Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Искомое отображение, очевидно, имеет внд в = чгыэ = е ' э ~/л - ~, ~ 82. Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскости и нолуплоскосгь Р = (э Е С: 1ш э > О) с разрезом по отрезку [О, (Ь[ (Ь > О). м Функция и, = э отображает указанную полуплоскость с разрезом на плоскость с разрезом э вдоль отрезка [-6', О[. Полагая шэ = вь + Ьэ, получим отображение плоскости ю, с разрезом вдоль отрезка [-йэ, О[ на плоскость с разрезом вдоль отрезка [О, Ьэ]. Следовательно„ % = Б2+лэ — искомое отображение.
~ 83. Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскости и полуплоскость Р м [з б С: 1ш х > О) с разрезом от бд до оо влоль положительной мнимой полуоси. Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости 132 ч В плоскости в, = з' образом заданной области будет плоскость с разрезами на действительной оси по лучам (-со, — Ьз) и (О, +оо). Дробно-линейное отобрюкение шз — †-гт — переводит ее в плоскость с разрезом по положительной действительной полуоси.
Окончательно получаем чтзз+у в = зушз = . в 84. Отобразить на верхнюю полуплоскость: 1) круг К = (з 6 С: [а[ < !) с разрезом по радиусу [О, 1[; 2) внешность единичного круга с разреюм по лучу [1, +со). ч 1) Функция в, = з/з отображает заданную область на верхний полукруг (при соответствующем выборе ветви т/з). Тогда в, -~-),гз+ ! — искомое отображение. 2) Функция ш, = чге (при соответствующем выборе ветви з/з) отображает заданную область на верхнюю полуплоскость с выброшенным верхним полукругом радиуса 1 с центром в, = О. Тоща функция з+1 — искомая. Внешне функции в в 1) и 2) одинаковы, а выбор ветвей зтз в них разный.
(ь 85. Найти отобркжение круга К = [а Е С: [з[ < 1) на в-плоскость с разрезом по лучу ( — со, — -„] при условии, что в(0) = О, в (0) > О. ч Пусть а = а(в,) — отображение верхней повуплоскости плоскости в, на круг К. Тогда з = 'я — ':4, й = ев, д Е 3(. Отсюда находим: -,-л Искомое отображение имеет, очевидно, аид 2 ! а)) )еР в=-ш, — — = — ~ 4 1, а — й ) 4 П) Поскольку в(0) = 0 = — )3~ — „-' и (щ,) > О, то,З = $. Подставив это значение в бюрмулу (1), получим после несложных преобразований: в= — — — 1 Дифференцируя в, имеем (а+ й) в (а) = -й (а ь)з' Из условия в'(0) > 0 следует, что —,', > О.
Так как [й[ = 1, то й = е'а > 0 при д = О, т.е. й =!. Окончательно получаем: в=— )з 86. Найти преобразование полярной сетки [а[ = 22, ага а = а с помощью функции Жуков- 1/ ского в = — ~з+ — 1. а) б б. Тригонометрические и гиперболические функции 133 м Подсшвив в формулу для ш значение з = Ве'", получим. ш = и+(с = — Ве + — е = — В+ — соха+ г  — — япа Таким образом, 1/ и = — В+ — ) сова, в = — ~ — — ) япа. 21 В) ' 2~ В) Из равенств (1) находим: (2) Поскольку ш1(со) = оо, то бшт(оо) агд = ага 2 = О.
г(ш, Взяв ш = взе™, получим йш(со) е'" зг х ') 2 ш бш(со) — = — ~1+ ) = -е'", агб — = а. бх, (,,Ует: — су) бз 2и 21' 4из 4с' соха =,, япа = + =!. В+а В л (В+в) ( — л) Из (2) следУет, что окРУжностЯм Ул = (з б С: 14 = В) соответствУют софокУсиые эллипсы. В частности, окружности у~ — — (з Е С: ~х~ = 1) соответствует отрезок у = (ш б С: -1 < Кем < 1, !тш = О) (см. б 5). Записав первые два уравнения в (2) в виде и возвела левые и правые части полученных равенств в квадрат, а затем складывая соответственно квадраты левых и правых частей, получим и 2 Ю (3) соз'а з)п а Равенство (3) показывает, что лучам агдз = а соответствуют ветви софокусных гипербод. В частности, лучу ага з = 0 соответствует луч р, = (ш Е С: Ке в > 1, 1гп в = 0).
