Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 42
Текст из файла (страница 42)
М Равенство (3) называется правилом перестановки пределов интегрирования, равенство (4)— аддитивностью интеграла относительно пределов интегрирования, формулы (5) и (6) — правилами дифференцировиния интеграла по верхнему и нижнему переменным пределам интегрирования.
(Лг + рд)(л) бе = Л ~ г (я) йя + р / д(л) йя М(а б Я, Ь б Я). Н Пусть Р, Р— первообразиые функций У и д. Тогда чя б Я (ЛЕ+ рО) (я) = ЛРг(л) -ь рО (я) = ЛУ(я) + рд(я) 1.3. Линейность интеграла. Замена переменных и формула иатегрнрованиа по частим. Теорема 1 (о линейности интеграла). Пусть Я вЂ” линейно-связноемнозкество, содерясащее более одной точки.
Если функции у ) С вЂ” ) С, д: С ч С, Рг — — Вя — — Я, интегрируемы в смысле Ньютона — Лейбница и Л б С, и б С, то функция Лг + рд токлсе интегрируемо и справедливо равенство Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. 152 Следовательно, функция Л у+ рд имеет первообразную и по определению интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница. Пусть Р( ) = ~ Я) д(, а( ) = ~ д(~) дф Тогда (ЛР+ р6) (а) = О, н по определению интеграла получим ь ь (ЛЗ+ рд)(з) дз = (ЛР+ р6) (Ь) = ЛР(Ь) + рС(Ь) = Л / З(з) де+ р ~ д(з) дз. М Теорема 2 (о замене переменной). Пусть У: С вЂ” С, Ьч: С С, а = )лг, — линеиносвязное мнозкество, содержаьцее более одной точки. Если 4ункция чз ди4ференцируема в кождои точке з б Я, а функция 21 ьа~ интегРирУема В сммспе Ньютона — Лейбница, то функция ( ь о чз)р' также интегрируема и справедливо равенство ьчы ( (Ф )) р'(з) а = / ~(() АГ 'ч(а б Л, Ь б д Ь (2) М ПУсть Р— пеРвообРазнаа фУнкции ~!„дн а б а, Ь б Л и Р((с(а)) = О.
Так как ьтс б Я имеем (Р р) (з) = Р М(з)) р ( ) = Г(ч ( )) р (в) = (<У о р)р ) ( ), то функция (Г о зз)зь' интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница, и по определению интеграла справедливо равенство ( ( р(а)) р'(.) дз = Р«р(ьН = / г(г) д(, и Теорема 3 (об интегрировании по частям).
Пусть У: С С, д: С С, Юг = Ря = Я, — линейно-связное множество, состояш,ее более чем из одной точки. Если 4ункции )' и д диф4еренцируельы в каждой точке множества Я и 4уцкция з" д интегрируема в сльысле Ньютонов Лейбница, то функция зд' также интегрируема и справедлива формула интегрирования по частям У(з)д'(з) дз = У(з)д(з)) —. / ('(з)д(з) дз 'ч(а б л, Ь 6 а).
и Поскольку (уд) (з) = У (з)д(з) + 1(з)д (з) чз б Я, то (д' = ()д)' — у'д, По определению функция (Тд)' интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница. Согласно свойству линейности интеграла, функция гд' также интегрируема по Ньютону — Лейбницу и ((з)д'(з) дл = З~ ((д)'(с) дз — / у'(з)д(з) дз = Г(Ь)д(Ь) — у(а)д(а) — / Т'(л)д(з) дз. м Из определения первообразной следует, что она принадлежит классу аналитических функций. Напомним читателю, что символом А(П) обозначается класс функций, аналитических в области 6. Если функция у определена на линейно-связном множестве Я, то определение 1, и. 1,1, можно сформулировать следующим образом: функция Р Е А(Я) называется первообразной функции У на множестве Я, если ьУз б а Р (л) = У(з). б 2.
