительной дейстюпельной полуоси. Искомое отобрюкение имеет внд: б 6. Тригонометрические и ншерболические функции 78.
Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с разрезом по отрезку [-(, [[. и Полагая ю, = -(х, получим плоскость с разрезом по отрезку [-1, 1[, т, е, сведем задачу к предьгдушей. Таким образом, 79. Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с разрезом по отрезку [эи ээ[. м Рассмотрим целую линейную функцию ы, = аэ Ч- Ь и потребуем, чтобы э, ~ -1, зэ 1. Для определения а и Ь получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: < — 1 = агч + Ь 1 = аээ + 6. Ре решения: а = — Ь = -'э-+-'-т. Задача свелась к отображению плоскости ач с разрезом вдоль отрезка [-1, Ц иа верхнюю полуплоскость. (см.
задачу 77). Следовательно, Ю = и ! — и, 1 — — Ь ! — — '* +'+' у' э,— 80. Отобразить на верхнюю полуплоскосэь плоскость с разрезами по лучам ( — со, -Рь[, [Я, +ос) (В > О). м Функция эа, = — '+"„отображает указанную плоскость с разрезами на плоскость с разрезом вдоль полохснтельной действительной полуоси. Следовательно, — искомое отображение. М 81. Отобразить на верхнюю полугпоскость плоскость с разрезом по расположенному в первом квадранте лучу, выходяшему из точки 1 параллельно прямой у = л.
м Функция ич = э — ( отображав~ указанную плоскость с разрезом па плоскость с разрезом вдоль биссектрисы первого координатного угла с вершиной разреза в начале координат, т.е. в точке э», = О. Функция иэ = е ' Т ач отображает плоскость цч с разрезом вдоль биссектрисы первого координапюго угла на плоскость с разрезом вдоль положительной действительной полуоси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