Действительно, ) при а = 0 из (2) получаем, что с = О, и = — ~'" > ~/ — „= 1. Аналогично устанавливаем, что лучу ага з = я соответствует луч р„= (ш б С: Ке ш < -1, 1т ш = О), а лучам атй = ш —, — ось Ке ш = О. ш 87, Пользуясь функцией Жуковского, отобразитгс 1) внешность отрезка ( — с, с] (с > 0) на внешность единичного круга при условии, что ш(оо) = со, агав (|ю) = а; 2 7 2) внешность эллипса — + — = ! на внешность единичного круга так, чтобы ш(оэ) = со, оз 02 агав'(со) = 0; к у 3) верхнюю полуплоскость с выкинутым полуэллипсом — + — < 1, у > О, на верхнюю з 02 полуплоскость. М 1) Полагаем ш, = =,. При этом отрезок ( — с, с( перейдет в отрезок ( — 1, Ц.
Теперь применим к функции ш, отображение, обратное функции Жуковского: шз™!+Ъ'в! 1. I 2 Дифференцируя функцию шм находим: айвз ш~ — =1+ дш, /Т Гл. 3. Элементарные функции в комплексно» плоскости 134 Таким образом, е (+ /г 2) — искомое отобрагкение. 2) Проведем преобразование подобия точек так, чтобы фокусами эллипса были точки (-1, 0) и (1, 0): 2/а' — Ьт Определим радиус г окружности, в которую функция Жуковского преобразует данный эллипс и Ю 2+ (~/ 2-ь2) (,„Г 2-ь2) Обозначим а = " .
Тогда находим г из уравнения а = -, (г+ р) или г — 2аг+! = О, откуда /2-ь' ' г = а+ 2/а' — 1 (берем перед радикалом знак "+", поскольку должно быть г > 1). Имеем а Ь' а+Ь 2/аг — Ьг Ч аг — Ь' 2/аг — Ь' аз 2/аг — Ьг à — — + — 1 = — ~»+ ' — (аг - Ьг)) а+Ь ~ 2/аг — Ьг а' — Ь' /~ авЬ 2 3) Воспользуемся решением предыдущей задачи. Отобразим данную область на верхнюю полуплоскосп, с выброшенным единичным полукругом: ! в, = — (з+ 22 — (аг — Ьг)). а+Ь Теперь связь между функциями в, и в устанавливается функцией Жуковского 2', ° Р:2 '-2'2 /;Г 2,,: — 2 2 2( — ' -'2'-2'2)) 2 ~ а2 — Ьг .. - 2,Л: 2 ' - 2'2 а' — Ьг а вЬ 88. Отобразить двусвязную область, ограниченную софокусными эллипсами г х р, а у — + — =1, — + =! (а>Ь), Ьг 2 аг+Ьг Ьг+Ьг на концентрическое круговое кольцо с центром в начале координат и найти модуль данной двусвязной области (каждая двусвязная область, границы которой не вырождаются в точки, может быть конформно отобрахсена на концентрическое кольцо с вполне определенным отношением р радиусов внешней и внугреинсй ОКРУжностей.
Число р называется модулем двусвязной обдасти). < Преобразование подобия в, = —,-* —; преобразует заданный эллипс в эллипс с фокусами 2/ '-ьг в точках в! и осями а = =$, Ь = — ~А -Ь ' ьг -и' Теперь с помощью функции, обратной функции Жуковского, отображаем эллиптическое кольцо на круговое: 2/ат ь2 Далее применяем функцию, обратную функции Жуковского, полагая и, = в, + „/в', — 1. Тогда искомая функция в определяется равенством 135 б 6.