Производные в интегралы Ньютона — Лейбница любых поралков 153 Вычислим а качестве примера интегралы 17(г) = З~((1-()" дб, 1, = /(г — 8)е-'йг, Полагая в 2, 1 — (' = в, получим: дб = -дв, 97 1 98 1 99 — в)в дв = — в — — в 1 98 99 27(г) = / (! 1 98 1 99 1 . 98 99 = — (1 — г) — — (! — г) — — (1 — 8) Š— (1 — 8) 98 99 98 99 98 7 1 ! 8 ! 98 — 77 1 99 (1 — г) — — — (1 — г) — — (ъ72) е ' ' + — (7772) в * 9 1 98 99 ) 98 99 98 89 = (1 — г) 1 — — — (1 — г)! + — 8 — 2 1 98 99 ) 49 ~ 99 г) Д77я вычисления интеграла 28 применим формулу интегрирования по частям: , *=9 27=(г — 8)е '! .+/ е 'дг= — 8+е ')* =-8+1 — е а = -8+! — (соз! — 85!и 1) = 1 — со51 Е(йп! — 1)8.
5 2. Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков 7У(гбС, и61%. Пусть область определения функции у есть линейно-связное множество, содержащее более одной точки и пусть и б Рг, назовем функцию у )-интегрируемой, если 7уг б Рг существует 2 з(1)дй Отобралсение г ь 2 у(8)й87 г б Рг, называется 1-интегралом функции у с низкним ПРЕдЕЛОМ иптвгуиуаеапиЯ О б Рг . ПО ИНДУКЦИИ ОПРЕДЕЛИМ ИНтЕГРаЛ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКа функции у с нижним пределом интегрирования о б Ру.
2.1. Определение и -производной н зг-интеграла. Пусть область определения функции /: С - С не имеет изолированных точек. Назовем ее 1-ди44еренцируемои, если чг б Рз она имеет производную Г(г). Функция г ° у'(г) называется 1-производной функции г и обозначаешься через уц7. По индукции определим производную фУнкции 7 любого порядка. Определение 1. Пусть и б 79!. Если функция гю7 ди44еренцнрувма, то ее производная (у'"7) называется и + 1-й производной функции У' и обозначается через 7'"~о.
При этом функция з называется (и и 1)-дифференцируемой. Лля упрощения записи считаем ) и7 = у. Приведем примеры. Пример 1. Пусть 1(г) = е 7гг б С. Тогда 7"(г) = е', 7~ 7(г) = в*, ...,1~ ~(г) = е' 8((г б с, и 6 Щ. Пример 2. Пусть г(г) = 5!и г ьуг б С. Тогда у (г) = со5г = 5\п(г + — ), у (г) = — 51п г = йп( г + 2-), 154 Гл. 4. Ии)егрировагее в комплексиой плоскости. Определеиие 2.
Если (дункяил 1' ннтегрирусяа, и ) 2, то налагаем 2 Я)дт = / / у(г)дг дт 'Гз б РГ. Рассмотрим примеры Г( ) Пример 3. Вычислить / 41 )Г(а б С, е б С). Последовательно интегрируя, получим 41=2 — а, / йт= /(Г-а)д(= 2 (2 — а)" йе т и! (' (à — а)' (з — а) 1"'=~~ ™= 2 3! Г (") Пример 4. Вычислить / е' дг, з б С.
Имеем (и Г(2) е' 42 = е* — 1, / е' 41 = з/(е' — 1) 41 = е' — 1 — з, о о (2) 2 е й( = / (е — 1 — Г) 42 = е' — 1 — я —— 2 2! ' ( ) 2 -) е 4( = е* - 1 — 2 - — - ". — —. 2! (и — 1)! о (2) Пример 5. Вычислить -/ з(п( йт, 2 б С. о Последовательно интегрируя четыре раза, получим (и ГР) о!паде = — созе+1, / япгйг= з/(-соя(+1)йг = — япз ~ьз, о о и) ( 2 Г(4) ,г 22 2 о)пейг=/ (-в!пе+1)де=сове — 1+ —, / о!леде=/ ~аоот — 1+ — / 4(=япя-я+ —.