Тригонометрические и пзиерболические фуивцив Если совершить преобразование поворота и подобия, то снова получим концентрическое кольцо. Таким образом, в обшем случае искомое отобрюкение ш имеет вил [ ° ( ' †( ' — г1), 5 »вЂ” Модуль области равен отношению радиусов окружностей концентрического кольца. В плоскости ш( большими полуосями э(шипсов являются а )газ+ йз 1/ а( —— , аз = 5(( 2, т.к.
а = — [ Г+ — ), Г =Ь~ЗУа' — 1. что( — Ь'' т' о2 — Ь'' ' 2 ( г) ' Следовательно, 1'1 ~,,2 51 2( т-'зт ах 6 а — Ь 2 ,[ т + 62 ь(Ь2 + Ьт Г2 / 1121 Г 1 21 5/Е2 Ч. ЬТ.Ь 51ГЬ2 1. 112' '1(' т-ьт * "1(' т-зт 89. Найти область, на которую функция Жуковского отобрюкает круг К = (» б С: [»[ < 1) с разрезом по отрезку [а, 1[ (-1 < а <!). Рассмотреть случаи о > О и е < О. М Пусть а > О.
Поскольку функция Жуковского отображает единичный круг на всю плоскость с разрезом по отрезку [ — 1, 1), в который переходит граница круга, то она отображает заданную область иа всю плоскость ш с разрезом по отрезку [-1, —, (а 6 — ) ) . 1( 11 Пусть а < О. Функция Жуковского ш = —,' (»+ -') переводит точку о в —,' (о + — ') < — 1, точку — 1 в -1. Пусть» = х. При х -+ -О 1 (х+ -) — со, а при х +Π— (х+ -) — +со.
Таким 1) образом, а рассматриваемом случае функция 1Куковского отображает заданную область на всю (глоскость ш с разрезами по лучам (-со, [ (а+ -)) и [ — 1, +со). ш 90. Отобразить на верхнюю полуплоскость круг К = (» Е С: [»[ < 1) с разрезом по отрезку Ц, 1). и Функция жуковского ш, = —,' (» 6 —.) отображает заданную область на всю плоскость ш( с разрезом по отрезку [-1, 1) . Получили задачу 79, в которой», = ш, = — 1, »2 — — ш, 51 (П (21 5 Следовательно, искомое отобрюкение — функция 91. Отобразить на верхнюю полуплоскость круг Ь = (» Е С: [»[ < 1) с разрезами по радиусу [-1, О[ и отрезку [а, 1[ (О < а < 1). М Функция Жуковского ш, = —, (»+ Т) отображает заланное множество на всю плоскость 1 2 ш, с разрезом получу (-оо,; (а+ —,)).
Действительно, —,' (а+ -) > /а -' = 1, » = х — -со при *- — О, а окружность 7 = [» Е С: [»[ = 1) переходит в разрез по отрезку [-1, 1[. В итоге получаем плоскость с разрезом по лучу 7 = (-со, - (о+ -)). Функция шз = ш( 1 (е+ ) 1( 11 отображает плоскость ш, с разрезом по лучу у' на всю плоскость (и, с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси. Функция шз — — -ш, Отображает плоскость шз С раЗреэом вдоЛь отрицательной действительной полуоси на всю плоскость ш, с разрезом вдоль положительной действительной полуоси.
Следовательно, требуемая функция— Гл, 3. Элемевтарпые фупкщвп в комолекспой плоскости 13б 92. Отобразить на верхнюю полуплоскос]ь верхнюю половину круга К = (з б С: [з[ < 1[ с разрезом по отрезку (О, !а[ 10 < а < ! !. м Функция ш, .= з' отображает заданное множество на единичный круг с разрезом вдоль отрезка [-а], 1[. Функция Жуковского ]я] = -, (]и, + — ) отображает этот круг с разрезом на !г' ]\ всю плоскость ш] с разрезами вдоль лучей (-со, — -] (а] + ч~) ) и [О, +со!, а функция ш, + -,' (а' о --'т ) И]] ]я] о~обряжает эту плоскость с двумя разрезами на всю плоскость с разрезом вдоль положительной лсйствительной полуоси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