2,/,/ 1, 2,~ 3! у(г) йг = Р(е) — ~~) рч )(а) ь=о О о о о о 2.2. Формула Ньоотоиа — Лейбиииа. Производиые по пределам иитегрироваиии. Теорема 1 (формула Ньютона — Лейбница для и-иитеграла). Пусть у; С вЂ” С, Рг — линейно-связное мнвлсество, свдерлсащее более одной точки, и и б 1)(. Если существует Р: че б Рг Е(")(з) = Г(я), а б РГ то Ре б РГ существует $2. Провзводяые и интегралы Ньютова — Лейбница любых порядков 155 М Применим метод математической индукции.
Для и = 1 утверждение доказано в п.1.2. Предположим, что формула (1) справедлива после замены в ней и иа п — 1. Так как (Г')'" " = Г "' = Т, то по предположению Согласно определению 2 из и. 2.1, имеем / У(1)д( =- / / г(т)дт Из = / Г'(1) — ~~~ Г( ы'(а) Ж = ь=а = Г(я) — Г(а) — ) Г~ +п(а) = Г(г) — ~~ь Г '(а) ь=ь ь=о с ! гьо 1 гы-л / Т(1)д( = / Т(1)Ж чай РР ь ь < гю> гю-л ~ Т(1)Ф = -)'(л) г( Ж тЬ б РГ (2) (3) м Равенство (2) очевидно. Докажем справедливость формулы (3). Пусть Г : С вЂ” С и Уя е Рг Г'"'(л) = /(л).
Тогда, согласно формуле (1), получим ~ ~ ~ и ~ ~ ! ~ ~ ! < ~ ~ ! ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ы > С ~ ~ ~ ~ | > ~ !~ ь 1 ь /~~ ~ ~ы ( ь=о (см, пример 3 из и. 2.!).» Теорема 3 (Дирихле). пусть Т": С ь С, Рг — линейно-связное мноясество, содержащее более одной точки, и а е РР Ь 6 РР Если функция г интегрируема, то ь ь Т (Ь вЂ” 1)'"-и ((1) де = ~1 г(1),, дк (4) М Согласно формуле (1) и теореме 2, имеем =ь г[ ) =/ т(1)де.
» т. е. справедлива формула (1). » Теорема 2. (о производной п-интеграла по пределам интегрирования), Пусть У: С ь С, Рг — линейно-связное льножество, содержащее более одной точки Если функция Т интегрируема, то справедлива равенства !56 Гл. 4. Интегрирование в комплекспов плоскости. 2.3. Формула Тейлора. Пусть выполнены все условия теоремы 1, п.
2.2. Тогда из формулы (1) того же пункта следует равенство Г(з) = ~~ ~~Г~ '(а), + / Гаи(!)д! о(а б РР з б Р '), (1) ь=о которое называется формулой Тейлора для функции Г с астаточньнп човназь записанным посредствам и -интеграла. Функция з ~-~ ~ Г' '(а) !ы (з — а)ь называется мнаючлгном Тейлора. Частные случаи формулы (1) встречаются в элементарной физике. Пусть материальная точка движется прямояинейно по оси Оу с постоянной скоростью о = Г'(а). Если известно ее начальное патожение Г(а), то положение Г(х) в момент времени х можно найти по формуле (х — а) Г(х) = Г(а) + и(х — а) = Г(а) .т- Г (а) являющейся частным случаем равенства (1) прн и = 2, а также при и = 1. Пусть снова материальная точка движется прямолинейно по оси Оу с изменяющейся скорое гью, но с постоянным ускорением Гн(а), т.
е. равноускоренно или равнозамедленно. Если известны ее начальное положение Г(а) и начальная скорость ио = Г'(а), то положение точки Г(х) в момент времени х можно определить по формуле )г (х — а) „ (х — а) Г(х) = Г(а) + ио(х — а) Ч- Гн(а) = Г(а) Е Г'(а) Ч- Г'(а) 2 2! являющейся частным случаем равенства (!) при и = 3, а также при и = 2. Таким образом, равенство (1) является дальнейшим обобщением этих важных формул элементарной физики. Из форлзулы (1) следует, что функция Г является многочленом тогда и только тогда, когда ее п-производная всюду равна нулю при некотором значении и б М Формула бинома Ньютона является частным случаем формулы Тейлора. Применив к п-интегралу формулу Дирихле (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
